期权定价公式的一般推导方法

1、1999年第2期期权定价公式的一般推导方法王春发我们知道，布莱克斯科尔斯(BlackScholes)期权定价公式可以这样来推导。假设股 票价格遵循下面的随机微分方程dS =p Sdt 40 Sdz其中s是股票的价格，u是股票价格的期望增长率，。是股票价格的波动率，Z是维纳 过程。如果没有税收和交易费用，所有的证券都是高度可分的，对卖空没有限制，股票在期 权的有效期内不支付红利，不存在套利机会，那末当和无风险利率r都是常数时，标 的资产为股票，到期日为T,执行价格为K的欧式看涨期权在t时刻(t<T)的价格f为Af = E e-r(T-l)max (0, St K),其中St是股票在T时刻的

2、价格，E表示对风险中性概率分布求期望值，而St的风险中性概 率分布为o2 InSTN (lnS(+ (r-(T- t)l)其中N a,B)是均值为a,方差为沪的正态分布函数。通过计算上述的期望值，就可得到 布莱克 M科尔斯期权定价公式(见0>244或。这种方法很简单。然而，在某些更为复杂的情况下(例如利率是随机的，或者股票价格 不是连续的扩散过程)，风险中性概率分布是非常复杂的，有时甚至不存在显式表达式。在 这种情况下，通过求数学期望得到期权的定价公式是难以实现的。而解微分方程的方法则更 有效。本文从求解期权的基本微分方程的角度来求得期权定价公式。我们引入一个一般的偏微 分方程。该偏微分

3、方程包括布莱克 5科尔斯Q期权基本微分方程，默顿(Merton 支付 红利股票期权基本微分方程，以及布莱克(Bbck 期货期权基本微分方程。利用一般偏 微分方程的解，可直接获得布莱克5科尔斯期权定价公式，默顿支付红利期权定价公式, 以及布莱克期货期权定价公式。我们的方法为求得一般期权定价公式提供了一个基本框架。考虑下面偏微分方程54© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, (1)a(t)是参数t的函数，取正值。边界条件口1一1 十埜1* (t, X)丄 2

4、2 冇(X) . 涙 +bx旅其中a, b, C是常数,t是时间变量，x = x为：J© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, (1)(XT) , T>tfT=f (T, Xt) =cp其中(P ()是连续函数，XT = X (T) o下面我们来求方程(1)在边界条件(2)之下的 解。首先作变换I =Tt, u=lnx0定义新的函数F如下，F=F t , u)则方程(1)可变为边界条件为:=f (T -T , eu) =f (t, x)(3)丄占 cF

5、 SF rP (b' 2a ) cu ' a =CF(4)(0,t)=(p(T)(5)u) =F t , u) e Bt u)(6)Fo = F其中uT = lnxTo再作变换V = V t ,其中B t , u)为待定函数。由(6)可得F八eB,于是方程(4)可变为:丄*盘+丄F+异正)这直23廿十(b2a +"务)务念丄v丄.2 血丄丄肿z£Bx2丄z. 丄出出厂 n十V【2a 3u2 + 2a(2u)+(b 2a)3u- S -C| =o选择B t , u)使b* 2a +a" du =0?知2 竽+七2 (J)2 + (b - 4-a2)-

6、 C = 02 du? 2 cu2 3u 3由上式可得：=6 丞=B企R ' Su中其中a" + a5 =a2 P 1厂十(b + -a2) P - -a2 c 为此，我们取B t , u) =& -fu这时方程(7)变为：丄«沁辿2a au2"fi边界条件为： 55(7)(10)(II)(12)J© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, V0=e-B(OuTtp (euT)而方程(12)即为标准的热传导方程，解

7、为(见，p69)2 oo(uUt厂/eB(0.UT® (euT)e- 2a| dUT -00如果cp (x) = max 0 , x - k 其中k为常数，则(14)式变为v u)=Je' b<0-ut)max 0 , euT- k e'盍/叫(CUT-k)V. t , u) KV? t ,2at dllTu)其中V, t , u)V2 t , u)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(u- UT) ,2ai dUT _But- dm0 1) ax /a/,则皿 c 、亠i e-2>dy-00 -Put + ut -在(

8、17)式中，令y =utu +exp 0 - ¥ al -Bu + u玄 1e(b-eue - Bt u,(j> ( u Ink _0 1) X) a ZVi其中()V2于是由(3)、(6)、f (t , x)为标准正态分布函数。同理可得： t , u)二(U- Ink - aTPa it(16)、(19)和(20)式可得：=F (T t, lnx)= eB(T-t.lnx)v (T t , lnx)= eB(T.t.inx)Vi(T t, lnx) - keB(T-lJnx)V2 (T- t, lnx) = xe(b-c)(T- © (t x). ke'c(

