数学建模-电梯群控问题

1、装讦一一线茜北工业大学全国大学生豫学建模竞赛选拨赛题目诱钱密封号2 0 1 0年6月6日队伍编号；19组1队指导老师；张莹队员1队叭2队员3姓名张梦涵刘永学皇甫深龙班级1001080104020804RJ010807装VF-线本文首先建立一个电梯群控模型评价指标体系，从乘客满意度和能耗两个角 度考虑评价指标的选取。选取了表征乘客满意度的指标一乘客等待时间与乘客乘 梯时间：表征能耗的指标一电梯停靠次数和电梯运行总路程。利用这四个抬标來 综合评价电梯群控方案的优劣。并采用模糊评价和层次分析的思想，建立了全面 合理的电梯调度方案的评价体系。问题一是一个排队系统动态优化问题，通过为电梯合理分配楼层，來

2、最大限 度地缩短时间、减少电梯能耗。将四个电梯视为四个不同服务台，乘客以泊松流 到达，建立M/M/4服务时间不确定的排队系统。针对问题一，首先我们通过计算 机模拟出了各个乘客的时间信息记忆楼层信息:其次，我们设计了两类调度方案。 第一类方案是将电梯分为两组，每组两台电梯，分别负责低层和高层区域；方案 二是在方案一的基础上继续细分，使四台电梯分别独立运行，齐自负责某段连续 楼层，并用C编程实现了白己设计的排队调度算法。通过计算机仿真模拟得出， 在方案一中第一组电梯负责2至10层，第二组负责11至16层时较优，方案二 中一号电梯负责2至6层，二号负责7至10层，三号负责11至13层，四号负 责14

3、至16层时较优。第二问中，利用已经建立的评价指标体系，通过将影响总体满意度的各个 因素进行融合，得到了电梯程控模型的综合评价体系。利用该方法分别计算模型 未改进时、方案一和方案二的综合满意度，即可衡量出方案的改进程度。结果显 示，当1好电梯负责2-6层，2号电梯负责7-10层，3号电梯负责11-13层，4 号电梯负H 14-16层时，乘客等待时间、乘客乘梯时间、电梯停靠次数和电梯运 行总路程均被不同程度地优化，该方案时较好的一个方案。可以将此方案建议给 大楼管理者采纳。最后本文就所建立的模型在实际运用中的作用进行了分析，并提出了改进方 向。结合实际，加入重要因素的考虑，比如考虑其他交通流，考虑

4、个别人群满意 度。关键词：排队系统动态优化算法层次分析局部调整计算机模拟仿真一、问题重述电梯是高层建筑的主要垂直交通工具，在现代社会中扮演着极其重要的角色。 如今在一幢写字楼中，由于每天早晚上下班的时间固定，所以人们乘坐电梯的时 间也相对集中，在某些时间段人流相对密集。结果有儿部电梯在高峰时段每一层 都停下來各上一两位乘客,这样导致乘客的平均等待时间较长，且电梯能耗较大。 因此，改善电梯在高峰模式下的调度算法，研究改善当前电梯运行情况的方案, 就愈发显示出其重要的现实意义。现有一幢写字楼，共有4部电梯。电梯额定乘客人数为12人，开门时间为0.8 秒，关门时间为2秒，乘客上下电梯吋间为1.2秒。

5、早晨上班高峰吋期的交通流 共250人，全部为从门厅上行的乘客（不考虑其他性质的交通流）。下午下班的 总人数仍为250人，每层的下楼人数可用随机数模拟，下班时乘客都下到门厅（不 考虑其他性质的交通流）。每部电梯的额定参数均为：最大速度2m/巴电梯以加/减速度1.5m/s2做匀加速直线运动，达到最大速度时以最大速度做匀速直线运 动。电梯可以瞬时停止，也可以变加速直线运动描述电梯的运动规律。现要求建 立数学模型，讨论改善这种状况的方案；建立标准，来衡量调度方案的改善程度： 同时要求给写字楼的管理者写一封不超过500字的信，建议他接受优化过的调度 方案。二、问题分析木题建立了一个电梯群控模型，研究在高

