四川省木里县中学高三数学总复习-动点轨迹问题-新人教A版.

1、动点轨迹问题一专题内容：求动点 P(x, y) 的 轨迹方程实质上是建立动点的坐标x, y 之间的关系式， 首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（ 1）等量 关系法 ：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时， 要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉（ 2）定义法 ：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程（ 3）转移代入法 ：如果所求轨迹上的点 P(x, y) 是随另一个在已知曲线 C ： F ( x, y

2、)0 上的动点 M ( x0 , y0 ) 的变化而变化， 且 x0 , y0 能用 x, y 表示，即 x0f ( x, y) ，y0g (x, y) ，则将 x0 , y0 代入已知曲线F ( x, y)0 ，化简后即为所求的轨迹方程（ 4）参数法 ：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标x, y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可（ 5）交轨法 ：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！二相关试题训练（一）选择、填空题1（）已

3、知 F1 、 F2 是定点， | F1F2 |8，动点 M 满足 |MF1| |MF2 | 8，则动点 M 的轨迹是（A）椭圆（ B）直线（ C）圆（ D）线段2（）设 M (0,5) ， N (0, 5) ，MNP 的周长为36，则MNP 的顶点 P 的轨迹方程是（A） x2y21（ x0 ）（ B） x2y21（ x0 ）25169144169（C）x2y21（ y0 ）x2y21（ y0 ）25（ D）1441691693与圆 x2y 24 x 0外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是；4P 在以F1 、 F2 为焦点的双曲线x2y2F1F2 P 的重心G 的轨迹方程161上运动，则9

4、是；5已知圆C： (x3)2y216 内一点 A(3, 0 ) ，圆 C 上一动点 Q， AQ 的垂直平分线交 CQ于 P 点，则 P 点的轨迹方程为 x2y2146 ABC的顶点为 A( 5, 0 ) 、 B( 5, 0 ) ， ABC的内切圆圆心在直线 x3上，则顶点 C 的轨迹方程是； x2y21 （ x 3）916变式：若点 P 为双曲线 x2y21 的右支上一点，F1 、 F2 分别是左、右焦点，则 PF1F2916的内切圆圆心的轨迹方程是；推广：若点 P 为椭圆 x2y21 上任一点， F1 、 F2 分别是左、右焦点，圆M 与线段 F1P259的延长线、线段 PF2 及 x 轴分

5、别相切，则圆心 M 的轨迹是；7已知动点 M 到定点 A(3,0) 的距离比到直线x40的距离少 1，则点 M 的轨迹方程是 y212x8抛物线 y2x2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是xkk 2）（ y849过抛物线2y 4x的焦点 F 作直线与抛物线交于P Q两点，当此直线绕焦点F 旋转时，、弦 PQ 中点的轨迹方程为解法分析： 解法 1 当直线 PQ 的斜率存在时，设 PQ所在直线方程为yk( x1) 与抛物线方程联立，yk (x 1),k 2 x2(2k24)x k 20 y2消去 y 得4x设 P( x1 , y1 ) ， Q(x2 , y2 ) ， PQ 中点为 M

6、(x, y) ，则有xx1x2k 22 ,2k 2消 k 得 y22( x 1) 2 .yk( x1)k当直线 PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为 F (1,0) ，也满足所求方程故所求轨迹方程为y22( x1) 解法 2设 P(x1, y1 ) ， Q( x2 , y2 ) ，y124x1 ,y2 )( y1 y2 )4( x1 x2 ) ，设 PQ 中点为 M (x, y) ，由得 ( y1y224x2 .当 x1y1y24 ，又 kPQkMFy，x2 时，有 2 yx2xx11所以， yy2 ，即 y22(x 1)x1当 x1x2 时，易得弦 PQ 的中点为 F (1,0)，也满

