高考数学第一轮总复习 3.7 正弦定理和余弦定理 文 新人教A版ppt课件

1、第 七 节正弦定理和余弦定理考试考试说明说明内容内容知识要求知识要求了解了解(A)(A)理解理解(B)(B)掌握掌握(C)(C)正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理三年三年考题考题1313年年(10(10考考) )：湖南：湖南T5T5安徽安徽T9T9陕西陕西T9T9 山东山东T7T7北京北京T5T5 新课标全国卷新课标全国卷T10T10上海上海T5T5 天津天津T16T16大纲版全国卷大纲版全国卷T18T18 江西江西T17T171212年年(10(10考考) )：北京：北京T11T11湖北湖北T8T8广东广东T6T6 陕西陕西T13T13福建福建T13T13江苏江苏T15T15 浙江浙江T1

2、8T18安徽安徽T16T16辽宁辽宁T17T17 天津天津T16T161111年年(6(6考考) )：浙江：浙江T5T5北京北京T9T9天津天津T16T16 安徽安徽T16T16山东山东T17T17湖南湖南T17T17考情考情播报播报1.1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点查的热点2.2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中, ,综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题题3.3.三种题型都有可能出现三种题型都有可能

3、出现, ,属中低档题属中低档题【知识梳理】【知识梳理】1.1.正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理内容内容 = = = = =2R(R=2R(R是是ABCABC外接圆的半径外接圆的半径) )在在ABCABC中中, ,有有a a2 2=_;=_;b b2 2=_;=_;c c2 2=_=_asinAbsinBcsinCb2+c2-2bccosAb2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosCa2+b2-2abcosC定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理变形变形公式公式a=_,a=_,b=_,c=_

4、;b=_,c=_;sinAsinBsinC=_;sinAsinBsinC=_;sinA= ,sinB=sinA= ,sinB= , ,sinC=sinC= ; ;cosA=cosA= ; ;cosB=cosB= ; ;cosC=_cosC=_2RsinA2RsinA2RsinB2RsinB2RsinC2RsinCabcabca2Rb2Rc2RabcsinAsinBsinCabcsinAsinBsinC222bca2bc222acb2ac222abc2ab定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理解决的解决的问题问题已知两角和任一边已知两角和任一边, ,求求其他边和角其他边和角已知两边和其中一边的

5、已知两边和其中一边的对角对角, ,求其他边和角求其他边和角已知三边已知三边, ,求各角求各角已知两边和它们的夹已知两边和它们的夹角角, ,求第三边和其他角求第三边和其他角2.2.在在ABCABC中中, ,知知a,ba,b和和A A时时, ,解的情况解的情况A A为锐角为锐角A A为钝角或直角为钝角或直角图形图形关系式关系式 a=bsinAa=bsinA bsinAabbsinAabababab解的解的个数个数_一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解【考点自测】【考点自测】1.(1.(思索思索) )给出以下命题给出以下命题: :三角形中三边之比等于相应的三个内角之比三角形中三边之比等于相应的三

6、个内角之比; ;在在ABCABC中中, ,假设假设sinAsinB,sinAsinB,那么那么AB;AB;在在ABCABC的六个元素中的六个元素中, ,知恣意三个元素可求其他元素知恣意三个元素可求其他元素; ;正弦定理对钝角三角形不成立正弦定理对钝角三角形不成立; ;在在ABCABC中中, ,其中正确的选项是其中正确的选项是( () )A.A. B. B. C. C. D. D.aabc.sin Asin Asin Bsin C【解析】选【解析】选C.C.错误错误. .由正弦定理知由正弦定理知abc=abc=sinAsinBsinC.sinAsinBsinC.正确正确. .由正弦定理知由正弦定

7、理知sinA= ,sinB= ,sinA= ,sinB= ,由由sinAsinBsinAsinB得得ab,ab,即即AB.AB.错误错误. .当知三个角时不能求三边当知三个角时不能求三边. .错误错误. .正弦定理对恣意三角形都成立正弦定理对恣意三角形都成立. .正确正确. .由正弦定理结合比例的性质可证明由正弦定理结合比例的性质可证明. .a2Rb2R2.2.知知ABCABC的三个内角之比为的三个内角之比为ABC=321,ABC=321,那么对应的三那么对应的三边之比边之比abc=(abc=() )A.321 B. 21 A.321 B. 21 C. 1 D.2 1C. 1 D.2 1323

