概率统计数理统计的基本概念

1、概率统计第七章概率统计第七章数理统计的基本数理统计的基本概念概念 解解:设设车门车门高为高为xm,则则 即即 99. 0)(xXP， 326. 299. 0 x，326. 2x 所以必须已知所以必须已知和和2的值的值才能算出才能算出x！ 99. 0)( xXP例例:设总体设总体), 0(RX,求求),(xf 例例:设总体设总体),(2NX,求求),(2xf 1,0,0,xfx其它22221, ,e,2xf xx 在试验前，样本的取值是不确定的，为了在试验前，样本的取值是不确定的，为了 体现随机性，因此在数理统计中样本记作体现随机性，因此在数理统计中样本记作 （nXXX,21） ，为） ，为 n

2、 维随机变量维随机变量. 通过试验或通过试验或观测观测得到的数值得到的数值称称为为样本观测样本观测 值值，记作记作),(1nxx . n 为样本大小为样本大小，称为称为样本容量样本容量. 1、 （独立性）nXXX,21相互独立; 2、(代表性)iX的分布和总体分布相同 (即iX),(ixf).(i=1,2,n) nXXX,21nXXX,21),(xf),(xf),(xf),(xfxnXXX,21X为为离散型随机变量离散型随机变量,X)(),(xXPxf, (nXXX,21)的联合概率函数：的联合概率函数： ),(),(221121nnnxXxXxXPxxxf )()()(2211nnxXPxX

3、PxXP =),(11xfX),(22xfX),(nXxfn =),(1xf),(2xf),(nxf=1,niif x ni 11112n1,x ,p11.0 11,2,iiniiinxxixnxif xxppppxin， ；例:设总体)(PX泊松分布,(nXXX,21) 为取自该总体的一个样本，求(nXXX,21)的联 合概率函数),(21nxxxf？ 解解: 12(, )nf x xx =1( , )f x2(, )f x(,nf x) =11!xex!nxnexnii 1xn12nex !x !x !, 0,1,;1,2,ixin X为为连续型随机变量连续型随机变量,总体总体X),(xf

4、密度函数密度函数, (nXXX,21) 为 取 自 该 总 体 的 一 个 样 本 ， 则为 取 自 该 总 体 的 一 个 样 本 ， 则(nXXX,21)的联合密度函数为：的联合密度函数为： ),(21nxxxf =),(11xfX),(22xfX),(nXxfn =),(1xf),(2xf),(nxf =niixf1),( 例例:设总体设总体), 0 (RX, (nXXX,21)为取自该总为取自该总体的一个样本，求体的一个样本，求(nXXX,21)的联合密度函数？的联合密度函数？ 解解: 12( , )nf x xx1,00,inx其余 例:设总体),(2NX,(nXXX,21)为取自该

5、总体的一个样本，求(nXXX,21)的联合密度函数。 解解: 12(,nf x xx2,) =2222()()22222212(2)iixxnnee,1,2,ixin 定义：定义： 样本的函数样本的函数g(nXXX,21)称为统计量称为统计量（不含有未知参数）（不含有未知参数）. 目的：目的： 用样本的统计量去估计用样本的统计量去估计总体分布描述中的总体分布描述中的未知参数。未知参数。 212,(,)nXNX XX 2未知，已知4214212421;1;4.1iiiiiiXXXX（1）样本均值）样本均值 11niiXXn （2）样本方差）样本方差 2211()1niiSXXn 样本样本标准差标

6、准差 niiXXnS12)(11 （修正样本方差修正样本方差）2211()nniiSXXn 22211222122211()11nniiiiniinniiXXXnXSXnXnSXXn92222212210 11 3223 1422913223142521529228iixxS （3）样本的）样本的 K 阶原点矩阶原点矩 kA11nkiiXn （4）样本的）样本的 K 阶中心矩阶中心矩 kM11()nkiiXXn 定 理定 理 7.3 ： 设 总 体： 设 总 体X的 均 值的 均 值()E X， X 的 方 差的 方 差2()D X，(nXXX,21)为为取自该总体的一个取自该总体的一个样本，

7、样本， 则（则（1）()E X，2()D Xn （2）22()E S，221()nnE Sn （3）PX ，2211()1niiSXXnP2 2nS=2211()nPiiXXn ),(pnB )(P ),(baR )(E ),(2N 期望期望 E(X) np 2ba 1 方差方差 D(X) )1 (pnp 12)(2ab 21 2 样本均值的样本均值的期望期望)(XE np 2ba 1 样本均值的样本均值的方差方差)(XD )1 (pp n nab12)(2 21n n2 样本方差的样本方差的期望期望)(2SE )1 (pnp 12)(2ab 21 2 NoImageNoImage 2,.E