7、足所求方程故所求轨迹方程为y22( x1) 10过定点 P(1, 4) 作直线交抛物线 C : y2x2于 A、B两点,过 A、B 分别作抛物线C的切线交于点 M, 则点 M的轨迹方程为 _ y 4x4（二）解答题1一动圆过点 P(0, 3) ，且与圆 x2( y3)2100 相内切，求该 动圆圆心 C 的轨迹方程（定义法）2过椭圆 x2y 21 的左顶点A作任意弦AE 并延长到 F，使|EF|AE| ，A2为369111椭圆另一顶点，连结 OF 交 A2 E 于点 P ，yF求动点 P 的轨迹方程E（直接法、定义法；突出转化思想）PA1OA2xx2y23已知 A1 、 A2 是椭圆 a2b2

8、1的长轴端点，P 、 Q 是椭圆上关于长轴A1 A2 对称的两点，求直线 PA1和 QA2 的交点 M 的轨迹（交轨法）4已知点 G是 ABC的重心，A(0,1), B (0,1) ，在 x 轴上有一点M，满足|MA| |MC|，GMABR （1）求点 C 的轨迹方程；（ 2）若斜率为k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点P、 Q，且满足 | AP | | AQ | ，试求 k 的取值范围解：（ 1）设 C ( x, y) ，则由重心坐标公式可得G ( x , y ) 33 GMAB ，点 M 在 x 轴上，M ( x ,0) 3 | MA| |MC|， A(0,1) ，( x)21(

9、xx) 2y2，即x2y21333故点 C 的轨迹方程为x2y21（ y1）（直接法 ）3（2）设直线 l 的方程为 ykxb （ b1）， P( x1, y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ， PQ 的中点为 N ykxb,消 y ，得 (13k 2 )x26kbx3(b21)0 由3y 2x23.36k2 b212(1 3k 2 )(b2 1)0，即 13k2b20 又 x1 x216kb， y1y2k( x1x2 ) 2b6k2b2b2b，3k213k 213k 2 N (3kb 2 ,b2 ) 13k13k1b11 ， | AP| | AQ|，ANPQ ， kAN，即 13k2k3

10、kbk13k 2 13k 22b ，又由式可得 2b b20 ， 0 b2 且 b1 013k 24 且 13k 22 ，解得1k 1 且 k33故 k 的取值范围是1k 13且 k35已知平面上两定点M (0,2) 、 N (0, 2) ， P 为一动点，满足MP MNPNMN （）求动点P 的轨迹 C 的方程；（直接法）（）若A、 B 是轨迹 C 上的两动点，且ANNB 过 A、 B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为 Q ，证明 NQ AB 为定值解： ( ) 设 P( x, y) 由已知 MP( x, y2) ， MN(0,4) ， PN( x,2y) ,MP MN4 y8 PNMN

11、4x2( y2) 2 ， 3分 MPMN PN MN， 4 y 8 4 x2( y 2) 2 整理，得 x28 y 即动点 P 的轨迹 C 为抛物线，其方程为x28 y 6已知 O为坐标原点，点 E( 1,0) 、，动点 A 、M 、N 满足| AE|（ m1），F (1, 0)m | EF |MN AF0， ON1 (OAOF ) ， AM / ME 求点 M的轨迹 W的方程2解： MN AF0， ON1 (OAOF)，2 MN 垂直平分AF又 AM / ME ， 点 M在 AE上， | AM | | ME | | AE | m | EF | 2m ， | MA | | MF | ， |ME

12、|MF |2m | EF | ， 点 M的轨迹 W是以 E、 F 为焦点的椭圆，且半长轴a m ，半焦距 c1， b2a2c2m2 1 点 M的轨迹 W的方程为 x2y21 （ m1）m2m217若向量axi ( y 2) j，设 x, y R ，i , j 为直角坐标系内 x, y 轴正方向上的单位向量，b xi ( y 2) j ， 且 | a | |b | 8 （1）求点 M ( x, y) 的轨迹 C 的方程；（定义法）（ 2）过点 (0,3) 作直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，设 OPOAOB ，是否存在这样的直线 l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l

