最新微分方程复习题

1、精品文档精品文档精品文档常微分方程复习题一、填空题1微分方程(凹)“ 也 y2 x2 0的阶数是dx dx答：12.形如的方程称为齐次方程 答:乎 gC)dx x3 方程y 4y 0的基本解组是 .答: cos2x, sin 2x.1. 二阶线性齐次微分方程的两个解y,x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是.答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)2.方程y 2y y 0的基本解组是 答:x xe , xe3.若 和 (t)都是X A(t)X的基解矩阵，贝U (t)和 (t)具有的关系是。4.一阶微分方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0是全微分方程的充分必要条件是

2、5.方程 M (x,y)dx N(x, y)dy 0有只含x的积分因子的充要条件是。有只含y的积分因子的充要条件是 。6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点x, y处 的切线斜率为2x y，则曲线方程为。7. 称为n阶齐线性微分方程。8. 常系数非齐线性方程 y(n) a1y(n 1 a. “ a.y e xPm(x)(其中Pm(x)是m次多项式)中，则方程有形如 的特解。9. 二阶常系数线性微分方程y 3y 2y ex有一个形如 的特解。10.微分方程 y 4y 21 y0的一般解为 。9微分方程xy 2y 3y40的阶数为。10. 若Xj(t)(i 0,1,2丄，n)为齐次线性方程的n个线

3、性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为.11. 设X(t)为非齐次线性方程的一个特解，xi(t)(i 0,1,2,L ,n)是其对应的齐次线性方程的一个基本解组，则非齐线性方程的所有解可表为 .12. 若 Xi (t)(i 0,1,2,L , n)是齐次线性方程y(n) a1(x)y(n 1) an 1(x)y an(x) y 0的n个解，w(t)为其朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。答： w a1 (x)w 013. 函数是微分方程y y 2y 0的通解.14. 方程y 2y y 0的基本解组是.15. 常系数方程有四个特征根分别为1 1,0, 1 (二重根)，那么该方程有基本解组

4、.16. YA(x)Y 一定存在一个基解矩阵(x)，如果 (x)是Y A(x)Y的任一解，那么 (x)。17. 若 (t)是X A(t)X的基解矩阵，则向量函数=是X A(t)X F(t)的满足初始条件(t。) 0的解；向量函数 (t) =是X A(t)X F(t)的满足初始条件(t。) 的解。18. 设 X1(t),X2(t)分别是方程组 X A(t)X R(t) , X A(t)X F2(t)的解，则满足方程 X A(t)X F1(t) F2(t)的一个解可以为 。19. 设X为非齐次线性方程组 X A(t)XF(t)的一个特解，(t)是其对应的齐次线性方程组 X A(t)X的基解矩阵,则

5、非齐线性方程组 X A(t)X F(t)的所有解可表为.20. 方程组X A(t)X的n个解X1(t),X2(t),L ,Xn(t)线性无关的充要条件是.21.若矩阵A具有n个线性无关的特征向量V1,V2丄,vn ,它们对应的特征值分别是!, 2丄,n，那么矩阵 （t）= 是常系数线性方程组 XAX的一个基解矩阵。二、单项选择题1. n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（A ）个.（A）n ；（ B） n 1；（C） n+1 ；（D） n +2.2. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（C ）.（A）不是其对应齐次微分方程组的解；（B）是非齐次微分方程组的解；（C）是其对应齐次

6、微分方程组的解；（D）是非齐次微分方程组的通解3若 y1(x),y 2(x)是阶线性非齐次微分方程的两个不同特解,则该方程的通解可用这两个解表示为).(A)1(x)2 (x)(B)i(x)2（X）；(C) C( ,x)2（X）1(x)(D)C i(x)2（X）.精品文档精品文档精品文档精品文档4. 下列方程中为常微分方程的是2(A) x2x 10 ；(B)2xyu(C) 722uu .2 ；xy(D)（c为常数）.精品文档精品文档精品文档精品文档下列微分方程是线性的是（精品文档精品文档精品文档精品文档(A) y x2 2y ；(B) y(C) y2x 0 ；(D) y2xy .6.方程y2 2

