机械工程测试原理与技术(第2版)(课后习题答案).

1、重大&西华大学测试技术与信号分析习题与题解适用专业:机械类、自动化课程代码:学 时:42-48编写单位:机械工程与自动化学院编写人:余愚审核人:审批人:第二章习题解答2-1 什么是信号？信号处理的目的是什么?2-2 信号分类的方法有哪些?2-3 解：求正弦信号x t = As int的均方值X。T2 a2AT2 1 T 2 2x t dt 二A sin tdtTr2-02 2 2sin tdt ATA2T22 1 - cos2-1 dtT sin T44 也可先求概率密度函数：p(t)二-则:22x p(x)dxA222-4.求正弦信号xt二Asint )的概率密度函数p(x)。1x解：t =

2、 arcs in ,A代入概率密度函数公式得：乞_ 1 dx 1.无也t丨1p(x) = lim lim=T _ dx竺 2TT、A2_x2、A2x2co2-5 求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱解 在x(t)的一个周期中可表示为/|t 兰 T1x(t).0T1 ct T/2该信号基本周期为T,基频-.0=2二/T，对信号进行傅里叶复指数展开。 们可以方便地选取-T/2Wt Xfo证明：因为Fe i2f0t二 f。)又因为xtej2他 ft , x f0*Fefxte j2叽 FT X fo *、(f 二 f) = X f 二 f。证毕!2-12 .设x(f)为周期信号即：若则

3、式中x*(t)为x(t)的共轭。证明：x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性x r FT x fx* r ftx* - fxt A JX(f)ejftdf由于X (f )=|Jx(t)e(t)ej2_ftdt上式两端用-f替代f得(t)ej2ftdt* -:X(- f A Jx上式右端即为x (t)的傅里叶变换，证毕！特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t),可得X(f)共轭对称，即X(-f )=X*(f )2-13.设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性 即：若x tX f则X t ； j xA f证明：由于x(t)二，；X(f)ej2_ftd

4、f以-t替换t得x-t =X(f )ftdf上式t与f互换即可得x_fXedtJ -J30X t， x -f证毕。特殊情况，当x t为偶函数时,2-14.用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f), g(t)定义如下:且已知2a a2 +(2兀f )解：当a=2二不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2二，根据傅里叶变逆换有e啦df = J巴厶e陀df2 兀 + f 2FT X(f)=等式两端同时乘以-be- 2 2(2 兀)+(2tf )2二，并用-t替代变量t得2ee2fldt交换变量t和f得-2二 f|- 21 t2e2_ftdt上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以g

5、(t)二1 t22-15 所示信号的频谱1 x(t)x1(t -2.5) x2(t -2.5)2式中X1(t), X2(t)是如图2-31b),图2-31c)所示矩形脉冲。解：根据前面例2-15求得X1(t), x2(t)的频谱分别为X1(f )和 X2(f)二si n3 二f f根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得:X(f) =e如丿舟 sin 兀f +sin3兀nfx(t)1,51L h ,、012345MH图 2-312-16.求信号x(t)的傅里叶变换x(t) =a 01解：由例 2-16 已知eJtu(t )-FT- a + j 2rf注意到x(t)为实偶函数， t 0时x(t)二

6、etu(t) , t1a - j2 二f最后得在实际应用中,X(f)-a j2fa-j2：f2aa2 +(2兀f f般 a为0的实数x(2t)的傅里叶变换2-17 .已知信号x(t)试求信号x(0.5t)，x(t)-0,解：由例可知x(t)的傅里叶变换为X(f) = 2飞 sinc2rfT1根据傅里叶变换的比例特性可得如图2-32所示，由图可看出，时间尺度展宽(a1.0)会导致其频谱频带变宽，且向高频端扩展，这种情况为我们提高信号分析速度提 供了可能。a=0.5a=1.0x(t/2)1-T/4T/411-1/2T2T11/2Ti ”-1/T.1T1/T1-2/T1I1T/2 2/T1a=2.0

7、题图2-17时间尺度展缩特性示意图2-18求同周期的方波和正弦波的互相关函数 解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值, 又根据互相关函数定义，将方波前移T秒后计算：3Tt-1 sin，tdt 亠 it 41 sin，tdt 亠 i3T-1 sin，tdt/ 4 Yr 4 YRxy(.UT 1丄cos tT04 _ - cos t3T _TT44_COSt 3T4_01-cos5、一一饥 I1COS-OTi + cos+1 cos 色12兀2丿2)2丿124sin -2 二2 .sin，ji2-19.求信号x(t)二eu(t)的自相关函数。解：由定义Rx( H

