平面向量专题复习学生

1、平面向量一、复习要求1、向量的概念；2 、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；3、向量运算的运用二、学习指导1 、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法一一有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的 基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形；实数与向量乘积的几何意义一一 共线；定比分点基本图形一一起点相同的三个向量终点共线等。2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是

2、向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言付号语言坐标语言加法与减法Br*弓 弓 OA +OB =OC弓弓弓 OB - OA =AB、弓记 OA=(xi,yi) , OB =(x i,y 2)弓亨贝9 OA + OB =(x i+X2,y i+y2)今 今OB - OA = (X2-x i,y 2-y i)40 <弓 弓 OA + AB = OB实数与向量的乘积才-TTAB =入 a入 R、T 记 a =(x,y)T贝V入a =(入x,入y)两个向量的数量积TTTT a b =| a | b |T T cos&l

3、t; a , b >pTT记 a =(x i,y i), b =(x 2,y 2)ru TT贝寸 a b =xiX2+yiy23、运算律、 TTTT TT TT TT力口法： a+b = b+ a， (a + b)+c = a+(b + c)TTTTTTTT实数与向量的乘积：入(a + b)=入a +入b ；(入+卩)a =入a +卩a ,入(卩a )=T(入卩)aTTTTTTTTTT TTTTTTT两个向量的数量积： a b = b a ;(入 a ) b = a (入 b )=入(a b) , ( a + b) c = a -c + b c说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性

4、运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(a ± b ) 2= a _2a b b(x,y );当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A (xi,y i), B (x2,y 2),则4、重要定理、公式(1) 平面向量基本定理；如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量 a ,有且只有一对实数 入i,入2,满足玄=入i ei+入2 e2，称入i ei +入2 e2为ei , e2的线性组合。根据平面向量基本定理， 任一向量a与有序数对(入i,入2) 对应，称(入i,入2)为a在基底 ei , e

5、2下的坐标，当取 ei , e2为单位正交基底 i , j 时定义(入i,入2)为向量a的平面直角坐标。A(x , y)，则 0A =向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若TAB =(x 2-x i,y 2-y i)(2) 两个向量平行的充要条件符号语言：若a / b ,坐标语言为:设 a = (xi,y i),TT Tb =(x 2,y 2)，贝y a / b = (xi,y i)= X(X2,y 2),即xiy,或 xiy2-x 2yi=0在这里，实数X是唯一存在的，当a与b同向时,X >0;当a与b异向时,X <00TI X 1= 回,X的大

6、小由a及b的大小确定。因此，当a , b确定时，X的符号与大小就确定了。这就是|b|实数乘向量中X的几何意义。(3) 两个向量垂直的充要条件符号语言:T TT Ta 丄 ba b =0坐标语言：设 a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，则 a 丄 bx1x2+y1y2=0(4) 线段定比分点公式如图，设RP 盒PP2' 1 - ' - -'则定比分点向量式：0POR0P21+丸 1+ n定比分点坐标式：设P (x,y ), P (xi,y 1), P2 (X2,y 2)_X1川嗔x2_ 1 yi、2=1 特例：当X =1时，就得到中点公式:0遇码。P2)

7、，xi X2yiyi y2-2实际上，对于起点相同，终点共线三个向量 OP , OPi , 0P2(0与PiP2不共线)，总有OP =uOPi+vOP2 ,u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为io(5) 平移公式：TX = X + h 点平移公式，如果点 P (x, y)按a = (h, k)平移至P' (xy'),则丿y' = y + k分别称(x, y), (x ) y )为旧、新坐标，a为平移法则在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标 图形平移：设曲线C： y=f(x)按a = (h, k)平移，

8、则平移后曲线C'对应的解析式为y-k=f(x-h)当h, k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质(6) 正弦定理，余弦定理正弦定理：a b c2Rsin AsinB sinC2 2 2余弦定理：a =b +c -2cbcosA2 2 2b=c +a -2cacosB2 2 2c=a +b -2abcosc.2 2 2 2 2.2 2.2 2 定理变形：cosA=b c 亠,cosB=c a L , cosC=a b 乞2bc2ac2ab正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导

9、正、余 弦定理的重要思想方法。求夹5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行,特点。角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”三、典型例题例1、如图,OA , OB为单位向量， OA与OB夹角为0120 ,弓 TOC与OA的夹角为0 | 一45 , | OC |=5 ,用OA , OB表示OC。例 2、已知 ABC中，A ( 2, -1 ) , B ( 3, 2), C (-3 , -1AD,求点D和向量AD坐标。边上的高为),BC- 2的向量c的坐标。例3、求与向量a = C 3 , -1 )和b = (1,3 )夹角相等，且模为例

10、4、在厶 OAB的边 OA OB上分别取点 M N,使 | oM | : | OA |=1 : 3, | oN | : | OB |=1 ： 4,设线段AN与BM交于点P,记OA = a , OB =b，用a , b表示向量OP。 例5、已知长方形 ABCD AB=3 BC=2 E为BC中点，P为AB上一点（1）利用向量知识判定点 P在什么位置时，/ PED=45;（2） 若/ PED=45,求证：P、D C、E四点共圆。同步练习（一） 选择题1、平面内三点 A (0, -3 ) , B (3, 3) , C (x, -1 )，若 AB / BC，则 x 的值为:A、 -5-1、平面上z dA

11、(-2 , 1), B( 1,4), D(4 , -3 ), C点满足 AC =-2 - 1 - - CB ,连DC并延长至E ,使| CE |= I ED | , 4则点E坐标为：BA、(-8,11、(0 , 1)或(2,)3点(2 , -1 )沿向量a平移到（-2 ,1）,则点（-2,1）沿a平移到：DA、(2 , -1 )B 、( -2, 1)、(6 , -3 )、(-6 , 3)则此三角形是：B ABC中，2cosB sinC=sinA ,A、直角三角形B、等腰三角形C 、等边三角形、以上均有可能5、设a , b,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：DT T T T T T (a

12、 b)c-( c a ) b =0T T T T I a |-| b |<| a - b |TTTTTT T (b c ) a -( c a ) b不与c垂直 (3 a +2 b ) (3 a -2 b )=9| a | -4 b | 中,真命题是：A、B、 C 、D 、6、 ABC中，若 a4+b4+c4=2c2(a 2+b2),则/ C 度数是：(B )00r、.0_00A、60 B 、45 或 135 C 、120D 、30? 鼻 ? OAB中 , OA = a , OBT=b ,? TOP = pT,若 p =t(、|a|T亠t|b| R,则点P在：（AA、/ AOB平分线所在直

13、线上、线段AB中垂线上C、AB边所在直线上、AB边的中线上&正方形PQRS寸角线交点为M坐标原点O不在正方形内部,且 OP = (0 , 3),OS = ( 4 ,0),则 RM =74)B、(")C 、 (7, 4)（二）填空题e2是平面上一个基底，若9 、已知 e1 ,T Ta = e1 + 入Te2 ,Tb =-2T T 入 e1 - e2若a , b共线，则入10、已知| a|=6 一3 b |=1 ,T Ta b =-9则a与b的夹角是11、设e；,是两个单位向量,它们夹角为600,rt rT则(2 e1-e2) (-3T Te1+2 e2)=12、把函数y=cosx图象沿b=（2k-二1）（k Z）平移，得到函数2的图象。解