6、峰模式下改善电梯调度算法、优化电 梯运行情况方案的问题。首先，为得到最优的结果，应在提高顾客满意度的同时， 使电梯的能星消耗也维持在一个比较低的水平。考虑到优化前的方案在高峰时段 每一层都停下來各上一两位乘客，造成了时间的浪费，延长了乘客的等待时间, 因此在设计较为优化的调度方案时，应尽量避免每一层都停下來。基于上述原则, 结合题目要求与约束条件，考虑到现实生活中的要求，建立了一些调度方案。将 这些方案与原有方案进行比较，度星缩短的等待时间，进而判断每种方案的可取 程度。在第一问中，我们为4个电梯安排好各白负责的楼层，之间互不干扰。利用计 算机仿真，模拟出各个乘客的楼层与到达的时间。经过局部调

7、整和多次计算，比 较得出较好的电梯调度方案。该部分主要利用VC编程实现。在第二中，将影响电梯调度模型的各个因素利用层次分析法进行融介，得到总 体的满意度评价体系。利用该体系衡量问题一中的方案，即可比较出各个方案的 改善程度。该部分主要运用MATLAB进行层次分析。第三问，为使建议能被采纳，需向管理员申明利弊，比较得出新模型的优越性， 利用数据进行说明，就比较容易让人信服，并最终被采纳。三、模型假设1. 各个乘客均在上班时间之前到达各口楼层，均在下班时间之后开始离开各自 的楼层，没有迟到和早退的现象发生；2. 电梯总能够按照接受的插令正常工作，不会产生物理故障；3. 当某一电梯到达时，所有准备搭

8、乘的乘客均能在1.2秒之内全部进入电梯轿厢，不考虑特殊情况发生；4. 乘客进入电梯后，电梯门随即关闭，不考虑人为因素等待的情况；5. 电梯调动过程中，只考虑直达的交通流，其他形式的交通流不予考虑;11四、符号说明乘坐电梯的乘客总数X9电梯由第i层直接到第j层所经过的时间乘客i早晨到达门厅的时间乘客i上行时的目标楼层旳乘客i下行前到达所在楼层电梯入口的时间t t乘客i下行前所在楼层所有乘客的半均等待时间所有乘客的平均乘梯时间所有乘客上楼时的平均等待时间9 tl所有乘客上楼时的平均乘梯时间u9t,所有乘客下楼时的平均等待时间所有乘客下楼时的平均乘梯时间wait乘客i在上楼吋，进入电梯之前的等待时间

9、（仅当乘客需要排队等待电梯时计算）wait；乘客i在下楼时，进入电梯之前的等待时间（仅当乘客需要排队等待 电梯时计算）elevatoi;乘客i在上楼时，在电梯内的乘梯时间elevator；乘客i在下楼时，在电梯内的乘梯时间S，S”电梯上行时走过的总的路程 电梯下行时走过的总的路程Z7电梯上行时的平均停靠次数Z电梯下行时的平均停靠次数a电梯i在上行过程中总的停靠次数电梯i在下行过程中总的停鼎次数X乘客对平均等待时间的满意度工乘客对平均乘梯时间的满意度%对电梯停靠总次数的满意度对电梯运行总路程的满意度Y电梯群控模型调度方案的综合评价指标五、电梯群控模型评价指标体系的建立在电梯的群控模型中，不同的电

10、梯调度方案会产生不同的调度结果。为比较各 种调度方法的优劣，有必要建立电梯群控模型的评价指标体系，來比较不同调度 方案的不同。影响电梯调度方案好坏的因素有很多，但为简化模型，并结合题目 中的具体要求，将“乘客满意度”和“电梯的能耗”作为影响电梯调度方案好坏 的主要因素。5.1乘客满意度评价指标结合题目的说明以及实际生活中人们对于乘梯的要求，从乘客的角度上讲, 为了使乘客的满意度尽可能地大，即乘客尽可能快地到达目的地，并在乘坐 电梯的过程中保证一定程度的乘坐舒适度，设计电梯调度方案时应该考虑以 下几个影响乘客满意度的主要因素：乘客的半均等待时间i要短：乘客的平均乘梯时间要短：上述各个指标的计算方

