高等数学ppt课件

1、二、二、 导数运用导数运用习题课一、一、 微分中值定理及其运用微分中值定理及其运用机动 目录 上页 下页 前往 终了 中值定理及导数的运用 第三章 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其运用微分中值定理及其运用1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy机动 目录 上页 下页 前往 终了 2. 微分中值定理的主要运用微分中值定理的主要运用(1) 研讨函数或导数的性态(2) 证明恒等

2、式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论机动 目录 上页 下页 前往 终了 (4) 利用洛必达法那么求极限3、未定式、未定式:,0 ,00,1型0处理方法处理方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化机动 目录 上页 下页 前往 终了 0,0阐明阐明利用洛必达法那么求极限，留意利用洛必达法那么求极限，留意两种根本方式的解题方法要熟习(2) 其它类型的未定式转化为根本方式的方法要明确(3) 要结合以前学过的各种方法，灵敏解题.机动 目录 上页 下页 前往 终了 二、二、 导数运用导数运用1. 研讨函数的性态:增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 ,曲率2. 处理最值问

3、题 目的函数的建立与简化 最值的判别问题3. 其他运用 :求不定式极限 ;几何运用 ;相关变化率;证明不等式 ;研讨方程实根等.机动 目录 上页 下页 前往 终了 的延续性及导函数例例1. 填空题填空题(1) 设函数上连续，在),()(xf的则)(xf其导数图形如下图,机动 目录 上页 下页 前往 终了 单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根据的正负作 f (x) 的表示图. 单调增区间为 ;o2x1xyxox)(xf1x2xo)(xfx .在区间 上是凸弧 ;拐点为 ),0(),(21xx)0

4、(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可导性及根据的正负作 f (x) 的表示图. 形在区间 上是凹弧; 那么函数 f (x) 的图 (2) 设函数上可导，在),()(xf的图形如下图,机动 目录 上页 下页 前往 终了 ),(),0,(21xx)(xf o2x1xyx2x)(xf 1xln)1ln()()(1xxxfxf例例2. 证明证明在xxxf)1 ()(1),0(上单调添加.证证:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,机动 目

5、录 上页 下页 前往 终了 111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故当 x 0 时,0)( xf从而)(xf在),0(上单调增.得例例3. 设设在)(xf),(上可导, 且证明 f ( x ) 至多只需一个零点 . 证证: 设设)()(xfexx那么 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上延续单调递增, 从而至多只需一个零点 .又因,0 xe因此)(xf也至多只需一个零点 .思索思索: 假设题中假设题中0)()(xfxf改为,0)()(xfxf其它不变时, 如何设辅助函数?)()(xfexx机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例4. 求数列求数列nn

6、的最大项 .证证: 设设),1()(1xxxfx用对数求导法得)ln1()(21xxxfx令,0)( xf得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1由于)(xf在),1只需独一的极大点,ex 因此在ex 处)(xf也取最大值 .又因,32 e442 且,33nn为数列故33中的最大项 .极大值机动 目录 上页 下页 前往 终了 列表判别:例例5. 证明证明. )0(1arctan)1ln(xxxx证证: 设设xxxxarctan)1ln()1 ()(, 那么0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x时, )(x单调添加 , 从而0)0()(x即)0(1arcta

7、n)1ln(xxxx机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例6. 设设,0)0(f且在),0上)(xf 存在 , 且单调递减 , 证明对一切0,0ba有)()()(bfafbaf证证: 设设, )()()()(xfafxafx那么0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以当时，0 x)(x0)0(令,bx 得0)()()()(bfafbafb即所证不等式成立 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例7. 求求)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求极限利用中值定理求极限原式)1(11lim22nanann之间）与在1(nana221) 1(limannnna机动 目录 上页 下页 前往 终了 解法解法2 利用罗必