13、的方程，若不存在，试说明理由解：（ 1） x2y21；12 16（ 2）因为 l 过 y 轴上的点 (0,3) 若直线 l 是 y 轴，则 A, B 两点是椭圆的顶点OPOAOB0，所以 P与O重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾故直线 l的斜率存在，设l 方程为 y kx 3， A(x1, y1 ), B( x2, y2 ) y kx3,3k 2 ) x2由 x2y21,消 y 得 (418kx210,此时1216(18k)24(43k2)( 21)0 恒成立，且x1x218k，x1 x2212，4 3k24 3kOPOAOB ，所以四边形 OAPB 是平行四边形若存在直线 l ，使得四边形

14、OAPB 是矩形，则 OAOB ，即 OA OB0 OA (x1, y1 ), OB(x2 , y2 ) ，OAOBx xy y20 121即 (1 k2 ) x x3k( xx)90 1212(1 k 2 )(212 )3k (18k 2 )90 k 25，得 k543k43k164故存在直线 l ： y5 x3，使得四边形OAPB 是矩形48F2| EF |=2EFl 于 G，如图，平面内的定点到定直线 l 的距离为 ，定点 E 满足：，且点 Q是直线 l 上一动点，点M满足： FMMQ ，点 P满足： PQ/ EF ， PM FQ0 （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（

15、II ）若经过点 E的直线 l1与点 P 的轨迹交于相异两点 A、B，令AFB，当34时，求直线 l1 的斜率 k 的取值 范围解：（ 1）以 FG 的中点 O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点 P( x, y) ，则 F(0,1) ， E(0, 3) ， l : y1 FMMQ ， PQ / EF ， Q( x, 1)， M ( x , 0) 2PM FQ 0， (x )x ( y) ( 2) 0 ，2即所求点 P 的轨迹方程为 x24 y （ 2）设点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )( x1 x2 )设 AF的斜率为 k1， BF 的斜

16、率为 k2 ，直线 l1 的方程为 ykx3ykx3得 x2 4kx 12由4 y 6 分0x2x1x24kx1 x212 7 分y1 y2x12x22( x1 x2 ) 294 2444y1 y2(x1x2) 66 8 分kkFA( x1 , y1 ,1), FB( x2 , y21) FA FBx1 x2( y11)( y21)x1x2y1 y2( y1y2 ) 1129 4k 2614k 28又 | FA | | FB | ( y1 1)(y2 1) y1 y2( y1y2 ) 1 9 4k26 1 4k 2 16cosFA FB4k 28k2210分| FA | | FB | 4 k

17、216k24由于 31cos2 即1k 22211分42k 242k 2222解得 k48或 k4813分k 242k22直线 l1 斜率 k 的取值范围是 k | k48,或k4 89如图所示，已知定点F (1, 0)，动点P 在 y 轴上运动，过点P 作 PM 交 x 轴于点 M ，并延长 MP 到点 N ，且 PMPF0，|PM | |PN|（1）求动点 N 的轨迹方程；（2）直线 l 与动点 N 的轨迹交于A、 B两点，若 OA OB4 ，且4 6|AB| 430 ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解：（ 1）设 N ( x, y) ，由 | PM | PN |得 M ( x,0)

18、，yNP(0,y(yyP)，PMx, ) ， PF (1,) ，222又PM PF 0，y 20 ，即动点 N 的轨迹方程为MoFxx4y24x （ 2）10已知点 F (0, 1)，点 M 在 x 轴上，点 N 在 y 轴上， P 为动点，满足 MN MF0 ，MNMP0（1）求 P 点轨迹 E 的方程；（2）将（ 1）中轨迹 E 按向量 a(0, 1)平移后得曲线E ，设 Q 是 E 上任一点，过 Q 作圆x2( y 1)21的两条切线，分别交 x 轴与 A 、 B 两点，求 | AB | 的取值范围解：（ 1）设 M (a, 0)、 N(0,b) 、 P( x, y) ，则MN(a,b)

