球面坐标变换

1、球面坐标变换Q 二 f （x, y, z）dV = dQ 二 f （x, y, z）dV .V注：这里Q既代表一个所求的量，又代表该量的值由柱面坐标变换的根据，使我们想到若三重积分中， 当被积函数含有”, z2时，联想到球面方程，我们有如下的球面坐标变换.1球面坐标系设M为空间一点，球球面坐标f / / ）规定如T下：'为原点到M点的距离，'是矢量0M与oz轴 的正向所夹的角，是过0Z轴及点M的半平面与包 含正x轴的半平面ozx所成的角，'J的变化范围分 别是图9-400 岂二岂 2二（或-7：7：），0-，0 空'（如图 9-40）.2、球面坐标变换从图上容易

2、看出，点M 的直角坐标（x, y, z）与球面 坐标L / , p）之间的关系 为xOM cos 二 sin cos, Iy = OM sin 二 sin sin,z= p cos.AXp sin©下述三族曲面称为球面坐标系中的坐标曲面（?） 一族中心在原点的球面'二仃（常数），即X? y2z?二 ri2(?)一族顶点在原点而对称轴与0 z轴重合的圆锥面i常数，即y2 - z21 ar2（?）一族通过oz轴的半平面即 y = tan71 i.若这三族坐标曲面把一个空间区域 V分成几个小区 域，这样得到的小区域中，有规则的小区域（如图9-41） 的体积人V近似地为V AB AD

3、 ' sin 丁2 2=p2 sin ® 也 p也日人® = p2 sin ® d d d 由于f (x, y, z)二 f ( sin cos / sin ,sn , cos )由Q = f (x, y,z)dV，有VdQ 二 f (x, y, z)dV 二 f ( sin cos , sin sin，, cos )f (x, y, z)dV 二 f ( sin cos , sin sin= , cos :VV这就是三重积分从直角坐标变换为球面坐标的换元公式球面坐标系中的体积元素为 dV = ? 2 sin d d d , 上式可化为先对'，再对

4、'，后对；的累次积分来进 行计算我们还可以利用二次柱面坐标变换来证明球坐标变换公式为了得到从直角坐标系的三重积分化为球坐标系的三 重积分公式，只要从直角坐标化为球坐标x= sin cos ,iy二sin，sin=,看作是两次直角坐标化为柱坐Z = P cos® .x = r cos71一 i标 y = rsinZ= zZ= cos,Ir = si n ,的复合，于是由2证Q = Q得的结果，从直角坐标（x, y, z）,于是f (x, y, z)dxdydz 二 f (r cos ,r sn , z)rdrd，dz.QQ再把(z,r广)看作直角坐标，而把C , / )看成对应 的柱坐标，有f(rcos= , r sn ,z)rdrddzQ二 HJ fsin cos / sin® / cos 2 sin d d°Q从而利用直角坐标系的三角积化柱坐标系的三重积分得到从直角坐标系三重积分化为球坐标系数三重积公式为f (x, y, z)dxdydz = f( sin cos , sin