2009年全国大学生数学建模B题

1、眼科病床的合理配置优化模型 摘要：本文将眼科患者中除外伤（一般作为急症处理）外的三种患者以平均等待时间（从门诊就诊到入院的时间+手术准备时间）最短衡量病床安排方案合理程度，并以此为基础建立合理的评价指标体系；利用Matlab软件对医院所提供的有关数据进 行了详细的分析处理，运用排队论建立了该医院病床安排模型，将分配床位的结果（等待时间）与原来等待时间做了比较，说明运用此模式分配床位更合理；根据每个窗口最大接收病人的能力以及住院病人及等待住院的病人的统计情况，可以在门诊就诊时告诉需要住院的病人大致入院时间；同时，在周六、周日不安排手术的情况下，对该医院病床安排模型进行了相应的调整；建立了使得病人

2、在系统内的平均逗留时间（含等待入院 及住院时间）最短的病床比例分配模型。 关键词：眼科医院；病床；安排；模型；排队论 一、问题重述 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，由于眼科病人的病情严重程度存在差异，有的只需要一次手术就可以治愈，有的需要二次手术（比如白内障患者分一只眼和两只眼患病两种情况），并且在入院前和术前一般都有等待时间，在术后都有不同长度康复时间（这里指需要留院观察的时间），会有很多患者为就诊治病而等待比较长的时间，为解决这种问题，如果医院增添服务人员和设备，就需要增加人力和物力的投资，若处理不当，很有可能对医院造成资源的浪费；不采取相应的措施，则排队等待时间太长的现象很难得到改善

3、，对患者和社会都会带来不良影响。为此，采用排队论的有关理论2, 利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟，以获得反映其系统 本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或评价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。因此，医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡，以便提高服务质量，降低服务费用.0 二、问题假设 1、假设就医患者在某段时间区间内到达的患者数的概率与这段时间的长度和患者数有关； 2、在不相同的时间区间内到达的患者数是相互独立的； 3、在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者，不存在同时到达2个以上患者的情况; 4、在有限的时间区间内只能到达有限个患者，不可能有无限个患者

4、到达； 5、假定医院急诊窗口属于标准型：即急症病人不需要等待，病人一到即可就诊，并且对于需要住院、手术时均可及时得到满足。 三、问题分析 病人在就诊时，医院的医疗器件、医生人数的限制，或是由于病人就诊规则的不合理，会导致一些资源的浪费，甚至会导致一些病人得不到及时就诊而错过最佳的治疗时机。因此，医院想办法解决这种问题，增加医务人员和设备会增加投资或发生空闲浪费；如果减少服务设备，排队等待时间太长，对患者和医院都会带来不良影响.通过对问题的分析，可以结合排队论原理，将这个问题转变为排队论问题去讨论。衡量指标确定为：平均等待时间（从门诊就诊到入院的时间+手术准备时间）最短，根据 排队论原理，通过对

5、所给数据进行了分类统计，对该医院的病人入住设置了不同的窗口，并对分类结果进行了详细的分析，建立了排队论模型，根据所建立的模型对该医院两个月时间内就诊病人的平均等待时间进行了计算，并与未采取这种措施的平均等待时间进行了比较，说明所采取的措施是可行的，为改善该眼科医院目前病床安排现状提供了比较合理的依据。 四、模型的建立 （一）、模型的初步建立 如M/M/1即表达到达过程服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台为一个，系统容量和顾客源无限，服务规则为FCFS的情况。 另外需要指出的是排队规则通常有标准型、顾客源有限型和服务系统容量有限型三种。由于一个城市或任何地区的所有人都被认为是医院的可能“

6、顾客”，这样到达的“顾 客”数目可以认为是无限的，因此顾客源为有限的情况通常在医院服务中心是不存在的。有些服务系统的容量是有限的，医院存在这种情形，如规定一天门诊挂50个号，那么 第51个病人就会被拒绝。对于医院急诊来说病人来源是无限的，系统容量也是无限的。因此我们也可假定医院急诊排队系统就属于标准型：即急症病人不需要等待，病人一到 即可就诊，并且对于需要住院、手术时均可及时得到满足。 1、排队系统的数量指标 研究排队系统的目的是通过了解系统状态，对系统进行调整和改进，使系统达到最优化的运行状态，取得最大的经济效益和社会效益。从这一出发点，我们必须确定用以判断系统运行优劣的指标。 队长：指在系