8、3【解析】选【解析】选D.D.由由ABC=321ABC=321及及A+B+C=180A+B+C=180，可解得，可解得A=90A=90，B=60B=60，C=30C=30，所以，所以abc=sin Asin Babc=sin Asin Bsin C=1 ,sin C=1 ,即即abc=2 1.abc=2 1.321233.3.在在ABCABC中，中，a a1515，b b1010，A A6060，那么，那么cos Bcos B等于等于( )( )【解析】选【解析】选D.D.由于由于 所以所以所以所以sin Bsin B又由于又由于a ab b，A A6060，所以，所以B B6060，所以所以

9、cos Bcos B2 22 266A B. C D.3333absin Asin B，1510sin 60sin B，233.323261 sin B.34 4在在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别为角分别为角A A，B B，C C所对的边，假设所对的边，假设a a2bcos C2bcos C，那么此三角形一定是，那么此三角形一定是( )( )A.A.等腰直角三角形等腰直角三角形 B. B.直角三角形直角三角形C.C.等腰三角形等腰三角形 D. D.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形【解析】选【解析】选C.C.由于由于a a2bcos C2bcos C，所以由余弦定理得

10、：，所以由余弦定理得：a a 整理得整理得b2b2c2c2，那么此三角形为等腰三角形，那么此三角形为等腰三角形222abc2b2ab，5.(20215.(2021咸宁模拟咸宁模拟) ) 在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a a，b b，c c，假设，假设sin A= sin Csin A= sin C，B=30B=30，b=2b=2，那么边，那么边c= .c= .【解析】依题意得，【解析】依题意得，sin Asin A sin C sin C，即，即a a c c，根据余弦，根据余弦定理可得定理可得b2b2a2a2c2c22accos B2accos

11、 B，即，即4 43c23c2c2c22 c22 c2 ，解得解得c c2.2.答案：答案：2 23333326.(20216.(2021长沙模拟长沙模拟) )在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,假设假设b2+c2-a2-bc=0,b2+c2-a2-bc=0,那么那么A= .A= .【解析】由【解析】由b2+c2-a2b2+c2-a2bc =0bc =0得得b2+c2-a2=bc,b2+c2-a2=bc,所以所以所以所以A=60A=60. .答案：答案：6060222bca1cos A2bc2，考点考点1 1 正弦定理的简单运用

12、正弦定理的简单运用【典例【典例1 1】(1)(1)在在ABCABC中中,A=60,A=60,a= ,b=2,a= ,b=2,那么满足条件的那么满足条件的ABC(ABC() )A.A.有一个解有一个解 B. B.有两个解有两个解C.C.无解无解 D. D.不能确定不能确定6(2)(2021(2)(2021岳阳模拟岳阳模拟) )如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC=2AB=AC=2，BC=2 BC=2 ，点点D D在在BCBC边上，边上，ADC=75ADC=75，那么，那么ADAD的长为的长为 . .(3)(3)在在ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分别是三个内角分别是三个内角A,

13、B,CA,B,C的对边，假设的对边，假设A=2BA=2B，那么，那么cos B= .cos B= .3a5b2，【解题视点】【解题视点】(1)(1)经过详细计算的方法或数形结合的方法求解经过详细计算的方法或数形结合的方法求解. .(2)(2)根据等腰三角形三线合一的性质求出角根据等腰三角形三线合一的性质求出角B,B,再利用正弦定理再利用正弦定理求解求解. .(3)(3)由两边之比联想用正弦定理由两边之比联想用正弦定理, ,化为两角的正弦值之比化为两角的正弦值之比, ,再利再利用二倍角公式化简用二倍角公式化简. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.方法一：由于方法一：由于 又又A=

14、60A=60，且，且abab，所以，所以B B6060，故，故B B4545，所以，所以有一个解有一个解. .方法二：结合草图，由于方法二：结合草图，由于A A6060,a= ,b=2,a= ,b=2所以所以ab,ab,故三角故三角形有一个解形有一个解. .bsin A2sin 60sin B a62,26(2)(2)过点过点A A作作AEBCAEBC，垂足为，垂足为E E，那么在，那么在RtRtABEABE中，中， 故故B=30B=30. .在在ABDABD中，中，ADB=180ADB=180-ADC=180-ADC=180-75-75=105=105. .由正弦定理得由正弦定理得答案：答案

15、：1BCBE32cos B,ABAB2AB sin B2 sin 30ADsin ADBsin 105162.624462(3)(3)由正弦定理得由正弦定理得 又又A=2BA=2B，所以所以所以所以cos B= .cos B= .答案：答案：asin A5bsin B2，sin Asin 2B2sin B cos B52cos B,sin Bsin Bsin B25454【互动探求】把本例【互动探求】把本例(3)(3)条件改为条件改为“在锐角在锐角ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分分别是三个内角别是三个内角A,B,CA,B,C的对边，的对边，A=2BA=2B, ,试求试求 的取值范围的