11、法如下，计算过程中采用了归一化思想：1）所有乘客的平均等待时间i的计算：Ewaitif wait；2）所有乘客的平均乘梯时间F的计算:V elevatoi;i-l工 eleva tor】-25. 2电梯能源消耗评价指标现实生活中，衡最一个电梯的能耗要综合考虑多种因素，如电梯的加速与 减速过程、电梯运行的路程、电梯能最转化效率等等。如将这些因素全部考 虑，往往会使所建立的模型过于复杂，不能得到影响能耗的主要矛盾。基于 上述考虑，并且由于题目中没有给出关于能耗的具体耍求，故把电梯整个运 行过程（包含上升和下降）中的停幕次数、电梯上升下降过程中走过的总的 路程作为衡量电梯能耗大小的指标。电梯的能耗的

12、大小与电梯运行的总路程 大致呈正相关；乂由于电梯每停一次，都牵涉到加速过程，而电梯加速时的 耗能相对丁匀速來说略有加大，因此把电梯的行走路程和停靠次数作为衡量 电梯能耗的指标。为使电梯能耗尽可能地低，应尽量使：电梯上升与下降过程中的总的停靠次数尽可能地短；电梯完成一天的运送任务时，所经过的总路程（S+S”）尽可能地短；上述各个指标的计算方法如下，计算过程中采用了归一化思想：1）电梯停靠总次数的计算方法：4i-lq丄工1 -1=1Q = q + q:其中q表示所有4个电梯在上行过程中总的停靠次数，q表示所有4 个电梯在下行过程中总的停靠次数，Q表示整个电梯群控系统在一天 内完成所有的运送任务后总

13、的停靠次数。2）电梯经过的总路程的计算方法：4i=l1=1S=S+S；其中S；表示电梯i在上行过程中所经过的总路程，S；表示电梯i在下 行过程中所经过的总路程，S表示整个电梯群控系统在一天内完成所 有运送任务后经过的总的路程。5.3运用层次分析法计算各个指标的权重利用归一化原则与模糊分析的方法，将以上各个指标分别量化到以01为 范围的满意度函数。乘客平均等待时间i由丁乘客满意度与i负相关，我们建立z型隶属度函数來反映二者之间 的关系：满意度斗与*的函数图像如下：所有乘客的平均等待时间与乘客満意度的关系由图可知，根据电梯运行的实际情况，我们规定：当匚取20s时，满意度 丫为当彳取30s时，满意度

14、丫为0.乘客的半均乘梯时间F同样，由于乘客满意度Y与负相关，我们建立Z型隶属度函数來反映二 者之间的关系：满意度Y与的函数图像如下：所有乘客的平均乘梯时间与乘客満意度的关系由图可知，根据电梯运行的实际情况，我们规定：当取20s时，满意度 Y为1:当F取45s时，满意度Y为0. 电梯停靠总次数Q根据实际生活情况可知，电梯的停靠次数Q越大，则电梯群控系统的运载效率越低，耗能会相应增加；并且随着Q的增大，相应的加速阶段也会随Z 增多，造成能耗的进一步加大。因此，可以认为对电梯停靠总次数的满意度 苦与Q负相关。由此，利用Z型隶属度函数来反映二者之间的关系。对电梯停靠总次数的满意度笃与Q之间的函数图像：

15、电梯停靠总次数与能源利用率的关系结合实际情况，我们认为当Q大于240时，屯较小，可视为0；当Q小于170时，百较大，可视为1。电梯经过的总路程S电梯的运行总路程S越大，则电梯群控系统消耗的能量越多，满意度也 会相对降低。因此，从降低能耗的角度考虑，可以认为对电梯运行路程的满 意度弋与S负相关由此，利用7型隶屈度函数來反映二者之间的关系对电梯运行路程S的满意度乙与S之间的函数图像:电梯经过的总路程与能源利用率的关系结果如上图所示。结合实际情况，我们认为当S大于7000时，乙较小,可视为0；当S小于3000时，乙较大，可视为1。5. 4综合评价指标体系的建立对上述每个分立抬标进行归一化处理后，我们

