商用管理微積分第一章：函數、極限與連續ppt课件

1、第六章：積分方法與技巧第六章：積分方法與技巧6.1變數變換法變數變換法 代換法可算是消極被動的代換。現在要介紹的變數變換法，即為一積極主動代換。 1. 選定積分函數中的某些部分令為選定積分函數中的某些部分令為u(x)。例如：例如： 。 2.經由代數化簡程序解出經由代數化簡程序解出x的形式，換句話說的形式，換句話說即是視即是視x為未知數，為未知數，u為已知數，求解為已知數，求解x。以。以函數的觀念，即是定義其反函數函數的觀念，即是定義其反函數x(u)。例如：例如： 。 3. 以以u當自變數，計算當自變數，計算x(u)的微分的微分 。例如：例如： 。2(1)xu1ux( )dxx u du2(1)

2、dxudu底下列出變數變換法的使用步驟： 4.將步驟將步驟1之之u與步驟與步驟3的的dx代入原積分函數，如此應該就代入原積分函數，如此應該就會把原先以會把原先以x為積分變數的積分，全數改為以為積分變數的積分，全數改為以u為積分變為積分變數的積分。數的積分。 5.求解以求解以u為變數的積分，或繼續利用其他積分方式再將為變數的積分，或繼續利用其他積分方式再將積分形式改觀。積分形式改觀。 6.待解出以待解出以u為變數之積分結果為變數之積分結果 ( 反導函數反導函數 ) 後，根據步後，根據步驟驟1之之u(x)之定義代回原先的變數之定義代回原先的變數x。變數變換法與代換法最主要的差別就在於步驟變數變換法

3、與代換法最主要的差別就在於步驟2的解的解x，配，配合步驟合步驟3，如此就只要代換原積分式中的單一，如此就只要代換原積分式中的單一dx項，而不需要項，而不需要尋找尋找 配出配出du。 ( )u x利用變數變換法求：解：步驟1令步驟2反解出x，則步驟3兩邊取微分代入原式，得Example:311dxx 31ux3(1)xu23(1)dxudu23223332333113(1)113232ln|213(1)2(1)ln|1|23(1)6(1)3ln|1|2dxuduuxuduuuuuCxxxCxxxC定積分之變數變換法若為求定積分，則如同代換法可以有兩種方式：代回原先的變數x後使用x( 原變數 )

4、的上、下限。不代回原先的變數x則使用新變數u的上、下限。 利用變數變換法求：解： 令 ，則計算的對應之上、下限， ， 代入原式得Example:9411dxx1ux 2(1)2(1)( 1)2(1)xudxuduudu(4)1, (9)2uu 92412121112(1)11212(ln|)|2(1ln2)dxuduuxduuuu 另解：用原變數的上下限。變換計算的過程中，另解：用原變數的上下限。變換計算的過程中， 暫時以代表新積分變數的上、下暫時以代表新積分變數的上、下 限。限。 12,uu2121219494112(1)11212(ln|)|2(1)ln|1|)|2(19)ln|19 |)

5、2(14)ln|14 |)2(1ln2)uuuuuudxuduuxduuuuxx 使用要點使用變數變換法最主要的是在解出u的反函數x(u)，如果u的選取不恰當，可能無法解出x，如此需要另定u，或將積分函數先經代數化簡對另一種形式，再選取u。通常需要使用到變數變換法的題目，其解都比較複雜，所以建議在求得最後解後，即其反導函數，將其微分後看是否為原先之積分函數。 6.2分部積分法分部積分法 首先，利用微分的相乘公式：以反導函數的角度來看，uv即為 的反導函數，因此有或()uvu vuvu vuv()u vuv dxuvCu vdxuv dxuvC將第一個積分移到右邊，其中+C可取消 (why？)。

6、即得分部積分法的公式，如下式： (6.2)若令，則式 (6.2) 可寫為 (6.3)利用函數之微分，則式 (6.2) 亦可表示為 uv dxuvu vdx( )( )( )( )( )( )fxg x dxf xg xf xg x dxu dvu vv du 分部積分法分部積分法設設 ，則：，則：或或或或 ( ),( )uf x vg x u vdxu vu vdx u dvu vv du( )( )( ) ( )( ) ( )f x g x dxf x g xf x g x dx求不定積分：？解：觀察積分函數之形式，若原積分函數為 ，其實就是典型的代換法的積分應用。但因為指數部分只有x的一次

