专题10角度问题

1、角度问题例1：如图，在RtAABC中, > 13丄BC,A B = 6,BC = 4,P是皿 令BC内部的一个动点，且满足ZPAB =乙PBC那么线段CP长的最小值为【解答】2【解析】如下图:?.?Z47?C= 90 °.Z?17?P + ZP7?C = 90°,ZPAB= ZPBC, I. ZEAP + ZABP = 90° A APB= 90° OP = OA = OB.?.点P在以AB为宜径的00上，连接0C交00于点P,此时PC最小， 在 RtABC0中, ? Z0BC = 90°,BC = 4,0B = 3, ? .0C=5,?

2、 ? PC = 0C-0P= 2, /.PC 的最小值为 2.例2：在平而直角坐标系中，0为坐标原点，点 A的坐标为(0,8),点B的坐标为(4,0)，点E是直线“ =? +4上的一个动点，假设 ZEAB = AAB0那么点E的坐标为 【解答】(4,8)或(-12, -8)【解析】当点E在:g轴右侧时，连接AE,如图1所示:ZEAB = AABO, :. AE / 0 T 4(0,8), /.点E的纵坐标为8,又？?点E在直线y = x + 4上，令9 = 8,代入解得龙=4, ?£ ()：2 X点E在期轴左HI时.过人E两点作山线交g输于点C.如图2所示1设E(a,a + 4),直

3、线AE的解析式为y = kx + b,将A、E两点的坐标代入得(】f t r=a 4_ 4解得v _ a , ?直线AE的解析式为0二色二丄+ 8,6 = 8a令“ =0 可得 ？ + 8 =(),解得 3= 8a , /. cf oVa4 a 4 a J由勾股定理可得AC = oC + OA=(芒匚)2+ 82, ?山 4,o )申=(4-筈)；(芒策+：AEAB = AABO. :.AC = BC. : .AC2 = BC,+ 82 =空-一黑一16,4 a/4-aJ4 a解得 a = -12 ?那么 a + 4 = &?. £ ( 2, 8),综上，点 E 的坐标为 (

4、 4 , 8)或(-12 , -8) .例 3：如图，抛物线妙 =-吕甘一十龙 + 3 与轴交于 A、B 两点 ( 点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点 o 4【解答】眇=-斗?+ 3或g = #忑_ 3【解析】以AB为直径作OF,过点E作OF的切线，这样的切线有两条，连接FM,过M作A/N丄s轴于点N,如下图：(蓝色线EA/、为圆的两条切线，红色点为两个切点由题意可知 4(-4,0)0(2,0) ? ? 在.O仏=FMN申,MN= MF?FE =? sin Z3F(-l, 0),0 F 半径 FM =FB = 3,me= A52 - 32 = 4, sin Z mfe= 亍 cos

5、Za/f-MFE osZA设直线Z的解析式为y = kx + b,将M. E两点坐标代入得3？?直线Z的解析式为"二一討+ 3,由对称性可得另一条直线的解析式为y=x-3 ；稳固练习1.如图，在平而直角坐标系中，点0为坐标原点，点 A、B、C的坐标分别为4 0,0、 3 “ 3、C 05，点D在第一象限内，且 ZAVB = 60 °那么线段CD的长最小值是 【解答】2八7-2【解析】作0P使得Z/仃97? = 60%连接PA、PB、PC,过圆心P作PE丄人于点E,如下图:V 4 (A/3,0) > ( 3 庐：0) ,? . £2 说,0),又乙adb= 6

6、0°,Z/ira = 120° /. PE = 1 ,PA =2PE = 2, .-.a(2A,1),C (0,5) , /. PC = y (2A3) 2+ (5-1) 2 二 2-/7 ,又？ . ? PD = PA=2, ?只有点D在线段PC上时，CD最短(点D在别的位置时构成 CDF/.CD的最小值为2y/7-2 ?2. 如图，在平而直角坐标系中，二次函数y = ax 2 + bx + c的图像经过点力-1,0刀0, - 3C2： 0，其中对称轴与轴交于点 D, M s为抛物线对称轴上的一个动点， 连接MA、MB，假设A.AMB不小60 *球t的取值范用？【解答一冲

7、愆冲愆6 6【解析】连接AB,作AB的中垂线交OB于点E,以点E为圆心，EA为半径作圆E, ?与抛物线对称轴分别 交于点玖G,如下图：/. AABO = 30o,/. AAEB= 120° ,那么ZAFB = ZAGB =60。，从而线段FG上的点满足题意,AB厂?创一爲0。一竇3，? 5 一皿一劝二净.?.坯勺取值范用是o63.2 、如图，抛物线y = ax + bx + c交z轴于。(0,0) / (&0)两点，顶点B的纵坐标为4.(1) 直接写出抛物线的解析式：说明理由;(2) 假设点C是抛物线上异于原点 O的一点，且满足2BC = O禺2OC.试判断 0I3C的形状，

8、并(3) 在(2)的条件下，假设抛物线上存在一点 D,使得乙OCD = AAOC - AOCA求点D的坐标.1)或D(2. -5)4,【解析】(1) ?抛物线y = ax2Sx + c交龙轴于0(0： 0)/ (&0 )两点，顶点B的纵坐标为a =-464a + 8b+c = 0,解得f 6 = 2，二抛物线的解析式为 抄=-才护+ 2 “16u + 4b + c = 0 c =()设 Cd 由勾股定理可得 0Z?2 = 42 + 42,0芒=x2 + y2,BC2 = (x-4)2+ (y-4)2,A2BC2 = OA + 20C化简得x=；代入到妙=-丄严+ 2龙解得=12期二一 12, 4 .?.<7(12, -12),那么乙AOB = ZAOC= 45 °BOC= 90 : /JOBC是直角三角形；(3)过点C作CE丄轴于点E,如下图：那么tanZ4CA=? ? /AOC =乙 OCE= 45 ° aaoc AOCA 二乙 OCE a°CA = ZACE ,T 乙 OCD = AAOC-AOCA, : tanZOCZ)二芥只要经过虫C,久co的上方仃下方各作一条I 使所作忙J丿CO所成锐角的止加i为殳則血缈？j抛物线的交 点即为所求的点 D,在MC中，皿0=謡誌?直线上方点D即为点B(4,4)> ?点/是