16、考虑构造一个综合指标Y來 反映该体系总体的优劣程度，构造的模型如下：丫=丫 + 理+洱 + 则 （其中 m + /7 + y+$=l）下面运用层次分析法计算各个指标的权重久0的大小：构造两两比较矩阵要比较的因素为乘客的平均等待时间i,乘客平均乘梯时间电梯停靠次数Q,电梯运行总路程s。根据其对电梯运行安排合理性的影响，确定其重要程度，每次选取两个因素进行比较，则判别矩阵R =3 7 1 31 5 1-3 31-3 5计算各个评价指标的权重用MATLAB求出判别矩阵取得的最大特征值时对应的特征向屋为:V = （0.1731,0.9329,0.0904,0.3027）T ,将其归一化得到：X =（0

17、.1155,0.6223,0.0663,0.2019 f矩阵的一致性指标CI =0.076,随机一致性比率CR= 0.0809,由于CR0.1 时，可以认为判别矩阵具有较为良好的一致性，因此，不必再需对判断矩阵 进行调整。依据判断矩阵应用层次分析法得出的指标权重大小符合理论要求，具有实际意义。由此，我们得到0=0.1155, 0=0.6223, y=0. 0663, =0. 2019。综合评价指标的确定经上述计算，得到电梯程控模型的综合评价抬标为：丫=0.1155丫 + 0.6223誉+0.0663苦+ 0.2019=六、电梯调度方案的建立与求解（问题一）6. 1乘客乘梯流程分析6. 1.1.

18、乘客乘梯流程图1）乘客上行流程：2）乘客下行流程:电梯返回至门厅没育电梯等待=循坏这个下行接人过程SS有电梯梯 电器U-TKn电梯启动宜到所有人全部人逡入该电梯电梯返回至起点处从上述流程图可以看出，乘梯流程有以下特点：1.流程流向单一，所有乘 客上行和下行的流程完全相同：2.未对电梯调度方案优化之前，电梯在上行 和下行时，在每一个有呼应的楼层都会停靠，容易造成时间的延长和能耗的 增加：3.乘客在乘梯时，如果看到有适宜的电梯，会立即排队进入该电梯, 不存在人为等待的情况。6.1.2.对乘梯流程主要环节的描述1）上行阶段：当乘客i到达门厅时，如果此时没有电梯可以乘坐，乘客就按下呼 叫按钮并等待。从

19、乘客i到达门厅的时刻到电梯到达门厅之间的这段 时间称为乘客i的上行等待时间，即如果乘客i到达门厅时，恰 好有电梯可以乘坐，则等待时间为0,即= 应注意，同时到 达门厅并且乘坐同一电梯的人，消耗的等待时间是一样的。从电梯到达门厅的时刻，到乘客i到达自己的目的楼层，中间经历 的时间称为乘客i的乘梯时间，即eletoi; 0乘梯时间包含：1.电梯启 动前，电梯的开门时间、所有要坐此次电梯的乘客进入电梯的总时间、 电梯的关门时间2.电梯在到达乘客i的目标楼层之前，中途停止所消 耗的时间3.电梯到达乘客i的目标楼层后，电梯开门时间、所有在该 楼层下的乘客走出电梯的时间、电梯的关门时间。主要过程如下：別达

20、总定也层乘玄主F电唏 电悌瞬间停止奔门-址关门腐开和达目林性层 乘容圭下申棉应注意，到达相同目标楼层的人，消耗的乘梯时间是相同的。2) 下行阶段当乘客i到达所在楼层电梯入口时，如果此时没有电梯可以乘坐， 乘客就按下呼叫按钮并继续等待。从乘客i到达电梯入口的时刻到电 梯到达该楼层的时刻之间的这段时间称为乘客i的下行等待时间，即wait；:如果乘客i到达电梯入口处时，恰好有电梯可以乘坐，则等待时间为0,即wa0),乘客平均达到时间间隔E(t) = l,假设所有乘客在A10分钟之内全部达到，则可算出半均到达时间间隔为600-T250=2. 4秒，即兄=2,用MATLAB生成n(n = 250)个服从