7、x3y 2y x e 特解的形状为(A) y12 2xax ey ；(B) y1(ax2bx c)e 2x ；(C) y1x2 (ax2 bx c)e 2x ；(D) %x2(ax2bx c)e 2x精品文档精品文档精品文档精品文档7.下列函数组在定义域内线性无关的是（(D)1,2,x, x2.2 2 2(A) 4, x ；(B) x,2x, x ；(C) 5,cos x,sin x ；8. 下列方程中为常微分方程的是（(B) sinx 12(A) t dt xdx 0 ；精品文档精品文档(C) y x 1 c (c 为常数)；9. 下列微分方程是线性的是()2 dy 1(A) y 1 y ；

8、 (B)-dx 1 xy10. 方程 y 2y 2y ex(xcosx2u2u0.(D)-22xy(C)2ybycx ；4(D) y xy 02si nx)特解的:形状为( )精品文档精品文档精品文档精品文档x(A) y1 e (Ax B)cosx Csinx；x(B) y1e Ax cosx Csinx；x(C) y1 e ( Ax B) cosx (Cx D) sin x；(D) y1 xe ( Ax B) cosx (Cx D)sin x.11. 下列函数组在定义域内线性无关的是()3 2 2(A) 1, x,x ;(B) 2x ,x, x ；2(C) 1,sin x,cos2 x ；(

9、D) 5,sin 2(x 1),cos2(x1).精品文档精品文档精品文档精品文档12. 下列方程中为常微分方程的是2(A)xy2 1(B) y2x；y2u(C)r2u2x2u2 ；y(D) x(c为常数).13.下列微分方程是线性的是(A) y ；(B) y 2 6ydx(C)sin x ；(D) y yy2 cosx.14.方程yy 2sin x特解的形状为(A) y1x(Acosx Bsin x)；(B)Y1Ax sin x ；(C)yBx cosx ；(D)y12Ax (cosx sin x).精品文档精品文档精品文档精品文档15.下列方程中为常微分方程的是(精品文档精品文档精品文档精

10、品文档(A)x2y2z20 ；(B) yxce(C)2u-2 ；x(D) y=c 1cost+C2Sint(C1, C2 为常数).精品文档精品文档精品文档精品文档16.F列微分方程是线性的是（17.18.19.(A) x(t) x f (t)；(C) x y2 y方程y 2y 3yxe cosx(A) y1 Acosx Bsinx ；3(B) y（D）y13y特解的形状为（(B) yicosx ；Ae xx(C) yi e (Acosx Bsin x)；F列函数组在定义域内线性无关的是t 2t 3t(A) e , e ,e2(C) 1,sin (t 1), cos(2t 2)；F列方程中为常

11、微分方程的是3(A) x +1=0；(B) yxceu(CX20.F列微分方程是线性的是（(A)2y22(B) y21.方程6y 9y(A)y1"3xAe ；22.(C) y1Axe3x(D) y1 Axe xcosx .(B)(D) 422Ucosx ；3x16e特解的形状为(B) y1(D) y1F列函数组在定义域内线性无关的是（x x 2- x(A) e , xe ,x e(B) 2,cox, coxo,t,tt, 2t(C)A 2 3xAx e3, 6t+8.(D)2yy 2yex.22x ；(D) xdx+ydy=0.e3x( Asin 3x Bcos3x).2；(C)1,

12、2,x ；5x 4x 2(D) 0,e x,e x .23 .微分方程(A) (ax+b)exy''3y'+2y=2x 2ex 的特解(B) (ax+b)xexy*的形式是(C) (ax+b)+cex(D) (ax+b)+cxe24.微分方程2y3y 0的通解是y=()(A)x3x 3 ；(B)(C)x3xG ec?ex3xc1ec2e(D)25.设y1（x）, y2（x）, y3（x）是线性非齐次方程ya(x)yb（x）y f （x）的特解，则y (1 G C2)y1(x) ®y2(x) C2y3(x)（A）是所给微分方程的通解;精品文档精品文档(B) 不是