9、T' u4> (d2 (t , x)其中In (x/k) + (b + 4-a2) (T()a »/T - td2 (t , x) = dj (t , x) a 7t - td (t , x)与通常的情况一样，我们假设市场是完善的，没有税收和交易费用，所有的证明都是高565© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 度可分的，对证券的卖空没有限制，不存在套利机会。1. 布莱克 5科尔斯期权定价公式设股票价格s (t)遵循随机微分方程dS

10、 =y Sdt -KJ Sdz其中z为维纳过程。假设股票不支付红利，则U为股票的瞬时期望收益率，。为股票价格的 波动率。如果卩，o和无风险利率r都是常数，则标的资产为股票，到期日为T,执行价格 为K的欧式看涨期权在t时刻(t<T)的价格f可以看成是(t, S (t)的函数，即f=f (t, S (t)a构造由股票与期权构成的对冲资产组合，并使该资产组合的收益率成为无风险 的。那末在不存在套利机会的假设下，对冲资产组合的收益率必须等于无风险利率再借 助Ito引理，就可得到下面的微分方程a (t . S)(l. S) 1 7 . cPf (l. S) ca +rS as + 尹& a

11、s2 =rf (t, S)(22)其中S = S (t)o方程(22)称为布莱克一斯科尔斯期权基本微分方程。边界条件为： fT=max 0, ST- K(23)其中ST = S (T) o具体的推导过程可参见(p. 237239)。在(21)式中，令x = S,取a R , b=c二r,就立即得到著名的布莱克 f 科尔斯期权定价公式f (t , S) =S (di) ke r(T-l)<& (d2)(24)其中In (S (t) /k) + (r + 4u2) (T- t)di =/ , d? = di o 7t- tu /T l2. 默顿支付红利的股票期权定价公式假设股票以红利

12、率q支付连续红利，股票价格S (t)遵循下面的随机微分方程dS =M Sdt -KJ Sdz其中U是股票价格的期望增长率，O是股票价格的波动率。由于股票支付连续红利率q, M并不等于股票的瞬时期望收益率。如果U ，q和无风险利率r都是常数，那么标的资产 为股票，到期日为T,执行价格为K的欧式看涨期权在t时刻(t<T)的价格f也可看成是 (t, S (t)的函数，并且满足下面的默顿支付红利的股票期权基本微分方程：5+ (rq) s= rf (t , s) (25)其中S = S (t)，边界条件与(23)式相同。方程(25)的推导过程可参见(p. 288 289) o在(21)式中，令x

13、= S ,取a=u , b = r- q, c = r,则立即得到支付红利股票期权定 价公式：f (t , S) =S (t) e-q(T-l,4> (dj ke r(T l)4> (d2)(26)其中In (S (t) /k) +【(r- q) +U21 (T t)/_山=/-. d2 = -o A- ta JT- t3布莱克期货期权定价公式 57 设标的资产(商品或金融资产)的价格过程s (t)遵循随机微分方程dS Sdt -KJ Sdz ,其中。是常数。标的资产的期货到期日为Tlo期货价格F可以通过下面的关系F (t , S) =Se (Trl)(27)与现货价格相联系，其中

14、a ()是时间的函数。如果标的资产是商品，则a就是无风险利 率加上单位时间商品的单位赁币储存费用减去便利收益。如果标的资产是金融资产，则a 就是无风险利率减去该资产的收益率。由Ito引理(见，p262, (10A. 9)式)dF=(齐恿 S +切 2$2 雰)dtsfdZfFcU -KJ fFcIz(28)于是UfFRS我RF,因此OfR。这就是说明货价格的波动率与现货价格的波动率相同。 如果无风险利率r是常数，那么标的资产是期货，到期日为T (T<T.),执行价格为K的 欧式看涨期权在t时刻(t<T)的价格f可以看成是(t, F)的函数，即f二f (I, F),并且 满足下面的布

15、莱克期货期权基本微分方程：& 仃 F) 1 79 (t , F) X 八 f3t +中卡沖=rf (t, F)(29)边界条件为：fj= max (0 , Ft K(30)方程(29)的推导过程可参见(p289291)。在(21)式中，令x = F,取a =0 , b = 0, c = r,则立即得到布莱克期货期权定价公式：f (t , F) =e r(T 0 F (t , S) (dO 曲(d?)(31)其中In (F (t , S) / K) +U2 (T t)?_di =/ , d2 =*/T - tUt 约翰帚尔(张陶伟译八期权、期货和衍生证券沢华夏出版社1997年版。 胡日东：布朗运动在股票期权定价模型中的应用沢 华侨大学学报(社科版)1996年第3期。 Black F. and M Scholes: She pricing of options and corporates liabilities. w Journal of Miticol Economy 81 (1973) 637- 659. Merton. P. C. : "Theory of rational option pricing. w Bell Journal of Economics and Managenient 4 (197