16、取值范围. .ab【解析】由正弦定理得【解析】由正弦定理得由于由于ABCABC是锐角三角形，是锐角三角形，所以所以所以所以即即 ，所以，所以所以所以 即即 的取值范围是的取值范围是asin Asin 2B2cos B,bsin Bsin BA0,B0,AB222（），（），且，2B0,3B22（） 且，B6423cos B22cos B322，a23b，ab2, 3 .【易错警示】留意角的范围确实定【易错警示】留意角的范围确实定本例【互动探求】由本例【互动探求】由ABC ABC 是锐角三角形判别角是锐角三角形判别角B B的范围时，的范围时，要留意应保证三个内角都是锐角，否那么易出现范围过大的情

17、要留意应保证三个内角都是锐角，否那么易出现范围过大的情况况. .【规律方法】【规律方法】1.1.正弦定理的运用技巧正弦定理的运用技巧(1)(1)求边：利用公式求边：利用公式 或其他相或其他相应变形公式求解应变形公式求解. .(2)(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 或其他相应变形公式求解或其他相应变形公式求解. .(3)(3)一样的元素归到等号的一边：即一样的元素归到等号的一边：即 可运用这些公式处理边或角的比例关系问题可运用这些公式处理边或角的比例关系问题. .bsin Aasin Basin Ca b,csin Bsin Asin A，asi

18、n Bsin A,bbsin Acsin Asin B,sin Caaasin A bsin B, ,bsin B csin Ccsin C,asin A2.2.判别解的个数的两种方法判别解的个数的两种方法(1)(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判别弦函数的值域等判别. .(2)(2)几何图形法：根据条件画出图形，经过图形直观判别解的几何图形法：根据条件画出图形，经过图形直观判别解的个数个数. .提示：利用正弦定了解三角形时，要留意解的个数的判别提示：利用正弦定了解三角形时，要留意解的个数的判别. .【变式训

19、练】知在【变式训练】知在ABCABC中，中，a=xa=x，b=2b=2，B=45B=45，假设三角形，假设三角形有两解，那么有两解，那么x x的取值范围是的取值范围是( )( )A.x2 B.x2 B.x2C.2x2 D.2x2 C.2x2 D.2x2x2且且xsin 45xsin 4522，所以所以2x2 .2x2 .232【加固训练】【加固训练】1.1.在在ABCABC中，中，a=10a=10，B=60B=60,C=45,C=45, ,那么那么c c等于等于( )( )A.10+ B.10( -1)A.10+ B.10( -1)C. +1 D.10 C. +1 D.10 【解析】选【解析】

20、选B.A=180B.A=180-(B-(BC)=180C)=180-(60-(60+45+45)=75)=75. .由正弦定理，得由正弦定理，得3333210asin C10sin 452c1031 .sin Asin 756242.(20212.(2021绵阳模拟绵阳模拟) )在锐角在锐角ABCABC中，角中，角A A，B B所对的边分别为所对的边分别为a,ba,b，假设，假设2asin B= b2asin B= b，那么角，那么角A= .A= .【解析】由正弦定理得【解析】由正弦定理得2sin Asin B= sin B,2sin Asin B= sin B,又又sin B0,sin B0

21、,故故sin A= ,sin A= ,又又0 0A A9090，所以，所以A=60A=60. .答案：答案：6060 3332考点考点2 2 余弦定理的运用余弦定理的运用【典例【典例2 2】(1)(2021(1)(2021青岛模拟青岛模拟) ) 知锐角三角形的边长分别为知锐角三角形的边长分别为1 1，3 3，a a，那么，那么a a的取值范围是的取值范围是( )( )A.8A.8a10 B.2 a10 B.2 a a C.2 C.2 a a10 D. 10 D. a a8 8(2)(2021(2)(2021安徽高考安徽高考) )设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所对边的长分别为所

22、对边的长分别为a,b,c.a,b,c.假设假设b+c=2a,3sin A=5sin B,b+c=2a,3sin A=5sin B,那么角那么角C=( )C=( )221010235A. B. C. D. 3346【解题视点】【解题视点】(1)(1)根据锐角三角形三边关系根据锐角三角形三边关系, ,并结合余弦定理求并结合余弦定理求解解. .(2)(2)将条件一致为边，然后把三边用一个量表示，最后根据余将条件一致为边，然后把三边用一个量表示，最后根据余弦定理求解弦定理求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.假设假设a a是最大边，那么是最大边，那么所以所以3 3a a ；假设假设

