1.2_ 多元函数的基本概念ppt课件

1、推广推广第六章第六章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分学多元函数微分学 第六章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 完毕 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 )(0oPPU00 PP一、一、 区域区域1. 邻域点集, ) ,(0PPU称为点 P0 的邻域.例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中, ),(),(0zyxPU(球邻域)说明

2、：若不需要强调邻域半径说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成. )(0PU点 P0 的去心邻域记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 注意和一元情形的比较!在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 ),() ,U(0yxP。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xx0 yy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的

3、内点也含 EE则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点 ;则称 P 为 E 的边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点若对任意给定的 ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ) ,(PUE邻域内总有E 中的点 , 那么称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集.E 的边界点 )D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E

4、, 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;机动 目录 上页 下页 返回 完毕 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;内点是聚点,边界点不一定是聚点.单连通区域例如，在平面上例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyo21xyoxyoxyo21 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .机动 目录 上

5、页 下页 返回 完毕 11oxy 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 界域界域 .否则称为无3. n 维空间维空间n 元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体称为 n 维空间,Rnn 维空间中的每一个元素称为空间中的kx数称为该点的第 k 个坐标(坐标分量) .记作即机动 目录 上页 下页 返回 完毕 RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21一个点, 当所有坐标时，0kx称该元素为 nR中的零元,记作 O .线性运算的距离记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中点 a 的 邻域为

6、),(21nyyyy与点),(,R),(axxxaUn机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ),(R21nnxxxx中的点,),(yxyx或规定为 ),(R21nnxxxx中的点与零元 O 的距离为22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元. ax 记作nR( , )xyx y二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS机

7、动 目录 上页 下页 返回 完毕 hr定义定义1. 设非空点集设非空点集,RnD DPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作),(21nxxxfu机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin

8、(,yxz 又如机动 目录 上页 下页 返回 完毕 的图形一般为空间曲面 .12R),(yx三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzo例例. 设设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1 .设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf

9、),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf机动 目录 上页 下页 返回 完毕 求函数复合的练习求函数定义域的练习复合函数例题补充求定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例. 求函数求函数的定义域.解解:02 yx2yx 2oyx2三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设设 n 元函数元函数,R),(nDPPf点 , ) ,(0PUDP,-)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是

10、 D 的聚若存在常数 A ,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有机动 目录 上页 下页 返回 完毕 对任意正数 , 总存在正数 ,切例例1. 设设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),( yxf,022时当yx22yx 222yx , 总有机动 目录 上页 下页 返回 完毕 要证 例例2. 2. 设设0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：0),(yxf故0),(lim00

11、yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 时，当022yxxyyx11sinsin总有 2 要证机动 目录 上页 下页 返回 完毕 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .例例3. 讨论函数讨论函数函数机动

12、目录 上页 下页 返回 完毕 沿不同直线方向极限相同,极限不存在的例子yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,1又又.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解：解：xxy取所以极限不存在.333,0,)1ln(yxyx利用yxxyxyx)1ln(lim00机动 目录 上页 下页 返回 完毕 注意函数的奇点集例例4. 求求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函数定义域不包括 x , y 轴,222yxr令那么62)cos1 (

13、4rr6402limrrr2cos1r22r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3 目录 上页 下页 返回 完毕 用变量替换归结为一元求极限.11lim00yxyxyx解解: : 原式

14、原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例. .求求111lim00yxyx四、四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设设 n 元函数元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 完毕 连续.连续, 例如例如, 函数函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故

15、( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 完毕 结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.)()(lim00PfPfPP0P是定义域的内点,那么 例例. 证明证明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数 , 故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函数在全平面连续 .由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理：假设定理：假设 f (P) 在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续, 那么那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4) f (P) 必在必在D 上一致连续上一致连续 .;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) P63 1 (2), (4) 2 (1), (3) 3 (1-3) 4 (2)，5第二节 目录 上页 下页 返回 完毕 作业内容小结内容小结1. 区域 邻域 :, ) ,