曲线积分与曲面积分知识点

1、第十章曲线积分与曲面积分一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。三、内容提要1. 1.曲线(面)积分的定义：(1) (1)第一类曲线积分nf(x, y)ds_limf ( i, i) Si (存在时)L0i oSi表示第i个小弧段的长度，(i, i )是 Si上的任一点小弧段的最大长度。 实际意义：当f(x,y)表示L的线密度时，L f (x, y)ds表示L的质量；当f(x,y) 1时，ds 表示L的弧长，当f(x,y)表示

2、位于L上的柱面在点(x,y)处的高时，f(x,y)ds 表示此柱面的面积。(2) (2)第二类曲线积分Pdx Qdy lim P( i, i) xi Q(L=0i 1头际意义：i , i ) yi (存在时) + 设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j将质点从点A沿曲线L移动到B点，则F作的功为：WF dSPdx Qdy，其中 dS =LL(dx,dy )事实上，Pdx,l Qdy分别是F在沿X轴方向及Y轴方向所作的功。(3)(3)第一类曲面积分f(x,y, z)ds_lim0f( i, i, J Si(存在时)Si表示第i个小块曲面的面积，(i, i,i )为 Si上的任一点，是n

3、块小曲面的最大直径。头际意义：当 f(x,y ,z)表示曲面上点(x,y,z)处的面密度时，f (x, y, z)ds表示曲面的质量，当f(x,y,z)1时，ds表示曲面的面积。(4)(4)第二类曲面积分Pdydz Qdzdx Rdxdy= lim P( i0 i 1,i ,i )(Si )yzQ( i , i ,i)( Si)zxnR( i , i , i )(Si)xy(存在时)其中(Si ) yz , ( Si ) zx , ( Si ) xy分别表示将 任意分为n块小曲面后第I块Si 在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz, dzdx, dxdy分别表示这三种投影元素 :(i

4、, i, i )为 Si上的任一点，是n块小曲面的最大直径。实际意义：*f设变力V(x, y,z)=P(x,y, z) i +Q(x,y,z)j+ R(x,y,z) k为通过曲面的流体(稳定流动且不可压缩）在上的点（x,y,z）处的速度。则VdS Pdydz Qdzdx Rdxdy表示在单位时间内从的一侧流向指定的另一侧的流量。2、曲线（面）积分的性质 两类积分均有与重积分类似的性质（1）（ 1）被积函数中的常数因子可提到积分号的外面（2）（ 2）对积分弧段（积分曲面）都具有可加性（3）（ 3）代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向

5、 （侧）有关l Pdx Qdy l Pdx QdyPdydz Qdzdx Rdxdy=Pdydz Qdzdx Rdxdy3、曲线（面）积分的计算（1）（ 1）曲线积分的计算a、 a、依据积分曲线L的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示b、 b、第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数 值）作为积分下限（2）（ 2）曲面积分的计算方法1、1、第一类曲面积分的计算a 将积分曲面 投向使投影面积非零的坐标面b 将的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替 被积表达式中的另一变量。C 将ds换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素2、2、第二类曲面积分的

6、计算a 将积分曲面 投向指定的坐标面b 同1c 依 的指定的侧决定二重积分前的+”或-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式（1）（ 1）格林公式QQdy（D x其中P、Q在闭区域D为复连通闭区域，Q（上D x其中Li（2）PdxLP)dxdy =y(=1 , 2n)均是D(2)高斯公式）dxdy yD上有一阶连续偏导数，P、Q在D上有一阶连续偏导数,nPdxi 1 LiL是D的正向边界曲线。若闭区域 贝UQdy的正向边界曲线。:Pdydz Qdzdx Rdxdy =P R)dxdydz阶连续偏导数，是Q的边界曲面的外侧y zdydz dzdx dxdy=。Pdx Qdy RdzxyzPQR其

7、中P、Q、R在闭区域 上有（3）（3）斯托克斯公式其中P、Q、R在包含曲面 在内的空间区域内具有一阶连续偏导数，是以 为边界的分片光滑曲面，的正向与的侧向符合右手规则。5、平面上曲线积分与路径无关的条件设P、Q在开单连同区域 G内有一阶连续偏导数，A、B为G内任意两点，则以下命题等价：（1）Pdx Qdy与路径L无关Lab（2）对于G内任意闭曲线l, l Pdx Qdy 0Qp在G内处处成立xy（4）在G内，Pdx+Qdy为某函数U（x,y）的全微分6、通量与散度、环流量与旋度 设向量| *A（x,y,z） =P（x,y，z） i +Q（x,y,z） j + R（x,y,z） k则通量（或流量

8、）=o Ands其中n=(cos,coscos）为 上点（x,y,z）处的单位法向量。散度divA= QP +RR对坐标的曲面积分与的形状无关的充要条件是散xyz度为零。i jk旋度rotA x yzP QR环流量 向量场A沿有向闭曲线的环流量为:Pdx Qdy Rdz= A t ds四、四、难点解析本章中对 S在xoy面上的投影（S）xy为（）xy,COS0（S） xy =（）xy COS00, COS 0其中cos为有向曲面 S上各点处的法向量与 Z轴的夹角余弦。（）xy为 S在xoy 上投影区域的面积。此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号的选 择，此规定貌似复杂，但其