7、统中的顾客数，包括正在排队的顾客和正在接受服务的顾客，它的期望值记作Ls；队列长：指在系统中排队等待服务的顾客数，它的期望值记作Lq；队长=队列长+正被服务的顾客数。Ls（或Lq）越大，说明服务率越低。 逗留时间：指一个顾客在系统中的停留时间，它的期望值记作Ws等待时间：指 一个顾客在系统中排队等待的时间，它的期望值记作Wq 逗留时间=等待时间+服务时间 据调查显示，医院就诊排队问题中“顾客”常常只需关心等待时间的长短。 2、排队模型简介 M/M/1模型即指顾客到达服从泊松分布3,服务时间服从负指数分布，单服务台的情形，是实际中使用最广，数学处理最简单的模型，在排队论中有重要的作用。标准的M/

8、M/1模型是适合下列条件的排队系统： 输入过程一一病人源是无限的，单个到来且相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布，到达过程已是平稳的（到达间隔时间及期望值、方差均不受时间影响）。 排队规则一一单队，且对队长设有限制，先到先服务。 服务机构一一单服务台，各病人的诊治时间时相互独立的，服从相同的负指数分布。 止匕外，还假定病人到达间隔时间和诊治时间是相互独立的。 M/M/1模型要求到达规律服从参数为的泊松过程，服务时间服从参数为的负指 数分布。即平均到达率，表示单位时间平均到达的病人数。即平均服务率，表示单 位时间能被服务完的病人数（期望值），而1/就表示一个病人的平均服务时间。在排队论中“平均

9、”指概率论中的数学期望，这两个参数都需要对实测的数据经过统计学检验来确定。 /有着重要意义，它是相同时间区间内病人到达的期望值与能被服务的期望值 之比，这个比是刻划服务效率和服务机构利用程度的重要标志。令/我们称为 服务强度。在解排队论问题时，需要求出系统在任意时间的状态为n（系统中有几个病人数）的概率Pn,它决定了系统运行的特征，在本标准模型中，Pn（1）no由此推 断，当P0时，P。11/,即系统内病人为0的概率，即空闲概率或病人不 必等待的概率。因此，可以得出排队论的各个运行指标： 多服务台标准模型M/M/S在计算上与M/M/1相似， 其平均服务率s,或平均到达率/,即平均服务率是单服务

10、台模型的s倍，到达率是平均到达率的1/So由此引出另一个问题，s个M/M/1与1个M/M/S模型相比谁的效率更高，在实际中即体现为分别在服务台排队还是统一排队安排进入服务台的问题。计算证实，在服务台个数 和服务率不变的条件下，联合服务（单队排队）比分散服务（多排队模式）效率更高，这是在实际使用中需要主要的问题。 因此，我们可以计算排队理论的各个指标，进行系统运行的评价。在实际运用中， 只要选择适当的模型，并提供输入数据，包括到达率，服务率和服务台数量，即可 得出所有需要的评价指标。 3、使用排队模型中需要注意的问题 研究对象的数据分布律问题 派对系统中研究对象的数据分布通常需要经过假设检验验证

11、（1-SampleK-STest）, 通常来说，K-S检验比21检验更具有优越性，因为其避免了2检验对于数据分类的 依赖。 等待时间和服务能力的权衡 顾客等待和服务能力之间的权衡随处可见。 能力规划决策包含了对于提供服务的成本和顾客等待的成本（或者说是给顾客造成的不便）二者之间的权衡。服务能力的成本由提供服务的服务台的数量决定，而顾客的 不便是由等待时间来衡量的。假设等待可以用货币成本来表示，那么，增加服务能力会导致等待成本降低而服务成本提高。也就是我们在实际中看到的增加诊间或服务设备成本必然增加，而病人等待时间降低，这是决策者必须权衡的矛盾。在排队理论中也提供了费用模型来解决这部分问题，但是

12、必须计算出病人等待费用和我们的服务费用，其中病人等待的费用可能包括队列过长病人流失和病人等待病情恶化等潜在的损失，这在实 际工作在很难估计。 稳态或统计平衡状态 计算上述所有指标的基础时系统状态的概率，这些状态概率与时刻t有关，但是当t充分大的时候，一个系统在t时刻的状态概率就接近于一个常数Pn.这时候就称为稳态或统计平衡状态。我们所计算得出的概率都是在稳态的假设下得出的。 另外，根据以上的公式可以发现，当时，即平均到达率大于平均服务率，系 统中病人到达率大于了能够容纳的病人数，那么空闲概率P。将成负值，这显然是不符合实际的。我们可以解释为系统服务没有空闲的时间，而病人的队长将无限延长，也就是