8、XD XE S1, 4N 2,.E XD XE S设设(nXXX,21)为一个样本，其中：为一个样本，其中： 取值最大的一个记为取值最大的一个记为)(nX，称为最大次序统计量，称为最大次序统计量， 取值最小的一个记为取值最小的一个记为)1(X，称为最小次序统计量，称为最小次序统计量， )(iX称为第称为第 i 个次序统计量，个次序统计量，ni, 1 n 个次序统计量个次序统计量)1(X,)(nX总是满足总是满足 )1(X)2(X )1(nX)(nX F x f x 111,nfynF yfy 1.nnfynFyfy1、定义定义 设设随机变量随机变量nXXX,21独立同分布且独立同分布且(0,1

9、)iXN，则则 221( )niiYXn，n 为自由度。为自由度。 例、设X1，X2相互独立，都服从 N（0，1), 由定义可得 22222221212X 1 ,1 ,XX 2 .X2、性质、性质 （1）)(2nY时，时，(),()2E Yn D Yn； （2） 分布具有可加性：设分布具有可加性：设2( )Xm )(2nY， X，Y 相互独立，相互独立， 则则)(2nmYX 。 注：类似具有可加性的分布还有二项分布，泊松分布， 正态分布。 例：例：设设（621,XXX）是来自正态总体是来自正态总体23 , 0的的 一 个 简 单 随 机 样 本 ， 求 常 数一 个 简 单 随 机 样 本 ，

10、 求 常 数cba,， 使， 使265423221XXXcXXbaXQ服从服从2分布，分布，并求自由度并求自由度 n。 解：由20,3iX，且iX之间相互独立， 故21110,3,0,13XX。 同理，23230,18 ,0,1 ,18XXXX 又 4564560,27 ,0,1 ,27XXXXXX 所以由2分布的定义可知 22222345611331827XXXXXX 即111,91827abc时Q服从自由度为 3 的2分布。 3、分位数、分位数 设设2( )Xn，记它的，记它的 p 分位数为分位数为)(2np，即，即)(2np满足满足 pnXPp)(2 分位数结果查表得到，见分位数结果查表

11、得到，见 P259 ?)4(295. 0 ?)14(21 . 0 p0)(2np)(2np)(2np)(2np)(2np)(2np)(2np)(2np 2pn1、定义、定义 设设(0,1)XN，)(2nY，X与与Y相互独立，相互独立， 则则 )(ntnYXT ， n 为自由度。为自由度。 例 设X1，X2，X3相互独立，都服从 N（0，1), 由定义可得 2223221tXXX2、分位数、分位数 设设 ( )Xt n， 记它的， 记它的 p 分位数为分位数为)(ntp， 即， 即)(ntp满足满足 pntXPp)( 根据根据 t-分布密度函数的对称性，有性质分布密度函数的对称性，有性质 )(n

12、tp=)(1ntp 该性质类似正态分布的结果。该性质类似正态分布的结果。 分位数结果查表得到，见分位数结果查表得到，见 P261 ?)7(975. 0t ?)9(01. 0t 例：设521,XXX是独立且服从相同分布的随机变量， 且每一个5 , 2 , 1iXi都服从1 , 0。 （1） 试给出常数c，使得2221XXc服从2分布，并指 出它的自由度； （2） 试给出常数d，使得25242321XXXXXd服从 t 分布， 并指出它的自由度。 1、定义、定义 设设2( )Xm，)(2nY，X与与Y相互独立，相互独立， 则则 ),(nmFnYmXF ， m 为为第一第一自由度自由度、n 为为第二

13、第二自由度。自由度。 2、分位数、分位数 设设(, )XF m n，记它的，记它的 p 分位数为分位数为),(nmFp，即即),(nmFp满足满足 pnmFXPp),(。 3、性质：、性质：),(nmFp=),(11mnFp 分位数结果查表得到，见分位数结果查表得到，见 P323 F0.95 (4,10)=? F0.05 (12,3)=? 设总体设总体),(2NX，(nXXX,21)为为取自取自该总体的一组该总体的一组样本样本 （1）),(2nNX，即，即) 1 , 0( NnX （2）)()(2212nXnii （3）) 1()(2212nXXnii，即，即) 1() 1(222nSn （4）X与与2S相互独立相互独立 （5）) 1(ntnSX 设总体设总体),(211NX，(mXXX,21)为取自该总体的一组样本为取自该总体的一组样本 设总体设总体),(222NY，(nYYY,21)为取自该总体的一组样本为取自该总体的一组样本 总体总体X与总体与总体Y相互独立相互独立 记记miiXXmS1221)(11，niiYYnS1222)(11 miiwXXnmS122)(21+)(12niiYY =2) 1()