一元二次方程整数根问题

1、一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级姓名1 .利用判别式例1.(2000年黑龙江中考题)当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx24x40与x24mx4m24m50的根都是整数。解：丁方程mx24x40有整数根，=16-16m>0,得m<1又二方程x24mx4m24m50有整数根A16m24(4m24m5)0得m54.一5综上所述，wme14：x可取的整数值是-1,0,1当m=-1时，方程为x2-4x+4=0没有整数解，舍去。而m?50;m=1例2.(1996年四川竞赛题)已知方程x2mxm10有两个不相等的正整数根，求m的值。解：设原方程的两个正整数根为x1,x2，则m=

2、-(x1+x2)为负整数.m24m4一定是完全平方数设m24m4k2(k为正整数)(m2)2k28即：(m2k)(m2k)8m+2+k>m+2-k,且奇偶性相同解彳tm=1>0（舍去）或m=-5o当m=-5时,原方程为x2-5x+6=0,两根分别为x1=2,x2=3。2.利用求根公式例3.（2000年全国联赛）设关于x的次方程222(k26k8)x2(2k226k4)xk24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解:g(2k26k4)2224(k4)(k6k8)4(k6)22由求根公式得x2kx6k42(k2(k26T8)6)即21x11,x2k41-A_k2由于，则有k4，

3、k2x114x2两式相减，得24x11x2Xi(x23)x2是整数，故可求得x12,X2Xi2,x22或x11,x2分别代入，易得k=10,6,33。3.利用方程根的定义例4.当b为何值时，方程x2bx22xb(b1）0有相同的整数根并且求出它们的整数根解：两式相减，整理得（2-b）x=（2-b）（1+b）当b，2时,x=1+b,代入第一个方程，得（1b)2b(1b)解彳导b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根：b=1,相同的整数根是24.利用因式分解例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程（a1）x22xa10的根都是整数，那么符合条件的整数a有个.解：当a=1时,x=1当a，1时，

4、原方程左边因式分解，得（x-1）（a-1）x+（a+1）=0即得Xi1Xo1x11,x211ax是整数1-a=+1,+2,：a=-1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5个.例6.（1994年福州竞赛题）当m是什么整数时，关于x的方程2x（m1）xm10的两根都是整数解：设方程的两整数根分别是x1,x2,由韦达定理得x1x2m13x1x2m1川由消去m,可得x1x2x2x12(x11)(x2则有x11x21解得：x1x 21)311或x13 x22 或x14 x231( 3)111302由此xx28或0,分别代入，得m7或m15.利用根与系数的关系例7.(1998年全国竞赛题)求所有正实数a,

5、使得方程x2ax4a0仅有整数根.解：设方程的两整数根分别是x1,x2，且X1x2由根与系数的关系得x2a03xix24a0川由得色x2a将代入得4axix2xia4ax1x2x1g224x18显然x1，4,故x1可取5,6,7,8。从而易得a=25,18,16。6 .构造新方程例8.(1996年全国联赛)方程(xa)(x8)10有两个整数根，求a的值.解：原方程变为(x8)2(8a)(x8)10设y=x-8,则得新方程为y2(8a)y10设它的两根为y1,y2,则y1y2a8,y1y21,二x是整数，：y1,y2也是整数，则y1,y2只能分别为1,-1或-1,1即y1+y2=0:a=8。7

6、.构造等式例9.(2000年全国联赛C卷)求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程222x3ax2b0,x3bx2c0,x3cx2a0所有的根都是正整数.解：设三个方程的正整数解分别为x1,x2,x3,x4,%,x6,则有2x3ax2b(xx)(xx2)2x3bx2c(xx3)(xx4)2x3cx2a(xX5)(xX6)令x=1,并将三式相加，注意到xi>1(i=1,2,6),有3(abc)(1xi)(1x2)(1x3)(1x4)(1x5)(1x6)000但a>1,b>1,01,又有3-(a+b+c)<o,:3-(a+b+c)=0故a=b=c=18 .分析等式例10.

7、(1993年安徽竞赛题)n为正整数，方程x2(J31)xJ3n60有一个整数根，则n=.解：设已知方程的整数根为a,则a2(、31)a-3n60整理得a2a63(an)因为a为整数，所以a2a6为整数J3(an)也一定是整数,要使瓜an)为整数,必有an由此得a2a60,即n2n60解彳导n=3或-2(舍去)：n=3。9 .反客为主例11.(第三届祖冲之杯竞赛题)求出所有正整数a,使方程2ax2(2a1)x4(a3)0至少有一个整数根.解：由原方程知x，2,不妨将方程整理成关于的一元一次方程(x24x4)a2x12得2x121(因为是正整数)a11(x2)2则得(x4)(x2)0解得4x2因此

8、，x只能取-4,-3,-1,0,1,2。分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1,3,6,10。10.利用配方法例12.(第三届祖冲之杯竞赛题)已知方程22(a21)x22(5a1)x240有两个不等的负整数根，则整数a的值是.解：原方程可变为222a2x210axx22x240即a2x210ax25x22x122(ax5)(x1)4a1-6,即a=0,-1,-2,-5时，x为负整数。1a=-5时,x广2=-13aw-1a=-2°11.利用奇偶分析例13.(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程x21999xa0有两个质数根，则常数a=.解：设方程的两个质数根为x1,x2(x1<x2)由根与系数的关系得x1+x2=1999.显然x1=2,x2=1997，于是a=2X1997=3994.ax5(x1)得：6x1,x2a1当a-1=-1,-2,-3,a=0时.x->0:12.利用反证法2例14.不解方程,证明方程x21997x19970无整数根证明：假设