机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)

1、第一、填空题1. 组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数、约束条件T 23. 目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，,同时必须是设计变量的可计算函数。4. 建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简 _洁。5. 约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。6. 随机方向法所用的步长一般按加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。7. 最速下降法以_负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较慢 。8二元函数在某点处取得极值的充分条件是X0

2、 =0必要条件是该点处的海赛矩阵正9拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式纟 优化问题变成无约束优化问题，这种方法又被称为升维 法。10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题12 在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束，另外应当尽量减少不必要的约束。13 目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1,空间中描述出来，为了在 n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。14.数学规划法的迭代公式是 Xk 1 = Xk Jkdk:其核心是建立搜索方向，和计算最佳步长15协调曲线法

3、是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。16.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。、名词解释1 凸规划对于约束优化问题min f Xs.t gj(X )兰0 (j =1,2,3，,m)若f X、gj X (j =1,2,3,m)都为凸函数，则称此问题为凸规划。2 可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。3 设计空间：n个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合4可靠度 产品在规定的条件，规定的时间内完成规定功能的概率5. 收敛性是指某种迭代程序产生的序列Xk k =0,1，？收敛

4、于IJm_Xk 1二X”6. 非劣解：是指若有 m个目标fi X i=1,2,m，当要求m-1个目标函数值不变坏时，找不到一个X,使得另一个目标函数值fi X比fi X” ，则将此X ”为非劣解。7. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。8. 可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。9维修度 在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的维修条件下，在规定的维修时间t内修复完毕的概率1、设计变量答：在优化设计计程中，一组需要优选的、作为变量来处理的独立设计参数(或 需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中

5、是变化的一组独立的设计参数)2、目标函数答：在优化设计中，用来评价设计方案优劣程度、并能够用设计变量所表达成的函数，称为目标函数(或用设计变量来表达所追求目标的函数)3、设计约束答：在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为约束条件和设计约束(或 对设计变量取值限制的附加设计条件)4、最优点、最优值和最优解答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作:x * = x1* , x2* , x3* , . . . , x n *T使该设计点的目标函数F (x*)为最小，点x*称为最优点(极小点)。相应的目标函数值F (x*) 称为最优值(极小值)。一个优化问题的最优

6、解包着最优点(极小点)和最优值(极小值)。把最优点和最优值的总和通称为最优解。或：优化设计就是求解 n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即min f(x)=f(x*)x R ns.t. g u (x)w 0,u= 1,2,. ,m；h v (x) = 0,v= 1,2,. ,p<n称x*为最优解，f(x*)为最优值。最优点 x*和最优值f(x*)即构成了最优解三、简答题1.什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构 造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？1)内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点

7、在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。相邻两次迭代的惩在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋 近于二的数列。惩罚因子按下式递增rk二crk°(k =1,2，)，式中c为惩罚因子的递增系数，通常取c =5102 .共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。1.对于二次函数，f XXtGX bTX - c,从 Xk点出发，沿G的某一共轭方向dk作2一维搜索，

8、到达 Xk 1点，则Xk 1点处的搜索方向dj应满足dj 丁 gkd -gk =0，即终点Xk1与始点xk的梯度之差gkgk与dk的共轭方向dj正交。3 为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进?答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以 共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。4写出故障树的基本符号及表示的因果关系。略5算法的收敛准则由哪些？试简单说明。略6优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说

9、明。略7 .简述随机方向法的基本思路答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索，得到新的X值，新点应该满足一定的条件，至此完成第一次迭代。然后将起始点移至X，重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。8数值计算迭代法的基本思想和迭代格式。数值计算迭代法的基本思想：数值计算迭代法完全是依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它不是分析方法，而是具有一定逻辑结构并按一定格式反复运算的一种方法。(5分)其迭代法计算的基本格式是：从一

10、点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S(k)和适当的步长a (k)，从而到一个新点，即：X(k+1) = x(k) + a (k)S(k)k=0,1,2,3式中：x(k)前一步取得的设计方案(迭代点)。在开始计算时，即为迭代的初始点 x(0)；X(k+1)新的修改设计方案(新的迭代点)；S(k)第k次迭代计算的搜索方向(可以看作本次修改设计的定向移动方向)；a (k)第k次迭代计算的步长因子，是个数量的。计算题1 .试用牛顿法求f (X ) = 8xi2+5X22的最优解，设X(°)=【1010 f。初始点为X 0 = 1010 T，则初始点处的

