初二数学--等腰三角形和等边三角形-知识点与例题.

1、三角形等腰三角形和等边三角形等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形相等的两个边称为这个三角形的腰等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角相等。（简写成 “等边对等角 ”）2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一 ”）3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是

2、它的对称轴等腰三角形的判定：1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义 ) 2.在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形等边三角形的性质：等边三角形是锐角三角形 ，等边三角形的内角都相等，且均为60°。等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一 ）等边三角形是轴对称图形 ，它有三条对称轴，对称轴 是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。等边三角形 重心 、内心、外心、垂心 重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）等边三角形内任意一点到三边的

3、距离之和为定值(等于其高 )等边三角形的判定：三边相等的三角形是等边三角形（定义）三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形(4) 两个内角为 60度的三角形是等边三角形(5) 说明 :可首先考虑 判断 三角形是 等腰三角形 。(6) 等边三角形的性质与判定理解：(7) 首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。 等边三角形是特殊的等腰三角形， 等腰三角形不一定是等边三角形。例题解析等腰三角形的性质应用及判定【例 1】（扬州中考）如图，ABC 中， D、 E 分别是AC 、AB 上

4、的点， BD 与 CE 交于点O.给出下列三个条件：EBO= DCO; BEO= CDO; BE=CD.(1) 上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）(2) 选择第（ 1）小题中的一种情形，证明 ABC 是等腰三角形AEODBC【例 2】如图， ABC 为等边三角形， 延长 BC 到 D, 又延长 BA 到 E，使 AE=BD, 连接 CE,DE, 求证： CDE 为等腰三角形EABCD【例 3】（福建中考）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a, 则下列说法正确的个数有（）DC' 平分 BDEBC长为 ( 22 )a BC'

5、 D 是等腰三角形 CED的周长等于 BC的长A.1 个B.2个C.3个 D.4个ADDBCBE CEBC'【例 4】如图， ABC是边长为1 的正三角形，.BDC是顶角为 120°的等腰三角形，以 D为顶点作一个60°的 MDN ，点 M,N 分别在 AB,AC 上，则 AMN的周长是ANMDBC【例 5】（重庆中考）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A.20 °B.120 °C.20°或 120°D.36 °【例 6】（双柏中考）等腰三角形两边长分别为4 和 9，则第三边

6、长为例 7】如图，点 O 事等边 ABC 内一点， AOB=110 °， BOC= ，将 BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°得 ADC, 连接 OD, 则 COD 是等边三角形；(1)当 为多少度时，AOD 是等腰三角形？ (2)求证： COD 是等边三角形（ 3）当A=150 °时，试判断 AOD 的形状，并说明理由D等边三角形的性质应用及判定OBC【例 8】（乐山中考）如图，在等边ABC 中，点 D,E 分别在边 BC,AB 上，BD=AE,AD 与 CE 交于点 F.(1)求证：AAD=CE;(2) 求 DFC 的度数。E F【例 9 】（黄冈中考）如

7、图，分别以Rt ABC的直角边AC,BC 为边，在 Rt ABC 外作两个等边三角形ACE 和BCF ，连接 BE,AF 。求证：BDCFBE=AFCEBA【例 10】（天津中考）如图，DAC和 EBC 均是等边三角形， AE 、 BD 分别与 CD 、CE交于点 M 、 N,有如下结论： ACD DCB;CM=CN;EAC=DN. 其中正确结论的个数是DA.3 个B.2 个C.1 个D.0个M NACB【例 13】如图，点 C 在线段三角形 ACM 和 BCN ，连AB上，在AB的同侧作等边ANEMFABCDCB三角形 ACM 和 BCN ，连接 AN ，BN ，若 MBN=38 °

8、;，则 ANB 的大小等于。【例 14】（常州中考）已知，如图，延长ABC 的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接 D,E,F ，得到 DEF 为等边三角形，求证： （ 1） AEF CDE;(2) ABC 为等边三角形FBCAED等腰直角三角形的性质应用及判定【例 15】如图，在 Rt ABC 中， B=90 °， ACB=60 °，D 是 BC 延长线上一点， 且 AC=CD,则 BC:CD=ABCD【例 16】已知，如图，AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边， AD 是A 的平分线，求证：AC+CD=ABABDC【例 17】（枣庄中考）两个全等的含 30&

9、#176;， 60°的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上， 连接 BD, 取 BD 的中点 M, 连接 ME,MC, 试判断 EMC 的形状，并说明理由DMBEAC练习题1.下列两个命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形，则以下结论正确的是（A. 只有命题正确B. 只有命题正确C.命题、都正确D. 命题、都不正确）2. (四川中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（ ）A.32.5 °B.57.5 °C.65°或57.5°D.32.5 °或57.5°A3.如图，在 ABC 中， AD BC 于 D,请你再添加一个条件，就