13、所给微分方程的通解；(C) 是所给微分方程的特解；(D) 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解126微分方程y 4y ?cos2x的特解的形式是y=()(A) a cos2x ；(C) asin2x bcos2x ；27. 下列方程中为常微分方程的是(4 2(A) x 3x x 10 ；2 22u uu(C) 22 ；t xy28. 下列微分方程是线性的是(2 2(A) y xy y x ；(B) y x(B) axcos2x ；(D) axsin2x bxcos2x.)2(B) y" y' x ；(D) u v2 w.)2 2y ;(C) y

14、 xy f(x) ；(D) y精品文档精品文档精品文档精品文档f (x)的三P(x)y Q(x)yp(x)y q(x) y f (x)的三个不同的特解,(C) G y1 C2 y3y2;(B)q(% y2)o(y2y3)%；(D) g (y1y2)C2W2y3).个线性无关解，ci , c2是任意常数，则微分方程的通解为()(A) G y1c2y2y3；但)0力c2y2(1GC2W3;(C) G y1c2y2(G q)y3；(Dgy1c2 y2(1c1C2M.2x30.若连续函数f(x)满足关系式f(x)0f dt In22，则f (x)为x .(A) e l n 2 ；2x .小x(B)e

15、ln 2 ；(C) eln 22x(D)eln2.31.若 y13xe ,y2xe3x，则它们所满足的微分方程为()(A) y6y9y 0;(B) y9y0 ；(C) y9y0;(D) y6y9y0.29.设ydx), y2(x), y3(x)是二阶线性非齐次微分方程32.设y1, y2,y3是二阶线性微分方程y且My2不是常数，则该方程的通解为(y2 y333.设 ky是方程y P(x)y q(x)y 0的两个特解，则y g% cy ( Gt 为 任意常数)( )(A) 是此方程的通解 ;(B) 是此方程的特解37. 方程 y y(C)不一定是该方程的解；(D)是该方程的解.(A) (ax

16、b)e(B) x(ax b)e x ；2(C) x (ax b)ex(D) e (ax b)cos2x (cx d)sin 2x .38. 方程 y2y yV*xe的特解y的形式为(x(A) axe ；xx(B) (ax b)ex；(C) x(ax b)ex ；(D) x2(ax b)ex .39. 已知 y1coswx 与 y2 3cos wx 是微分方程 yw2y0 的解,则 yc1y1c2y2是( )(A) 方程的通解；(B)方程的解，但不为通解；(C)方程的特解；(D)不一定是方程的解.40. 方程 y3yx*2y 3x 2e的特解y的形式为(x(A) (ax b)ex ；xx(B)(

17、ax b)xex；(C)(ax b) cex；(D) (ax b) cxex .41. 方程 y 3y2yx2e 2x特解的形式为(A) y ax2e2x2(B) y (ax bx c)e2x2(C) y x(axbxc)e 2x222x(D) y x (ax bx c)e42. 方程 x 6x13xet(t25t12) 特解形状为( )x(A) aexb；(B)axebx；x(C)aebx；(D) axexb.35. 方程 (Pxyy2)dx (qxy2x2)dy0是全微分方程的充要条件是(B )(A) P4，q2；(B) P4，q2；(C) P4，q2；(D) P4，q2.236. 表达式

18、 cos(x y2) aydxby cos(x y2)3xdy是某函数的全微分，则(A) a 2，b2；(B) a 3，b2；(C) a2，b3；(D)a3，b3.34. 微分方程 y yex 1的一个特解形式为( )Y*xe x 是特解 y* 的形式为( )精品文档精品文档44.方程x 2x2x tet cost的特解形状为（）2(A) xi (At Btc)et cost ；(B) xi2(At Btc)et sin t ；(C) xi et( AcostBsint)；(D) xi(At2 Btc)et cost (Dt2EtF )et sint4 y45.方程(2xy e32xy y)d

