一基本的三角分解法LU分解ppt课件

1、, 0)(knnijDaAn的顺序主子式阶方阵定理：若nk,2 , 1一、根本的三角分解法LU分解即存在且唯一分解的则,LUALUAnnnrnrnrrrnraaaaaaaaaA11111111111nrnrlllnnrnrrnruuuuuu1111证明略为的第一行元素根据矩阵的乘法原理jaA1,njuajj,2 , 111为素行元素主对角线以右元的第),(nrjarArjrkkjrkrjula1nrj,nr,2 , 1同样为素列元素主对角线以下元的第可知), 1(nriarAirrkkrikirula1nri, 1 1,2 , 1nr1111,1,ularii 时显然ni, 3 ,2综合以上分

2、析,有njuajj,2 , 111rkkjrkrjula1nr,2 , 1nrj,rjrkkjrkrjuula1111111ulaiini,3 ,2rkkrikirula11,2 , 1nrnri, 1 rrirrkkrikirulula11因此可以推导出ju1ja1nj,2 , 1U的第一行1111ualiini, 3 ,2L的第一列-(1)-(2)11rkkjrkrjrjulaunr,2 , 1nrj,U的第r行-(3)rrrkkrikiriruulal111,2 , 1nrnri, 1 L的第r列-(4)称上述(1) (4)式所表示的分解过程为LU分解对于线性方程组bAx 系数矩阵非奇特

3、,经过LU分解后LUA 线性方程组可化为下面两个三角形方程组bLy yUx 为中间未知量向量y1111321323121nnnllllllLnnnnnnnnuuuuuuuuuuU, 11, 1, 22322, 1131211:,的解不难得到的知识由第一节三角形方程组bLy 11by 12122ylby11rjjrjrrylbynr, 3 ,21111321323121nnnllllllL的解的解便得到因此再由bAxyUxnnnnuyx rrnrjjrjrruxuyx1nnnnnnnnuuuuuuuuuu,11,1,22322,1131211例1. 用LU分解法解方程组1391444321131

4、243301024321xxxx72510解:由LU分解14131211uuuu30102Tlll4131211T25 . 05 . 11ju1ja11111ualii2423220uuu5 . 81211011rkkjrkrjrjulauTll423210T11/611/310rrrkkrikiriruulal11343300uu11/211/300Tl43100T910044000u400011by 11rjjrjrrylby得解, bLy Tyyyy4321T1611/172010得解, yUx Txxxx4321T4321nnnnuyx rrnrjjrjrruxuyx1二、Choles

5、ky分解定理. (Cholesky分解)使得正数的下三角阵元全是则一定存在一个主对角为对称正定矩阵设,LATLLA 且该分解式独一这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解nnnrnrrrllllllL1111nnnrnrnrrrnraaaaaaaaaA111111设jiijaa irarArL列元素的第考察列已求出的第假设,11nnnrnrrrllllll1111nnnrnrnrrrnraaaaaaaaa111111nnnrrrnrllllll1111111111lla112121lla1111llaiini,2 , 1可以求出的第一列元素1ilLrkrkrkrrlla12112rr

6、rkrkllrkrkikirlla1rrirrkrkikllll11nrri, 1,-(1)-(2)-(3)的元素的计算公式式可得由L)8()6(1111al1111laliini, 3 ,2112rkrkrrrrlalnr,2 rrrkrkikirirlllal11nri, 1 -(4)bAx 对于线性方程组阶对称正定矩阵为其中nA使得的下三角阵则存在主对角元为正数,LTLLA -(5)那么线性方程组(10)可化为两个三角形方程组bLy yxLTbxLLT)(-(6)-(7)-(8)bLy 解. 1nnniniiillllllL11111111lby iiikkikiilylby11ni,

7、3 ,2-(9)yxLT解. 2nnniiiniTllllllL1111nnnnlyx iinikkkiiilxlyx11 ,2 , 1 ni-(10)例1.用Cholesky法解对称正定方程组91096858137576321xxx解:A先分解系数矩阵6858137576A66765629174132925L1111al1111lalii112rkrkrrrrlalrrrkrkikirirlllal11分解TLLbLy 其次解),(bL91091111lby 692212122lylby62969*71017433321333lylbykkk29101111lby iiikkikiilylb

8、y1129251741365629676即Tyyyy),(321T)2910,1743,69(yxLT最后解),(yLT291017436929251741362965676nnnnlyx iinikkkiiilxlyx13333lyx 1132111lxlyxkkk22233222lxlyx11对角占优矩阵:满足若矩阵nnijaA)(nijjijiiaa1|ni,2 , 1.为严格对角占优矩阵则称A满足若矩阵nnijaA)(nijjijiiaa1|ni,2 , 1.为弱对角占优矩阵则称A补充所以原方程组的解为Txxxx),(321T)2 , 1, 1( 三三 追逐法追逐法有一类方程组,在今后

9、要学习的插值问题和边值问题中有着重要的作用,即三对角线方程组,其方式为:nxxxx21dAx 其中ndddd21并且满足称为三对角线矩阵,A0|) 1 (11 ca-(1)nnnnnabcabcabcaA111222110,|)2(iiiiicbcba1,2ni0|)3(nnba.线矩阵称为对角占优的三对角A0det,AA即非奇异显然0det,kAkA即阶顺序主子式非零的任意因此分解进行可以将所以LUA,设LUA nnnnnabcabcabca11122211nnnpbpbpbp13221即1111121nqqq的元素的计算公式和可得UL11ap iiipcq 1iiiiqbapni,2 -(2)方程组可化为求解两个三角形解三对角线方程组dAx dLy yUx -(3)-(4)dLy 解) 1 ()