11、函数值和梯度分别为f X0 =17000 _刁6为+4X2200，沿梯度方向进行一维搜索，有f(X尸上+怏畀他x06f X0 =加。10 200： 0 _一10143。:-0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件f X1 二min f X0 f X0 Ia=min 6 x (10 20g 0 ( + 4 乂(10 200( 0 (10 14g 0 )+ 5 乂(10 14g 0 ) a=m i n :-Ct：0 = 1060000： 0 - 59600 = 0 ,59600从而算出一维搜索最佳步长：0596000.05622641060000则第一次迭代设计点位置和函数值X1 =10200t&

12、#176;=1.245283010-14g0 一 2.1283019 一1f X 1=24.4528302，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。202、试用黄金分割法求函数f的极小点和极小值，设搜索区间aa,bl - 0.2,1】(迭代一次即可)解：显然此时，搜索区间a,b卜10.2,1 ,首先插入两点 二和2，由式二b j'； (b-a) =1 -0.618 1 -0.2 = 0.5056：2 =a (b-a) =0.2 0.6181 -0.2 = 0.6944计算相应插入点的函数值f = 40.0626, f ： 2 =29.4962。因为f r:V。所以

13、消去区间a,：，得到新的搜索区间l：-1,b 1，即卜, >a, - 0.5056,1 L第一次迭代：插入点=0.6944，： 2 =0.5056 0.618(1-0.5056)=0.8111相应插入点的函数值 f =29.4962, f =25.4690，由于f ：】 f = 2，故消去所以消去区间l-a/' 11，得到新的搜索区间l>1,bl，则形成新的搜索区间L：mb丨-a,b I- 0.69441 。至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。3用牛顿法求目标函数f (X ) = 16x： +25x；+5的极小点，设X(°)= 22f。一讦解：

14、由 X 0 -22 T.:x1.:f32X11= 一 64 £ox2 *00 一v 2f X0 二；：2fX2；：2fIf|i.x2.x1 jx2?f2.x23200503250因此可得：XX-'2f X0f x0 二_13264_ 01 *00_b50f X1 =5，从而经过一次迭代即求得极小点X ” =0 0, f X ” =5迭代序号a«1«2b%比较y200.211204.下表是用黄金分割法求目标函数f的极小值的计算过程，请完成下表。ot迭代序号a«1«2by1比较y200.20.50560.6944140.0626>29

15、.496210.50560.69440.8111129.4962>25.46905、求二元函数f(xi,X2)=xi2+X22-4xi-2x2+5在X0=O 0T处函数变化率最大的方向和数值？解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P表示函数变化率最大和数值是梯度的模ll、f(Xo)ll。求f(Xl,X2)在X0点处的梯度方向和数值，计算如下：f (Xo)=;:Xi:fC2X1 二怕Xo'f(Xo)II=,；)2 (；)2 =(4)2 228f(Xo)'-2P=:±'f(Xo)2、5示。在Xi -X2平面上画出函数等值线和Xo( 0,0)点

16、处的梯度方向P，如图2-1所从图中可以看出，在Xo点函数变化率最大的方向P即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方向。6、用共轭梯度法求二次函数解:取初始点-41N2Jgo=Vf(xo)=2xTX2-41据0IL 4x2 - 2x1d o=-心沿do方向进行一维搜索，得八”。d；：1-2 一1-2叫一o其中的：o为最佳步长，可通过f (X1)=min :iC ),iCo) =o ot求得：'0 =4X1为建立第二个共轭方向d i,需计算X1点处的梯度及系数值，得从而求得第二个共轭方向再沿d i进行一维搜索，得gi= I f ('o其中的：i为最佳步长，通过求得X 2=计算x2

17、点处的梯度说明一2x 2x2 -44x2 -2xXi I-2X1)llgillgo520di=-gi+ Po d0= I,>J 4-2 一可22+2 叮=x +% di = ii3：i-2 一 .2 2f(X2)=min X ), mro_21i +o(i 322+2务i( X2)=产叫-44x22X20=0X2点满足极值必要条件，再根据X2点的海赛矩阵G (X2)=2-211-24 一是正定的，可知 X2满足极值充分必要条件。故X2为极小点，即而函数极小值为f(X*) = _8。7、求约束优化问题2 2Mi nf(x)=(x 1-2) +(X2-1)s.t. h(x)=x i+2x 2-2=0的最优解？解：该问题的约束最优解为x* = 1.6 0.2【，f(x*) =0.8。*由图4-1a可知