一阶电路的阶跃响应和冲激响应

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑一阶电路的阶跃响应和冲激响应 零状态是零原始状态的简称。电路在零原始状态下，仅由输入激励产生的响应称为零状态响应（ zero-state response ）。 电路在单位阶跃电压或单位阶跃电流激励下的零状态响应称为单位阶跃响 应 (unit-step response), 简称阶跃响应 (step response) 。 图1 表示由单位阶跃电流激励的 RC 并联电路。图中（ t ）为单位阶跃电流。当 t0 时电路无输入激励， ；当 t0 时，电流源向电路供应1A 的恒定电流。这时，电路中的任一响应( 电流或电压 ) 仅仅是由单位阶跃电流激励产生的，即为电

2、路的的RC 并联电路 当 t=0 时，由于电容电流是有限值，电容电压不能跳变，故 uc(0 + )= uc(0 - )=0， iR (0 + )=uc（0 +） /R=0 ，ic(0 + )=1A 。即 此时电容的充电电流等于电流源的电流。随着充电过程的进行，电容电压将从零开头渐渐上升，电阻中的电流也将从零开头渐渐增大，但电流源输出的电流 ( 1A )却保持不变，因此，电容电流必将逐步减小。当电容充电结束后， ，电流源的全部电流通过电阻。 为了讨论上述 RC 并联电路的阶跃响应，首先依据电路的基本约束关系建 立电路方程 或 （1 ） 当 t 0 时，式（ 1 ）变为 （ 2 ） 此即为 t0

3、时电路的输入 - 输出方程，它是一个一阶常系数线性非齐次微分方程。 令式（ 2 ）的右端等于零，得齐次微分方程 为 于是可得阶跃响应电压的自由重量为 由于电路的激励函数在 t0 时是一个常数，可设阶跃响应电压的强制重量 为一常数 K ，即 将此式代入非齐次微分方程式（ 2 ），得到 于是有 K=R 强制重量 因此式（2 ）的通解为 （ 5 ） 由式 （5 ）令 ，并代入初始条件 ，可得 B+R=0 从而解得积分常数 B=-R 将积分常数代入式（ 5 ），并将该式右端乘以单位阶跃函数 ，便得到电路的阶跃响应电压为 或 阶跃响应 的强制重量 在 t 0 的区间内是一个常量， 因此， 又被称为阶跃响

4、应 的稳态重量 (steady-state component) ，或称稳态响应 (steaty-state response) 。线性电路对周期性激励的强迫响应虽不是常量 ( 而是周期量 ) ，也称为稳态响应。 阶跃响应 的自由重量 随时间的增长按指数规律衰减，衰减的 决慢打算于电路的时间常数 =RC ，当经过 4 5 的时间后，即可认为 已消逝。因此，阶跃响应 的自由重量又被称为暂态重量 (transient component) ，或称暂态响应 ( transient response) 。当暂态重量衰减完后，阶跃响应即等于其稳态重量。明显，这就是电路中的电容在充电结束后( ) 具有的电

5、压。 但须留意，暂态响应不肯定等于自然响应，稳态响应不肯定等于强迫响应。 假如激励函数是随时间的增长而衰减的 ( 例如指数脉冲 ) ，则受激励函数约束的强迫响应也将随时间的增长而衰减，它与激励同时存在，同时消逝。这时稳态响应等于零，自然响应和强迫响应一并组成暂态响应。 在暂态响应存在的时间内，电路的工作状态称为暂态 ( 或瞬变状态 ) 。暂态响应衰减完以后，电路的工作状态称为稳定状态 ( 简称稳态 ) 。图1 所示电路在经过 4 -5 的时间后、即可认为进入稳定状态，此时电路的响应即为稳态响应。 电阻电流和电容电流可依据欧姆定律和基尔霍夫电流定律分别表示为 阶跃响应 、 、 的函数曲线分别描绘

6、在图2 中。由此 可见， 与 都是从它们的初始值开头，随时间的增长按指数规律单调地上升，而 则是从它的初始值开头随时间的增长按同一指数规律衰减，约经 4 5 的时间后，它们分别等于各自的稳态重量 ( 电容电流的稳态重量为零 ) 。但电容电流在 t=0 时，由 跳变到 。 （a）电容电压及其稳态重量与暂态重量 （b）电流曲线 图2 RC并联电路的阶跃响应曲线 依据以上所得结果，不难看出，一阶电路对阶跃激励的零状态响应是激励的线性函数。事实上，零状态响应是电路在零原始状态下仅由输人激励产生的响应，因而自然是激励的线性函数。这对于线性电路而官，具有普遍意义。 上面争论了一阶电路的阶跃响应。假如作用于同一电路的激励函数是移位的单位阶跃函数 ，则因电路参数不随时间变化，电路的输山响应与输入激励施加于电路的时刻无关，响应函数的曲线应与阶跃响应曲线完全相同，仅仅在时间上延迟 ；这就是所谓电路的非时变性。例如图1 所示 RC 并联电路的阶跃响应电压 式 6) 为 激励函数 与响应 的曲线示于图 6(a