23、3 3是最大边，那么是最大边，那么所以所以2 a32 a0)a=3x,b=5x,c=7x(x0)，那么，那么c c为最大边，角为最大边，角C C为为三角形中最大内角，三角形中最大内角，由余弦定理，得由余弦定理，得 所以所以C=120C=120. .222abc1cos C2ab2 ，【加固训练】【加固训练】1.1.在在ABCABC中，假设中，假设a=c=2,B=120a=c=2,B=120, ,那么边那么边b=( )b=( )【解析】选【解析】选B.B.由余弦定理可得由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=b2=a2+c2-2accos B=4+4-24+4-22 22 2(- )=

24、12(- )=12，所以，所以b=2 .b=2 .A.3 3 B.2 3 C.2 2 D. 311232.2.在在ABCABC中，中，C=60C=60，a,b,ca,b,c分别为角分别为角A,B,CA,B,C的对边，那么的对边，那么 = . = .【解析】由于【解析】由于C=60C=60, ,所以所以a2+b2-c2=aba2+b2-c2=ab，所以所以a2+b2=ab+c2a2+b2=ab+c2，等式两边都加上等式两边都加上ac+bcac+bc，整理得，整理得(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c)(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c)，所以所以答案：答案：1 1

25、abbcca 22acabbcbcacab1.bccabccabcca考点考点3 3 正、余弦定理的综合运用正、余弦定理的综合运用【考情】正、余弦定理的运用很广泛，也比较灵敏【考情】正、余弦定理的运用很广泛，也比较灵敏. .在高考中在高考中三种题型都有能够出现，主要调查边角的计算、三角形外形的三种题型都有能够出现，主要调查边角的计算、三角形外形的判别等问题判别等问题. .高频考点高频考点通关通关 【典例【典例3 3】(1)(2021(1)(2021陕西高考陕西高考) )设设ABCABC的内角的内角A, B, CA, B, C所对的所对的边分别为边分别为a, b, c, a, b, c, 假设假

26、设bcos C+ccos B=asin A, bcos C+ccos B=asin A, 那么那么ABCABC的的外形为外形为( )( )A.A.直角三角形直角三角形 B. B.锐角三角形锐角三角形C.C.钝角三角形钝角三角形 D. D.不确定不确定(2)(2021(2)(2021山东高考山东高考) )ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别是的对边分别是a,b,ca,b,c，假设假设B=2AB=2A，a=1a=1，b= b= ，那么，那么c=( )c=( )A.2 B.2 C. D.1A.2 B.2 C. D.1332【解题视点】【解题视点】(1)(1)利用正弦定理将边的关系化

27、为角的关系来判利用正弦定理将边的关系化为角的关系来判别三角形的外形别三角形的外形. .(2)(2)根据角的关系结合正弦定理求出角根据角的关系结合正弦定理求出角A A，然后求出角，然后求出角B B，C C后再后再求解求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.由于由于bcos C+ccos B=asin A,bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦所以由正弦定理得定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,所以所以sin(B+C)=sin2A,sin(B+C)=sin2A,sin A=sin2A,

28、sin A=1,sin A=sin2A,sin A=1,即即A= A= ，所以三角形，所以三角形ABCABC是直角三角形是直角三角形. .(2)(2)选选B.B.由由B=2A,B=2A,那么那么sin B=sin 2Asin B=sin 2A，由正弦定理知，由正弦定理知即即 所以所以cos A= cos A= ，所以，所以 所以所以C=C=B BA= A= ，所以，所以c2=a2+b2=1+3=4c2=a2+b2=1+3=4，故故c=2.c=2.2ab,sin Asin B1333,sin Asin Bsin 2A2sin Acos A32AB2A63，2【通关锦囊】【通关锦囊】高考指数高考指

29、数重点题型重点题型破解策略破解策略判断三角形判断三角形的形状的形状(1)(1)化边化边: :通过因式分解、配方等得通过因式分解、配方等得出边的相应关系出边的相应关系, ,从而判断三角形的从而判断三角形的形状形状. .(2)(2)化角化角: :通过三角恒等变形通过三角恒等变形, ,得出内得出内角的关系角的关系, ,从而判断三角形的形状从而判断三角形的形状. .此时要注意应用此时要注意应用A+B+C=A+B+C=这个结论这个结论计算边、角计算边、角问题问题利用正、余弦定理构造方程利用正、余弦定理构造方程( (组组) )求求解解【关注题型】【关注题型】【特别提示】在判别三角形的外形时【特别提示】在判