7、方，應該是不可能使用代換法。也就是基本的積分方法無法解決此種函數的積分，需要利用分部積分法來計算。首先根據分部積分法的使用條件，將被積分函數分成兩個函數相乘，一個是未微分函數，另一個需為可計算出其反導函數的已微分函數。嘗試性地設 Example:xxe dx 2xxe,xux ve試試看。則u的導函數與 的反導函數皆很容易地可以得之為代入分部積分法的公式，得很明顯地，得到的新的積分是可以立即被求解的，所以這種選擇組合是正確的。結果為 如果將上例中之 的配對選擇函數對調，例如：則v1,xuve1xxxxe dxxee dx1xxxxxxe dxxee dxxeeC,u v,xuevx2,2xxu

8、ev 代入分部積分法之公式，得結果轉換後的新的積分函數，不僅比原積分函數要複雜，而且無法求解。所以這種配對是無效的。 22122xxxx exe dxx e dx若要用在定積分上，可將式 (6.1) 加上上下限。如下 (6.4)式 (6.4) 即為定積分之分部積分法的公式。可以將上式解釋為，分部積分法是先求出一部分的定積分 ( 或面積 ) 值，即 ，再求解剩餘之定積分值。()|bbaau vuv dxuv|bbbaaauv dxuvu vdx( )( )( )u bv bu a( )v a定積分之分部積分法定積分之分部積分法 求定積分： ? 解：令代入原式 Example:10 xxe dx

9、,1,xxuxveuve1110001010|10|(1)1xxxxxe dxxee dxeeeee 重點重點欲有效地使用分部積分法則需注意到下列要點：在選擇時要保證其反導函數求得出來。u的選擇比較有彈性，並不一定要使比的型式簡單，主要還是要使轉換後的積分 比原來的積分 要有可能被積出來。 vuuvdxuvdx底下介紹兩種型式，是一定需要用分部積分法： 1.單一函數型當積分函數只有一項時，表面上似乎並不適用分部積分，不過可以造出1乘上該函數，如此就有兩項，例如： 而那個1就一定是被設為 ( 試試看，如果把1設為u會有什麼結果？)，而f(x)就設為u。如下式： 一般而言，新的積分 ( 式 (6.

10、5) 右邊的第2項 ) 應該比原積分容易求解。 ( )1( )f x dxf x dx,1,( )( )( )ufvufvxf x dxx f xx fx dx利用分部積分法求： 。 解：令 則 Example:ln xdxln,11,uxvuvxx ln1 ln1lnlnxdxxdxxxxdxxxxxC 2.相同積分型相同積分型有時在應用一次分部積分後，轉換後的積分會與原積分函數一樣有時在應用一次分部積分後，轉換後的積分會與原積分函數一樣 ( 即即 )，應用代數化簡移項即可求得原積分之，應用代數化簡移項即可求得原積分之解。解。 如下所示：如下所示： 有時有時 的配對不正確，恰好會造成的配對不

11、正確，恰好會造成 ，如此，如此會使得兩邊消去變成會使得兩邊消去變成0=0，無法求解。即，無法求解。即 u vdxuv dx2()22uv dxuvu vdxuv dxuvuv dxuv dxuvCCuvCuv dxCC移項後，右端為單一函數，所以需加上,u vu vdxuv dx()00 (0)uv dxuvu vdxuvuv dxuvuv dxuv 其中必為6.3部分分式部分分式 觀察例6.3.1之分解後的形式，大致可分類為： 1. 2. 3. 4.1axb1,2,3, 4,()nnaxb2dxeaxbxc2,2,3, 4,()ndxenaxbxc設。設 。但是，第3、4類型的積分，若分子恰為分母的導函數的倍數，正好是代換法的典型積分，如例6.3.1之第7個分式中的第3、4項分式；不過，如果兩者無關聯性，如例6.3.1之第6個分式的第2項分式，就不是單純的積分方法可以解決，而需用到反三角函數積分法，這類型式的積分，暫且不在本節討論。110,ln|adxaxbCaxba11()0,1,(1)()