函数列一致收敛的一个充要条件

1、函数列一致收敛的一个充要条件第26卷第6期2008年l1月泉州师范学院(自然科学)JournalofQuanzhouNormalUniversity(NaturalScience)函数列一致收敛的一个充要条件张纪平(泉州师范学院理工学院,福建泉州362000)摘要:一致收敛的判别法对于函数列分析性质非常重要,Dini判别法是常见的判别方法,但它要求的条件相当强,不具普遍性.文章从点列角度出发给出函数列一致收敛的一个充要条件,并举例阐述其对判断是否一致收敛的有效性.关键词:函数列I函数项级数;一致收敛I致密性定理中图分类号:O189.13文献标识码:A文章编号:1009-8224(2008)06

2、-0019-03一判别法主要有Cauchy判别法,Abel判别法,Dirichlete判别法,优级数判别法,Dini判别法.文1-22给出当函数列通项是商式且满足一定条件时,函数列一致收敛.本文从点列角度出发,给出函数列一致收敛的一个充分必要判定条件.1定义及引理定义1设函数列厂_)与函数,定义在同一数集D上,若对任给的正数e,总存在某一正整数N,使得当,z>N时,对一切的zD,都有I厂|()一,(z)I<e,则称函数列)在D上一致收敛于厂,记作limf,()=,(),D.定义2设S_(z)是函数项级数()的部分和函数列.若s.(z)在数集D上一致收敛于和函数-ls(),则称函数项

3、级数()在D上一致收敛于函数s(),或称()在D上一致收敛.引理1嘲函数列f,1)在数集D上一致收敛的充要条件是:对任给的正数,总存在正数N,使得当,l,m>N时,对一切D,都有l(z)一,一()I<.引理2.函数列,-)在数集D上一致收敛于,的充要条件是:limsupI,l(z)一,()I=0.2主要结论定理1设函数列)在区间f上各项皆连续,则函数列厂_)在区间J上一致收敛于,的一个必要条件是:对,中任何以z.为极限的数列.),都有limf.(z.)=,().证明由引理2知limsupI(z)一,(z)I=0,又I,_(.)一f(x.)IsupI()一,(z)I,ztulim(,

4、_(z.)一,()一0.因连续函数列,|)在区间J上一致收敛时极限函数,在区间J上也连续,从而有收稿日期:2008一O61O作者简介:张纪平(197l一),男,福建永春人,讲师,硕士.从事函数论,位势论研究.20泉州师范学院(自然科学)2008年11月liraf,(z)=limE(z)一f(x.)+f(x.)=lime,-(.)一f(x)+limf(x)=f(xo).故定理1成立.注定理1中的区间I可以不是闭区间,结论仍成立.定理2设函数列厂_)在闭区间11-各项皆连续,且函数,在闭区间J上也连续,则函数列,1)在闭区间I上一致收敛于,的一个充分条件是:对I中任何以工.为极限的数列),都有li

5、mf.(z.)=f(xo).D,考虑以z.为极限的常数列z.),那么limx.一limxo=Xo,从而limf.(xo)=liraf,()=f(xo).这表明函数列,-)在区间J上点点收敛于,.其次,若函数列,_)在闭区间I上不一致收敛于,依定义1,存在正数.,取N=1,存在,zl>1,I使得l厂(z)一f(x)Ie.;取N,存在>l,zI使得I()一f(x)leo;一般地,取N一,存在,2抖t,z.J使得I,.()一,(.)I如,kN.又区间J为闭区间,依致密性定理啪,数列)存在收敛的子数列_.J,lima:1.J=而J.于是,I.(,)一f(x_.|)Ie.,N?但这与l一ir

6、a-厂_.(z)一f(Xo),(z)一f(xo)矛盾,故连续函数列,|)在闭区间I上一致收敛于连续函数,.故定理2成立.由定理1与定理2不难得到定理3设函数列,_)在闭区间J上各项皆连续,且厂在闭区间J上也连续,则函数列,_)在闭区间J上一致收敛于,的一个充要条件是:对J中任何以z.为极限的数列z.),都有liraf,(z.)一,(Xo).由定义2与定理3不难得到推论1设函数项级数:(z)在闭区间J上各项皆连续,又设函数s(z)在闭区间J上也连续,则函数m.-一项级数aT.),都有:(z.)=S(xo).=T3定理的运用例1定义在O.1上的函数列()=,0;一2z,1<z;,zN,<

7、;z1;,l在O,1上收敛但不一致收敛.解由于(O)=o,故,(0)=liraf,(0)=0.当0<z1时,只要>,就有,_()=0,故在(O,_-1上有,(z)=limf,(z)=0.于是函数列,-)在0,1上的极限函数,()=0.很明显,函数列,_)及,在闭区间fo,1上各项皆连续,再考虑数列):lim=0o,1,lim()一limn=oo0=,(0).一,_-,r-厶,_.根据定理1,函数列)在O,1上不一致收敛.第6期张纪平:函数列一致收敛的一个充要条件21例2讨论函数列,-()一一.,nN在(O,1上的一致收敛性.解连续函数列厂_()在(O,1上逐点收敛于连续函数,(z)

8、一0,取一,zN;则lima.=1_.(o,1且lim,_(口.)=lira(一)一T10=,(1).根据定理1,连续函数列一.)在(0,1上不一致收敛于连续函数,()一0.注解法与文4不同.例3讨论函数列厂_()一舡(1一),N在,1上的一致收敛性,这里0<<1.解连续函数列,_)在,1上逐点收敛于连续函数,()一0.很明显,连续函数列(,_)在,1不满足Dini定理的递增条件.但是,对,1中任何以勘为极限的数列).都有limf.(.)=limnx(1一).=0=,(xo).根据定理3,连续函数列nx(1一).)在,1上一致收敛于连续函数,(z)一0.参考文献:1毛一波.函效项级

9、数一致收敛性的判定J.重庆文理学院t自然科学版,2006,5(4)t5556.2赵玉环.函数列一致收敛的一个判定方法及其性质J.中国民航学院,1999t17(2)?3740.3华东师范大学数学系.数学分析t上,下册M.北京,高等教育出版社,1991.4林源渠.方企勤,李正元,等.数学分析习题集M.北京一高等教育出版社,1986.ANecessaryandSufficientConditionforUniformConveenceofFunctionSequenceZHANGJiping(SchoolofScience,QuanzhouNormalUniversity,Fujian362000.China)Abstract:TheuniformconvergencecriterionfortheanalysisofthenatureoffunctionsequenceiSveryimportant,Dinidiscriminationisacommonlawjudge,butitrequiresaverystrongcondition,andisnotprovidedinthisarticlefromthepointofview,andthisarticlesetssomeexa