13、说，这一系统永远无法达到稳态，所以在运用排队理论时还有一个重要条件，即/1 或。 排队理论在医院各项服务中都有广泛的运用前景，使用科学的方法进行科学的决 策，也是现代管理所要求的。在运用时必须注意运用的几个必要条件，否则将得出错误的结论。在现实中，一般地随机到达规律都服从泊松过程。病人到达医院的过程一般也是泊松过程，因此这有些情况下计算平均到独立时可不进行检验，以减少计算量。 图1.M|M|n多服务窗口等待制排队模型 （二）、原病床安排模型的优劣分析 问题一：我们对各种病人的就诊情况进行了统计，并求了相关的平均值，具体结 果如表1所小： 平均 占 床时间 （出院 一 入院） 人数 入院-门诊相

14、差天数 第1次 手术 一 入院 时 间T1 第2次一一第1次手术 术后观察时问 T 4 急症 7.1 31 1 1 0 5.871 青光眼 10.35 34 12 2.41 0 7.941 白单 5.32 53 13 2.40 0 2.925 白双 8.4 62 12 3.52 2 4.903 视网膜 12.85 85 13 2.4 0 10.44 7 表1 表1中，平均占床时间指该病人从住院到出院所用的时间的平均值；人数为该种病 人在1个月到门诊看病人数；入院与门诊的相差天数指门诊就诊时间与入院时间之间的等待天数； 于是，目前该医院住院部对全体非急症病人按照FCFS规则安排住院，计算出其平均

15、等待时间 在床位满的情况下青光眼、白内障单眼手术、白内障双眼手术以及视网膜病人的 需要就诊所需要平均等待时间依次分别为，14.41;15.40;15.52;15.4天，而从平均占床时间可以看出，该种病人的在床位时间一般小于等待时间，因此在这种情况下，一些 病人可能会得不到就诊而错过最佳的治疗时间，因此目前该医院的采取的入住方式不合 理。 （三）、新模型的确立 由于在遇到急症病人需住院治疗时，必须立即为急症病人分配床位，而在不能分配床位的情况下，必须告知病人，让其在其他医院就诊，鉴于此，通过对急诊病人所占比例数据的统计分析，算得急症患者占床位时间基本为7天，而急症患者的平均入住时间占比例为0.0

16、89（见表2）,在所给定79张床位的情况下，为急症病人分配7张床位，在以一周为7天为周期时，可以满足急症病人的要求。因此在为其分配床位的情况下，该 种患者的就诊不会对其他类病人产生影响。本模型中参数C可通过现场获得，和分 别表示该模型当中泊松流得参数，表示负值数分布得参数，C表示窗口的数目。系统 的容量有限制（N）的情形（M/M/C/N/）设系统的容量最大限制为N（c）,当系统中顾客数n已达到N（即队列中顾客数已达Nc）时，再来的顾客即被拒绝，其他条件与标准的M/M/C/相同。 （四）、排队模型得建立 1、求系统状态概率R 与标准点M/M/C/情况类似，得到 当n=N时，只有两种情况，如表 情

17、况 时亥1Jt顾客数 (t,t+t) tt顾客数 到达 离去 A B N N-1 NN 与前同，解得: 1、求系统指标 顾客到达而能进入系统的概率为1PN,故系统的有效到达率为 特别的，当Nc（即时制）时，例如，停车场不允许排队等待空位，此时， 问题二：现在就该医院当前的情况，建立合理的病床安排模型： 根据对数据的统计，将窗口分为4个的时候，服务强调小于1,此时可得表2,如 下所示:于是有 Pn 解得 (c)n n! c c F0,0 c! nP0,c N Pi P0 于是有，当 因为 /0 c c( c! N)-P01 c!(1 N)1) 时，由当前面的差分方程为: 时，有 N Pi0 N

18、P c Pi0 c巳 i0i! c1cicc! 1 i! c! F0 F0 11c 1 1 cNcc!(c1) e(1PN)。 平均占床时间（出院一入院） 人数 比例 分配床 入院-门诊相差天数 第1次手术一入院时问 第2次 第1次手术 术后观察时间 T4 急症 7.1 31 0.089 7 1 1 0 5.871 白内障 单眼 5.32 53 0.114 9 13 2.40 0 2.925 双眼 8.4 62 0.211 17 12 3.52 2 4.903 第 三 类 青光眼 10.35 34 0.143 11 12 2.41 0 7.941 视网膜 12.85 85 0.443 35 1