19、、MF、( a, 1)MP(x a, y) (a, b) (a,1)0,a2b0,1x2 ， y由题意得a, b)(xa, y) (0, 0).x , by,(a42故动点 P 的轨迹方程为 y1x2 4（ 2）11如图 A(m, 3m) 和 B( n,3n) 两点分别在射线OS 、 OT 上移动，且 OA OB1，2O 为坐标原点，动点P 满足 OPOAOB （1）求 m n 的值；（ 2）求 P 点的轨迹 C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线 l 过点 E(2, 0)交（ 2）中曲线 C 于 M 、 N 两点，且 ME解：（ 1）由已知得 OA OB(m,3m) ( n,3n)

20、2mn1，2mn14（ 2）设 P 点坐标为 ( x, y) （ x0 ），由 OPOAOB 得(x, y)(m, 3m) (n,3n)( mn,3( mn) ，x m n,2消去 m ， n 可得 x2y4mn ，3( myn)3又因 mn2y21 ( x0) 1 ， P 点的轨迹方程为 x343EN ，求 l 的方程yAOxPB它表示以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，且实轴长为2，焦距为 4 的双曲线 x2y21 的3右支（3）设直线l 的方程为 xty2 ，将其代入 C 的方程得3(ty2)2y23即(3t 2 1)y2 12ty 90 ，易知 (3t2 1)0 （否则，直线l 的斜率

21、为3 ，它与渐近线平行，不符合题意）又144t 236(3t 21)36(t 21)0 ，设M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ，则 y1y212t, y1 y293t 213t2 1 l 与 C的两个交点 M , N 在 y 轴的右侧x1 x2(ty1 2)(ty22)t2 y1 y22t ( y1y2 )4292t12t43t 240 ，t3t21213t213t 3t 210，即 0t 21，又由 x1x20 同理可得0t 21，33由 ME3EN 得 (2 x1 ,y1)3(2x2 , y2 ) ，2x13(2x2 )y13y2由 y1y23y2y22 y212t得

22、 y26t，3t213t 21由 y1 y2( 3y2 ) y22923，3y23t2得 y23t 211消去 y2 得36t 231考虑几何求法！ ！(3t 21)23t 2解之得： t 21，满足0t 21 153故所求直线 l 存在，其方程为：15xy250 或 15xy250 12设 A， B 分别是直线 y2 5 x 和 y25| AB| 20，动点5x 上的两个动点，并且5P满足 OPOAOB 记动点 P 的轨迹为 C（I ） 求轨迹 C 的方程；（II ）若点 D 的坐标为 （ 0，16），M、 N是曲线 C 上的两个动点， 且 DMDN ，求实数的取值范围解：（ I ）设 P(

23、 x, y) ，因为 A、B 分别为直线y25 x 和 y25 x 上的点，故可设552525A(x1,x1) ， B( x2 ,x2 ) 55x x1x2,x1x2x,OP OA OB， 2 5x25 y5(x1x2 )x12y又 AB20 ， ( x1x2 )24 (x1x2 )220 5 5 y24 x220 即曲线 C 的方程为 x2y21 452516（II ） 设 N（ s， t ）， M（ x，y），则由 DMDN ，可得（ x， y-16 ） =(s ， t-16) 故 xs ， y16(t16) s2t 2 251, M、 N在曲线 C 上，162s2( t1616)2251

24、61.消去 s 得2 (16t 2 )( t1616) 211616由题意知0 ，且1 ，解得t17152又t4， 17154 解得35 （1 ）253故实数的取值范围是 35（1）5313设双曲线y2x21的两个焦点分别为F1 、 F2 ，离心率为 2a23（ 1）求此双曲线的渐近线l1 、 l2 的方程；（ y3x ）3（2）若 A、 B 分别为 l1 、 l2 上的动点，且 2| AB |5| F1F2 | ，求线段 AB 的中点 M的轨迹方程，并说明是什么曲线 （ x23y21）7525提示： | AB|10( x1 x2 ) 2210 ，又 y13x1 ， y23x2 ，y1 y23