9、最基本的思想却非常简单：即基于用正负数来表示具有相反意义的量。比如，当温度高于零度时用正数表示，当温度低于零度使用负数表示。从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量。如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流量，很自然，当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合理了。因此上面的规定就显得非常自然合理了。五、五、典型例题2 x2y2 zr2例1、计算 Ix2ds:圆周0xyz解:由轮换对成性，得I - x2ds= 2 2 1 y ds I : z ds= - 32 1 2 2 z ds = R ds = 3例2、设L : x2为成平面区域D,计算L33dx33

10、xdy3R3解: l3Hdx33x .dy3(格林公式)例3、求z2dxdy,其中为曲面x2(x2D2 2y zy2)dxdy=4a2的外侧。02 rdr = ia4解法一、将分为上半球面2a12x2 y2 a2解法二、利用高斯公式:z2dxdy=x21: z . a2y2dxdyx22x2a2 2y a2y和下半球面 2: zx2 y2dxdy 0例4、求曲线y= x(0 022z)dxdydz=0(对称性)2 2 2x y z a2 2 2,y 2x 及 yx所围成的图形的面积。解：求曲线的交点 法一、定积分法12 y2A=0(y2 乡)dy +法二、二重积分法1 y2A= d = 严x

11、+D2法三、曲线积分法A= xdy= xdyLOBB(1，1)，C(3 2,3.4)则所求面积为3 40 (、一 y )dy =-02663设所给曲线围成的闭区域为D.则34 y1 2y23 40 dy dx= 0(y )dy + 0 (.、y 22设所给曲线围成的图形的边界曲线为L，1 2去4 0xdy xdy= y dy+ ydy+ 3_ BCCO013 42jy =23则21 2= +33例5、计算解：法因为2)=-332 2 2L ydx xdy，L :从点A(-R,0)到点B(R,0)的上半圆周x y R。用曲线积分与路径无关QP1在xoy面上恒成立，且xyxQ PQ及一P在xoy面

12、上连续，所以曲线积分yL ydx xdy与路径无关。R于是 l ydx xdy = ab ydx xdy = R0dx =0法二、用曲线积分与路径无关，则ACBA ydx xdy=0 (其中 C(0,R)法三、用曲线积分与路径无关，则(R,0)(R,0)ydx xdy = ydx xdy = d(xy) =xyL( R,0)( R,0)法四、用格林公式QpQp因为一Q 且一及一P在闭曲线ACBA上围成的闭区域 D上连续。故由格林公式xyxy矍)=。ACBA ydx Xdy =l ydx xdy =0法五、用定积分计算，则X Rcos，L的起点A对应与 y RsinQ P()dxdy=0d x

13、yba ydx xdy =0L的参数方程为，综点对应于0，于是0Rsinl ydx xdy =2 1 0R2sin 2 0 =02例六、计算对坐标的曲面积分(y(Rsin ) RcosR cos dR2cos2 d解：设(0(yz)dydz1为平面z)dydz0 0)z)dydz(zZ=h(zx)dzdx被锥面z2x) dzdxdxdydz=0(x y) dxdy 其中(z x)dzdxx2(x(xy(0h)的下侧1所以原式=0-0=01六曲线积分与曲面积分自测题一、一、填空：(4 5分)1、l (x2y cosx 2xysinx2 2其中L为正向星形线x3 y3y2所围成部分的上侧。则Py)

14、dxdy=(卫xR、)dxdydzy zy)dxdy = (x1y)dxdy = (x y)dxdy =0Dxy2 xy e )dx2a?(a(x2sin x2yex)dy2、L为xoy面内直线 x=a上的一段，则3、设 A= (x2yz)i + (y2 xz) j +0)L P(x y)dx _2 z xy)k，贝U div A =4、- (x y 2z)dydz (3y z)dzdx (z 3)dxdy=其中 ：平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所围成的立体的表面外侧。 二、选择题(4 5分)b-tar1、设 A=P(x,y) i +Q(x,y) j , (x,y)数，又L

15、 : AB是D内任一曲线，1、若LPdx Qdy与路径无关，则在D,且P、Q在区域D内具有一阶连续偏导 则以下4个命题中，错误的是QD内必有x若 A ds与路径无关，Ldu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dyC 若在D内巳，则必有A ds与路径无关x yL则在 D内必y有单值函数u(x,y)，使得2、若对D内有一必曲线C,恒有Pdx Qdy 0 ,则LPdx Qdy与路径无关 （x ay）dx ydy为某函数的全微分，则a等于2、A3、-13、已知（x; B设曲线积分y)20;l xy2dxC 1;D 2;y （x）dy与路径无关，其中（x）具有连续得到数，且(1,1) 2xy(x)=0，则(,)dx（x）dy等于384、设空间区域 侧为S,1B2由曲面zD 1;2y平面z=0围成，其中a为正常数，记的表面外的体积为V，则：? x2yz2dydzxy2z2dzdxz(1xyz)dxdyA 0; B V; C三、计算(6 10)2V;3V;x2z2R221、1、 计算1= : x ds,其中为了圆周：x y z02、2、计算曲线积分ydx2xdy其中 L为圆周（x1)2y2，L的方向为逆2(xy )时针方向。3、3、计算（X2y)dx (xsin2 y）dy,其中L是在圆周