30、别三角形的外形时, ,留意等式两边的公因式留意等式两边的公因式不要约掉不要约掉, ,要移项提取公因式要移项提取公因式, ,否那么会有漏掉一种情况的能够否那么会有漏掉一种情况的能够. . 证明三角恒等式证明三角恒等式利用正、余弦定理统一边角利用正、余弦定理统一边角, ,再利再利用代数、三角恒等变换证明用代数、三角恒等变换证明求边或角求边或角( (或其或其他参数他参数) )的取值的取值范围范围( (最值最值) )问题问题利用正、余弦定理将所求边、角利用正、余弦定理将所求边、角统一统一, ,消元消元, ,利用基本不等式或函利用基本不等式或函数求解数求解【通关题组】【通关题组】1.(20211.(20

31、21潍坊模拟潍坊模拟) )在在ABCABC中，中， (a (a，b b，c c分别为角分别为角A A，B B，C C的对边的对边) )，那么，那么ABCABC的外形为的外形为( )( )A A等边三角形等边三角形 B B直角三角形直角三角形C C等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 D D等腰直角三角形等腰直角三角形【解析】选【解析】选B.B.由于由于 ，所以所以 ，所以，所以所以所以 所以所以c2c2a2a2b2.b2.所以所以ABCABC为直角三角形为直角三角形. .2Baccos22c2Baccos22c2Bac2cos112cacos Bc ，222acba2acc ，2.(2

32、0212.(2021武汉模拟武汉模拟) )设设ABCABC的内角的内角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a a，b b，c c，假设三边的长为延续的三个正整数，且，假设三边的长为延续的三个正整数，且A AB BC C，3b=20acos A3b=20acos A，那么，那么sin Asin Bsin Csin Asin Bsin C为为( )( )A.432 B.567A.432 B.567C.543 D.654C.543 D.654【解析】选【解析】选D.D.由题意知：由题意知：a=b+1,c=b-1,a=b+1,c=b-1,所以所以3b=20acos A3b=20acos

33、A= = 整理得：整理得： 解得解得b=5b=5或或b=- (b=- (舍去舍去),),可知：可知：a=6,c=4.a=6,c=4.结合正弦定理可知答案结合正弦定理可知答案. .222222bb1b1bca20 b120(b1),2bc2b b127b27b400 ，873.(20213.(2021厦门模拟厦门模拟) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别所对的边分别为为a,b,ca,b,c，假设，假设acos B+bcos A=csin C,b2+c2-a2= bcacos B+bcos A=csin C,b2+c2-a2= bc，那么，那么角角B= .B= .【解

34、析】由【解析】由b2+c2-a2= bcb2+c2-a2= bc，得，得 所以所以A=30A=30. .由正弦定理得由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A=sin Csin Csin Csin C，即，即sin(A+B)=sin Csin C=sin Csin(A+B)=sin Csin C=sin C，解得，解得sin C=1(sin C=0sin C=1(sin C=0舍去舍去) )，所以，所以C=90C=90，所以，所以B=60B=60. .答案：答案：6060 33222bca3bc3cos A2bc2bc2，【加固训练】【加

35、固训练】1.(20211.(2021嘉兴模拟嘉兴模拟) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,a,b,c,满足满足 (1)(1)求角求角C.C.(2)(2)求求 的取值范围的取值范围. .acsin Asin B.bsin Asin Cabc【解析】【解析】(1) (1) 化简得化简得a2+b2-c2=aba2+b2-c2=ab，所，所以以 (2) (2) 由于由于AA0 0， ，所以，所以所以所以 故故 的取值范围为的取值范围为(1,2(1,2. .acsin Asin Babbsin Asin Cac，222abc1cos C,C.2a

36、b23absin Asin B22sin Asin(A)csin C332sin(A),6235A(,)666，1sin(A)( ,1.62abc2.(20212.(2021长沙模拟长沙模拟) )在在ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分别为内角分别为内角A,B,CA,B,C的对的对边，求证：边，求证：【证明】方法一：由余弦定理得【证明】方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos Bb2=a2+c2-2accos B，所以所以a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B.a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B.整理，得整理，得由正弦定理，得由正弦定理，得即即222sin ABab.csin C222abacos Bbcos Acc，222absin Acos Bsin Bcos Acsin C，222sin ABab.csin C方法二：右边方法二：右边故