25、3则 y1y23 ( x2x1 ) ， y2 y13 (x1x2 ) 33又 2xx1x2 ，2yy1 y2 代入距离公式即可（3）过点 N (1, 0)是否存在直线 l ，使 l 与双曲线交于 P 、 Q 两点，且 OP OQ0 ，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由（不存在）14已知点F (1, 0 ) ，直线 l : x2 ，设动点 P 到直线 l 的距 离为 d ，已知 | PF |2 d ，2且 2d3（ 1）求动点 P 的轨迹方程；321（2）若PF OF，求向量 OP 与 OF 的夹角；3yMlP（3）如图所示，若点G满足 GF2FC ，点 M满足CxG OFMP 3

26、PF ，且线段 MG的垂直平分线经过点P，求PGF的面积15如图，直线 l : ykx 1 与椭圆22y 2ABOA OBC : ax（ a1）交于两点，以、为邻边作平行四边形OAPB（ O为坐标原点） （1）若 k1 ，且四边形 OAPB为矩形，求 a 的值；（ a3）（2）若 a2，当 k 变化时（ k R ），求点 P 的轨迹方程（ 2x2y22y0（ y0 ）x2y21a0 b0A(0,b)B(a, 0)16C2a2b2|OA|2|OB |2 4|OA|2 |OB|21C32Cl ykx 4kIc2,aa2b24a2b2 ,3a2b2c2.a 1,b3, c2.x 2y 21. 63k

27、=0 7k 0M Nll MNMN1y x b 则 M、 N 两点的坐标满足方程组ky1 xb,由k消去 y 得3x 2y23.(3k 21)x22kbx (b 23)k 20 9 分显然 3k 210 ，(2kb) 24(3k 21)(b 23)k 20 即 k 2b23k 2 1 0 设线段 MN中点 D（ x 0 ,y0 ）x 0kb ,则3k 213k 2 b .y03k 21D（ x0 ,y 0 ）在直线l 上， 3k 2b1k 2b4即 k 2b=3k 213k 23k 21把带入中得k2 b2 +bk 20 ，解得 b0 或 b1 3k 210 或 3k 2 1 -1 k 2k

28、2即 k3或 k13，且 k 02k的取值范围是(,3113)( ,0)(0, )( , ) 14分322317已知向量OA=(2 ，0) ， OC =AB=(0 ， 1) ，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足OM AM=K( CM BM- d2) ，其中O为坐标原点，K 为参数.（）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；（）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足3 2 ，求实数 K 的取3e2值范围 .18过抛物线 y24x 的焦点作两条弦 AB 、 CD ，若 AB CD0 ，OM1 (OAOB) ，1(OC OD)2ON2（1）求证：直线MN 过定点；（ 2）记（ 1）中的

29、定点为 Q ，求证AQB 为钝角；（3）分别以 AB 、 CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求 H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么 曲线19（ 05 年江西） 如图， M 是抛物线上y2x 上的一点， 动弦 ME 、 MF 分别交 x 轴于 A 、B 两点，且 MA MB （ 1）若 M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若 M 为动点，且EMF90 ，求 EMF 的重心 G 的轨迹思路分析：（ 1）由直线 MF （或 ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明； （ 2）用 M 点的坐标将 E 、 F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去 y0 即得到 G 的轨迹方 程（参数法） .解：（ 1）法一： 设 M ( y 02 , y0 ) ，直线 ME 的 斜率为 k （ k 0 ），则直线 MF 的斜率为k ，方程为 yy0k (x y02 ) yM由y y0k (xy02 ) ，消 x 得 k