21、负指数分布的到达时间间12隔，即可求出每个人到达的时刻，设为vx(li0）,乘客平均到达时间间隔E（t）=亍，用MATLAE生成n （n = 250）个服从负指数分布的到达时间间隔，即可求出每个人到达的时刻，设为W （li250）, 我们约定眄=0。6. 2. 2.乘客的楼层分布上行过程用随机数模拟每一个乘客要达到的楼层。如对于乘客i,随机生成V；（2 16 ）, V；即为该乘客到达的楼层。这样每名乘客上行时的信息全部保存在和V：中。下行过程和上行过程类似，同样采用随机数模拟下行前每一个乘客所在的楼层数。如对于乘客i,随机生成w（2州 building3 = building4:对于方案二，还

22、有:building! biiilding2 biiilding3 buildlng4 ；负责低楼层的电梯，运行周期相对较短；而负责高楼层的电梯运行 周期较长。如果两组电梯负贵楼层半均分配的话，高楼层的乘客等待 时间会普遍偏长。为了均衡这种差距，我们安排负责低楼层的电梯负 责的楼层数相对于高楼层來说有所增多。在此基础上，对这两组电梯 所负责的楼层数进行了多次局部调调，并对每次调整后的结果进行计 算机模拟，得到与每次调整相对应的指标，通过分析和计算，我们得 到：电梯编号负责楼层数1-22-10 层3-411-16层上述结果为方案一中的最优结果。在方案二中，采取与方案一向类似的计算方法。通过局部调

23、整及多种方案的比较，我们得到:电梯编号负责楼层数12-6层27-10 层311-13 层414-16 层上述调度方法为方案二中的最优方案。所得结果的比较各个方案的计算结果如下表：符号描述未优化前方案一方案二单位t乘客平均 乘梯时间27. 4707624. 94965827. 977704秒t乘客平均 等待时间39. 60509831. 43445223.534497秒z7电梯平均 停靠次数218.9192. 34182. 74/s， T电梯平均 运行路程3664. 645017. 66530. 56米以下为各个方案所得结果的柱状图:70123平均等待时间平均乘梯时间运行路程起停次数其中1为未调

24、度的模式，2为方案一，3为方案二。为了使数据集中 便于比较，运行路程缩小了 100倍，起停次数缩小了 10倍。通过图表可得，各方案的平均等待时间和停靠次数并无显著差别， 差异主要体现在平均乘梯时间和电梯运行路程上，并且这是两个负相关 的量，这也符合皐本规律，因为当平均乘梯时间缩小时，即每次运行中 电梯停靠次数较小，也就是每次电梯运载人数较少，这样势必增加了电 梯运行次数，进而增加电梯运行总路程。6. 4. 2.下行阶段调度方案的建立由于下行阶段与上行阶段比较类似，在上行阶段计算结果的基础上, 我们对下行阶段的模型进行了简化。由于上行阶段己经计算出，方案二为上行阶段的最优结果。故在下 行阶段的模

25、型建立中，出于时间的限制，我们只针对“4个电梯各白 负责不同的楼层，合作完成下行输送任务”这一个方案进行求解，通 过对该方案进行局部优化，并利用计算机模求的每次调整所得结果。 将每次的结果进行横向比较分析，进而找到较好的下行电梯调度方案。1）下行阶段方案分析类似于上行阶段，采用以下分配原则：每个电梯分配的楼层数连续；分配完之后，4个电梯能够合作到达所有2-16楼； building n building、biiikiing3 biiilding4:电梯任务分配完成之后，由丁每层楼的各个乘客的时间信息与楼层信 息均己经通过计算机模拟得出，可以看成已知量。故可以根据各个乘 客的信息与各个电梯分配的