19、x/ 2 4(x yy2 2e x y3x）dy 0的积分因子为（）ii“、i“、i(A)(x)2 ；(B)(x);(C)(y)4 ；(D) (y).xxyye X(AcosxBsinx)；(C) yi(D) yix(A) Xi2(At Btc)e(B)Xi (At B)e'(C) xiAte1;(D) xi Aet .43.方程y2y 2yxcosx的特解形状为（(A) yiAcosxe(B) yiAs in xe x；Ae方程（y ixy)dx(A)x(x) e ;(B)(x)y(C) (y) e ;(D)(y)49.方程(2x2y2y 5)dx(2x32x）dy 0的积分因子为(

20、A)i(x)-x(B)(x)x2.(C)(y) -; (D)y(y)50.方程2xy3dx/ 2 2(x y1）dy 0的积分因子为（(A)(x)-;(B)x(x)2； (C)(y)丄xy(D)(y)46.方程eyx(2xyey)dy0的积分因子为（）(A)(x)12 ； (B)x(x)i,、 i；(C) (y)2xyi；(D)(y)y47.x方程（e23y )dx2xydy 0的积分因子为（）(A)(x)i；(B)(x)x2；(C)(y)丄；2(D)(y) y .xyxdy 0的积分因子为（)48.51.方程 exdx (exctgx2ycosy)dy 0的积分因子为()(A)(x)sin

21、x ；(B)(x) cosx;(C) (y) jsiny; (D)(y)cosy .52.方程ydx (x2 y2 x)dy0的积分因子为()1111(A)(x)2 ;(B)(y)2;(C) (x,y)22 ; (D)(x, y)xyx yx y53.方程y3dx 2(x2xy2)dy0的积分因子为()1111(A)2 ; (B)(C) 2 2 ;(D)2 .xxyx yx y54.方程y 4y 4y0的一个基本解组是().2x.2x22x2x2x(A)1 x, e ;(B) 1,e ;(C) x , e ;(D)e , xe .55.方程y 3x2y ex是()(A)可分离变量方程；(B)齐

22、次方程;(C)全微分方程;(D)线性非齐次方程.三、证明题1.在方程yr P(x)yq(x)y 0 中，P(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任-基本解组的朗斯基行列式W(x)是(,)上的严格单调函数.证明：设y1 (x) , y2 (x)是方程的基本解组，则对任意x (,)，它们朗斯基行列式在(，)上有定义,且 W(x) 0 又由刘维尔公式xp(s)dsW(x)W(«)e x0,Xo(,)(5分)xp(s)dsW (x)W(x°)e x0p(x)由于W(x。)0, P(x)0,于是对一切x (,)，有W (x)0 或 W (x)0故W(x

23、)是(，)上的严格单调函数.(10 分)2.设y1 (x)和 y2(x)是方程yq(x)y 0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x) C，其中C为常数.精品文档精品文档证明：如果y i (x)和y2(x)是二阶线性齐次方程y P(x)y q(x)y 0的解，那么由刘维尔公式有xP(t )dtW(x) W(x0)e "现在，p(x) 0故有0dtW(x) W(x0)e x0W(x。)C(t)X-J w3 .设n n矩阵函数，A2(t)在区间I上连续，试证明，若方程组后Al (t )A2(t) , X与dX A2(x)X在区间I上有相同的基本解组，则 dt证明：因为方程组与dX

24、A2(x)X在区间|dt其基本解矩阵。从而有：d (t)Ai(t) (t),dtd (t)A2(t) (t), tdt上有相同的基本解组,所以可设(t)是精品文档精品文档所以Ai(t)(t)A2(t) (t),又由于 (t)是其基本解矩阵,所以 det(t) 0，即(t)可逆，故Ai(t)A2(t)， X4.设 y 1 (x)和 y2 (x)是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证:它们不能有共同的零点.证明：因y 1 (x)和y2(x)是两个线性无关解，故它们的朗斯基行列式W(x)i(x)2(x)i(x)2(x)(*)精品文档精品文档精品文档精品文档反证。假如它们有共同零点，那么存在一个

