刚体转动惯量计算方法

1、刚体对轴转动惯量的计算、转动惯量及回转半径在第一节中已经知道，刚体对某轴 z z 的转动惯量就是刚体内各质点与该点到 z z 轴距离平2方的乘积的总和，即JzmiriO如果刚体质量连续分布，则转动惯量可写成JzMr2dm由上面的公式可见，刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况，而与刚体的运动状态无关，它永远是一个正的标量。如果不增加物体的质量但使质量分布离轴远一些，就可以使转动惯量增大。例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些，使得大部分质量集中在轮缘上，与转轴距离较远，从而增大转动惯量。相反，某些仪器仪表中的转动零件，为了提高灵敏度，要求零件的转动惯量尽量小一些，设计时除了采用轻金属

2、、塑料以减轻质量外，还要尽量将材料多靠近转轴。工程中常把转动惯量写成刚体总质量 M M 与某一当量长度的平方的乘积(18-12(18-12) )z称为刚体对于 z z 轴的回转半径（或惯性半径），它的意义是，设想刚体的质量集中在与 z z 轴相距为z的点上，则此集中质量对 z z 轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。具有规则几何形状的均质刚体，其转动惯量可以通过计算得到，形状不规则物体的转动惯量往往不是由计算得出，而是根据某些力学规律用实验方法测得。二、简单形状物体转动惯量的计算1.1.均质细直杆dmMdx如图 18-718-7 所示，设杆长为 l l, ,质量为 M M 取杆上微段 dx,d

3、x,其质量为l,则此图 18-718-7杆对 z zc轴的转动惯量为Jzc202x2dm32M1222xdxMlJzJzclz 一0.2891,M232,2,均质细圆环如图 18-818-8 所示均质细圆环半径为 R,R,质量为 M M 任取圆环上一微段，其质量为对 z z 轴的转动惯量为_2_2JzMRdmMR对应的回转半径对 z z 轴的转动惯量为对应的回转半径对应的回转半径zJ%M0.707R3,3,均质薄圆盘如图 18-918-9 所示均质圆盘半径为R,R,质量为 M M 在圆盘上取半径为 r r 的圆环,则此圆环的dm四2rdr质量为R22M_rrdrR2JzdmR2M-rR231_

4、23drMR22常见简单形状的均质物体对通过质心转轴的转动惯量及回转半径可由表计手册中查得。表 18-118-1 均质简单形体的转动惯量（m m 表示形体的质量）形体转动惯量回转半径均质细杆、12JxJzml12Jy0 xzQy012JxJv-mry22Jzmr2xyr2zr制板 M12JxJv-mry?12Jzmr21xy2r&z2r,1.2Jxmb?,12Jvmay?122Jz?m(ab)x与21ya2Ja2b2z2上萍,22JxJyJz-mr5xyzJ10r518-118-1 或机械设三、平行移轴定理机械设计手册给出的一般都是物体对于通过质心的轴（简称质心轴）的转动惯量，而有时需

5、要物体对于与质心轴平行的另一轴的转动惯量。平行移轴定理阐明了同一物体对于上述两轴的不同转动惯量之间的关系。设刚体的质心为C,C,刚体对过质心的轴zz的转动惯量为J Jz,对与zz轴平行的另外一轴z z的转动惯量为Jz,两轴间的距离为 d,d,如图 18-1018-10 所示。分别以 C C、O O 两点为原点建立直角18-1018-10坐标系 CxyzCxyz和 Oxyz,Oxyz,由图可见代入得因质心 C C 是坐标系 CxyzCxyz的坐标原点，故为其中JzJzXi,2mjimi(x,2mi(x； y2)yiyiJzm/x2mi(x12(y,iy,2)d)22d2mi(xi2miyid2一

6、2y,i2dyid)mi0,又mim,所以上式简化2JzJzmd上式表明：物体对于任一轴 z z 的转动惯量，等于物体对平行于 z z 轴的质心轴的转动惯量，加上物体质量与两轴间距离平方的乘积。这就是转动惯量的平行移轴定理由公式（18-1318-13）可知，在一组平行轴中，物体对于质心轴的转动惯量为最小。例18-3钟摆简化力学模型如图 18-1118-11 所示，已知均质杆质量 m m、杆长 1,1,但、半径 R,R,求钟摆对水平轴 0 0 的转动惯量。图 18-1118-11解摆对水平轴 O O 的转动惯量等于杆 1 1 和圆盘 2 2 对轴 O O 的转动惯量之和，即JOj1Oj20由转动惯量平行移轴定理得的小圆半径为 r r, ,两圆心的距离 OO=aOO=a。试求板对通过 O O 点并垂直于板平面的轴的转动惯量。图 18-1218-12解根据转动惯量的定义，板对 O O 轴的转动惯量等于（没有挖去小圆时）整个大圆对轴O O 的转动惯量J大圆。与小圆对轴 O O 的转动惯量J小圆O之差，即(18-13(18-13) )圆盘质量所以J1OJ1CJ20J2Cm2(1R)/12m1(2)1m2R2。2122m2(11m112m2(3R232ll2?R)22R1例18-?如图 18-1218-12 所示均质等厚度板，单位面积的质量为1.m1