19、3 2.4 0 10.44 7 表2 依表2对于青光眼，所分配的床位数与平均占床时间的比为1:1,以周期为7天计 算的话，每天就有1.4人出院，因此可以接受1.4个此类病人入住；同理，对于白内障单眼睛而言，分配床位数与平均占床时间比为1:2,因此以7天为一个周期计算的话，一天就会有2.8人次/天出院；白内障双眼，同样会有4人次出院，对于视网膜，分配床位数与平均占床时间比为2.7,故可以计算出，以7天为一周期的话，一天会有2.6人次/大，在将视网膜和青光眼作为在一个大类别处理的话，其每天会有3.8人次/大。 在此情况下，可以更具当天的即将出院的各类人数可以确定第二天的各类病人的入住人数，即：在急

20、症类病人当中可以安排1人入住；白内障病人当中更具单双眼的比例，可以安排2个双眼和一个单眼患者入住；由于视网膜和青光眼的比例为1:3,此时在 视网膜和青光眼类当中，可以安排3个视网膜患者和1个青光眼患者入住。 若床位不满，根据FCFS勺原则，病人直接入住；若是在满的情况下，来的病人数可采用以下方式，按照他们各个窗口内的出院人数接受病人： 1、在遇到急症病人时，立马让其入院，并在第二天就安排手术； 2、在周六及周日遇到白内障病人时，可将需要做双眼手术的人优先安排，这样可以保证该类病人能够在周一做第一只眼的手术，在周三做第二只眼睛的手术。 3、在遇到青光眼病人和视网膜眼科病人时，让他们按照3:1的比

21、例入住。 （五）模型检验 依据上面模型，通过相关程序进行检测，得出各种病人入住时的平均等待时间，如下表所小: 最 优适用 均等待时间 度值 9311.3 9306.9 9306.2 9308.19303.45 9309.65 9313.2 9307.35 9314.0 9314.35 9308.15 3 其中该模型求得的病床安排方案栏中，符号表示为：1、白内障双眼病人入住，2、白内障单眼手术患者入住，3、青光眼和视网膜患者入住。在最优适用度值变化很小的情况下，最短的平均等待时间变化很小，因此，该模型是稳定的。 根据上述模型，对计算出数据进行了随机帅选，选取少量的数据如表4所示: 次数 1 2

22、3 4 5 6 7 平均等待时间 一, T（大） 9.565 9.626 9.636 9.609 9.671 9.615 9.588 表4 从数据可以看出，平均等待时间小于该医院开始时采用的除急症病人外的先来先服 务的平均等待时间T（13.734）,即TT.因此可以说，这种模型是可米纳的。 问题三： 在本就诊规则中， 为病人进行了分类就诊方案并且在每一类当中， 它都有其占病床天数，其等待时间的最大值应该为所分配的病床数目除以该类型病人的每天的出院人数，即可得到该病人的最大等待时间。即依次算得白内障单眼，白内障双眼，视网膜和青光眼的最大等待时间为：3.2天,4.25天,12天，最小值为1天，在门

23、诊时，可以根据他在队列里面属于该类病人的位序和最大等待时间的差额来告知大致的入住时间。即等待时间=最大等待时间-病人的位序。而此时，在不耽误病人情况、在降低医院效率的情况下，可以让就诊队列里面的人数不应该超过各自所属病类型的最大等待时间。 问题四：原方案当中，只是白内障病人的手术不安排在周六和周日做，其他的病人在就诊之后，只要是适合手术（除周一和周三之外），在条件允许的情况下就可以安排手术，周六和周天也可以安排手术。而在周六周日不安排手术，此种变动对白内障病人的入住及手术没有产生任何影响，可以根据他们各自类别的平均入住时间，选用在周六 和周日安排更多的数目入住，其他的时候可以相对这两天而言安排

24、的数目比例应该小一 些，这样可以在保持安排人数不变的情况下，让手术时间避开周六及周日做。 问题五：逗留时间是指一个顾客在系统中的停留时间，它的期望值记作Wso等待 时间，指一个顾客在系统中排队等待的时间，它的期望值记作Wq。 逗留时间=等待时间+服务时间 据调查显示，医院就诊排队问题中顾客常常只需关心等待时间的长短，而与服务时 间的长短基本无关，因此，为了便于管理，一般情形下，在要求平均逗留时间（含等待入院时间及住院时间）最短的情况下，只需要各种平均等待时间最小，可以安排如下： 床位比例模型如下表5所示: 平均占床时问（出院一入院） 人数 比例 分配床 急症 7.1 31 0.089 7 白内障 单眼 5.32 53 0.114 9 双眼 8.4 62 0.211 17 第 三 类 青 光眼 10.35 34 0.143 11 视 网膜 12.85 85 0.443 35 表5 五、模型分析 由于在建模的时候，首先在考虑急症病人的特殊性，为其分配了一定的床位，保证了该类病人