25、点X。，使得1(x0)2(X0) 0精品文档精品文档精品文档精品文档W(x。)1 (x0)2(x0 )001 (x0)2(x0 )1(x0 )2 (x0 )精品文档精品文档这与(*)式矛盾所以它们不能有共同的零点.5.给定方程x 3x2xf(t),其中f(t)在t 上连续，设l(t), 2(t)是上述方程的两个解，证明极限tlimi(t)2(t)存在.所以从而证明：由条件知,i(t)3x 2x 0的特征方程是2(t)是齐次线性方程x 3xx 3x 2x 0的基本解组为1, e t1(t)2(t)可由基本解组1,e t, e2x0的解，因为2320 ,特征根是i 0,21, 32,2te2t线性

26、表示，即精品文档精品文档精品文档精品文档t2t1(t)2(t)C1qe所以极限Jim1(t)2(t)Ci存在.6.设y1(x), y2(x),L , yn(x)是n阶齐线性方程y(n) a1(x)y(n1) L an1(x)y an(x)y 0的任意n个解，它们所构成的朗斯基行列式为w(x)，证明：(1) w(x)满足 w (x) a (x)w(x)0 ；xx q(t)dt(2) w(x) w(x0)e %,yn(x)是n阶齐次线性方程的任意n个解，它们所构成的证明： 设ydx), y2(x)丄朗斯基行列式为精品文档精品文档精品文档精品文档yiy2yayn精品文档精品文档w(x)yiLy(n

27、2)y1y(n 1)y1ynLynn 2) ynn 1)由行列式的求导公式得精品文档精品文档精品文档精品文档w (x)YiY2Y3LYnYiY2Y3LYnYiY2Y3LYnYiY2Y3LYnLLLLLLLLLL(n 2)Yiy2n 2)(n 2)y3L(n 2)yn(n 2)Yiy2n 2)(n 2)y3L(n 2)vnY(n i)yiy2n i)Y(n i)y3LV(n i)ynY(n i)yiy2n i)Y(n i)y3LV(ni)yn所以YiY2Y3LYiY2Y3LLLLL(nYii)y2n i)y3n i)L(nYii)y2n i)y3n i)LYnYiY2Y3LYnYnYiY2Y3L

28、YnLLLLLLY(n 2)yiy2n 2)y3n 2)L(n 2)yn(n) Yiy2n)y3n)L(n)ynYiY2Y3LYiY2Y3LLLLL(n 2)yiy2n2)y3n 2)L(n)Yiy2n)y3n)LYiY2YiY2a1 (x)w(x)LL(n 2)Yiy2n 2)ai(x)Yi(ni)ai(x)y2nYnYnL(n 2)yn(n)ynY3LYnY3LYnLLL(n 2)y3L(n 2)yni ai(x)y3n i Lai(x)yT DyiY2Y3LYnyiY2Y3LYnyiY2Y3LYnyiY2Y3LYnLLLLLLLLLLYi(n 2)y2n 2)y3n 2)Lynn 2)y!n 2)y2n 2)y3n 2)Lyin 2)yi(n)y2n)y3n)Lynn)ai(x)yin °ai(x)y2n °ai(x)y3n °Lai (x)ynn °y2yny3yiw (x) ai(x)w(x)yiLy2y3Lyi(n 2)2n<2yyi(n)ai(x)yi(n i)y2n)ai(x)y2ny3n)ai(x)y3n 1)LLLLLynLynn 2)ynn)ai (x)y 1)把这个行列式的第i行、第2行、第n行分别乘以an(x),an i(x),L ,a2(x)后加到 最后