26、楼层信息，对所得结果进行模拟，计算出 在此种楼层分配情形下，得出的调度结果（包含平均等待时间、平均 乘梯时间、电梯运行路程和停靠次数）。为是计算结果尽量准确，我 们进行了 100次的乘客信息模拟，统计记录了 100次模拟的结果，将 这些结果取平均值，作为此次电梯楼层分配的最终结果。再对电梯的楼层分配进行局部分析与微调，按照上述方法，计算出每 次调整后的结果并记录。由于楼层总数为16,可以进行的周部调整总 次数较为有限，故多次调整后即可得到该分配方案的最优结果。2）结果分析经过局部调整、计算与比较，得出在该方案下，计算机当满足上述分 配原则时，所得到的结果比较接近，互相差别不大。下面为比较好的

27、一种电梯调度方案：电梯编号负责楼层数12-6层27-10 层311-13 层414-16层该方案下，计算所得的各个结果为:符号描述所得结果单位t乘客平均乘梯时间38. 965984秒t乘客平均等待时间6. 912497秒F电梯平均停靠次数129. 330000/s” T电梯平均运行路程5091.440000米6. 4模型的优缺点分析模型的优点：1. 由丁每次模拟时，乘客的到达时间信息与楼戻信息都不一样，所以不会有 绝对完美的电梯群控系统调度方案。但本模型通过多次计算取近似值，通过 多次调整来求解较优解，能够较好的计算出大多数情况都会节省时间和能耗 的方案。2. 通过计算机模拟，本模型能够很好的

28、计算出各个调度方案所得到的最终站 果，有利于多次计算来提高精度。3虽然本模型只是针对4部电梯、16层楼的情况，但是该模型还可以适用 于其他的楼层，适用性和推广性较强。模型的缺点：1. 实际的电梯程控模型中，需要考虑的因素很多。但是由于时间限制，本模 型没能在将这些因素一一考虑，只考虑了儿种比较重要的因素，所见模型较 为粗略。2. 本模型只进行了一些比较常见并且较好的调度方案之间的比较，并未考虑 其他较为狭隘的电梯调度方法，所以不太全面。七、调度方案改善程度衡量体系的建立（问题二）由于已经建立了电梯群控模型评价指标体系，因此在建立调度方案改善程度衡 量体系时，可以通过将方案计算所得结果(平均等待

29、时间、平均乘梯时间F、 平均路程和平均停靠次数)，转化为对于总的电梯程控模型的满意度，与未优化 前进行比较，即可得到对于该调度方案的改善程度。7.1.各单个指标满意度求解我们利用层次分析法，利用我们建立的模糊评价模型评价各指标满意度: 乘客对平均等待时间i的满意度丫 ： X = zmf(t,20,30)；乘客对半均乘梯时间的满意度禺:Y = zmf(L20,45)：电梯运行总路程的能耗效能骂:% = zmf (,300,7000):电梯运行总停靠次数的能耗效能乙:誉=ai)f(Q,170,240);7. 2.总体满意度Y的求解由五知，Y = 0.1155耳 + 0.6223% + 0.0663

30、% + 0.2019%。经计算得，如下结果：未优化的方案方案一方案二(27.47,39.61,3665,219)(24.95,3L43 5017,192)(27.98,23.536530,182)0. 170. 610. 79由上表可知，未优化的电梯调度方案四个指标值为(27.47,39.61,3665,219), 综合满意度指标为0.17；方案一取较优结果时，四个指标值为 (24.95,31.43,5017,192),综合满意度指标为0. 61；方案二取较优结果时,四个指标值为(27.98,23.53&30,182),综合满意度捋标为0. 79。由此可见, 方案二的改善效率最高。八、电梯群控模型调度方案的建议(问题三)为了使管理者能够更好地接受我们的方案，我们决定从以下儿点向其阐释改进 后的调度方案的优越性：1. 当前电梯群控系统中存在的问题；2. 优化后的方案的优点；3. 模型改进前后的对比；以下是建议信的原文：X先生您好！J您所在的大楼中，电梯群控模型的调度方案存在一些不合理之处。比如在上 下班髙峰时段，电梯在每一层儿乎都会停下來各上一两位乘客，这样导致