8、 二x(t)x(t )dt(t )u(t)dt二 _ etu(t)e二e _：eatu(t)u(t)dt其中积分的被积函数的非零区间为t _0与t 一0的交集，即t _max(0, - .)。因此，当._0时，上式为Rx()十一 eatdt 二 et J-2a-2at、e )：1-at0 一 2ae0当.：0时，则有eatdt = eF (丄 eat)y-2a弋(0-丄e2a “丄ea-2a2a0综合有Rx( 7e02-20.下面的信号是周期的吗？若是,请指明其周期。(1)f(t)Ji x in x二 a sin t 亠 bcos t53(30)(2)f(t)=a sin -t bcos t6

9、3（12 二）(3)f(t)3= asi n(-t)4 3(冬)3(4)f(t)JIH=a cos(t )45(8)2-21 .如图所示，有 N = 2n 1个脉宽为.的单位矩形脉冲等间隔（间隔为T .）地分布在原点两侧，设这个信号为X（t），求其FT。解：由题意，nx（t）二 Xo（t - mT）m - _n其中xt) =G (t)，其FT为X0C 0 = sinc()。根据FT的时移特性，可以求得 ” 2-nX( ) =X( ) eT.m 二_n= X( )= Xo()jm Tj(n -1)- Te e= Xo() &Tej T/2(ejN 丁/2 _ ejN T/2) ejT/2 T/2

10、 _e-j 丁/2) (ejN T/2 _ejN T/2) (ej T/2dT/2).N Tsin(丁)Tsin (牙)F面分析一下所求的结果。2m 二N T前（2）时，由罗彼塔法则可以求得 =N，因此X （；：） = NX0（；：），前（号）是单个矩形脉冲频谱2m Xo（）的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当 NT(m不N Tsin（丁）是N的倍数）时,b )。20，这是N个谱相互抵消的结果。见图（Tsi n（5）可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点2m 二处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当N：时，时域信号变成了周期矩形脉T冲信号，而频域则

11、变成了只在离散点= 2 处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成T了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。2-22. “时域相关性定理”可描述如下FRxy(J =X(f) 丫(f)试证明。下面给出两种证明方法。证明1:FRxyC)*(t _ )ej2f d dtj2卫qQ二X(t)x* (t)dtdf dtJ；X*(f)jftdf di.；X*(f).(“一“水 df(IFT定义)x(t).(交换积分次序)广x(t)，y* (t -i)dt。2吨叼1qo r co=x(t)Jy*(t7)e2W)dGt)oOjof_ cO *x(t)egt |y(-(T

12、)e= X(f)Y*(f)这里利用式：Fy*(-t)二Y*(f)，是FT的“反褶共轭”性质。证明2：根据相关运算与卷积运算之间的关系RxyG) =x(-t)* y(t)利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。 在式中，令X = y，则可得 自相关的傅里叶变换FRx(i) =X(f) X*(f)= X(f)式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的 平方是一对傅里叶变换对”。利用FT的奇偶虚实性，若 y(t)是实偶函数，那么 Y(f)也是实偶函数。这样我们就得到了 一个特例结论，FRxyG)=X(f) Y*(f)=X(f) 丫(f)即当y(t)是

13、实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。2-24 帕斯瓦尔定理2 2._.x(t) dt=j二X(f) df证明：- 2二 f(t) dt 二(FT定义),；X*(f)X(f)dfx(f) df第三章习题及题解1 试说明二阶装置的阻尼比Z多采用Z=( 0.60.7)的原因二阶系统的幅频特性曲线和相频特性答：二阶系统的阻尼比 Z多采用Z=( 0.60.7)的原 因，可以从两个主要方面来分析，首先，根据系统不 失真传递信号的条件，系统应具有平直的幅频特性和 具有负斜率的线性的相频特性，右图所示为二阶系统 的幅频特性和相频特性曲线，严格说来，二阶系统不 满足上述条件，但在一定的范围内，近似有以上关

14、系。 在特性曲线中可以看出，当3 (2.53.0) 3 n范围内$ ( 3 )接近180?且 差值甚小，如在实际测量或数据处理中用减去固定相 位差的方法，则可以接近不失真地恢复被测输入信号波形。若输入信号的频率范围在上述两者之间，由于系统的频率特性受Z的影响较大，因而需作具体分析。分析表明，当匸=0.60.7时，在3 = (00.58) 3 n的频率范围中，幅频特性A( 3 ) 的变化不超过5%,此时的相频特性曲线也接近于直线，所产生的相位失真很小。其次其他工作性能综合考虑，单位阶跃信号输入二阶系统时，其稳态输出的理论误差为零。阻尼比将影响超调量和振荡周期。Z 1，其阶跃输出将不会产生振荡，但

15、需要经过较长时间才能达到稳态输出。Z越大，输出接近稳态输出的时间越长。Z T试求其频谱解：设xs(t)=cos2f0t w(t)其中w(t)二1t ：T0t T1 1Fcos2“：f0t = 2、(f f。)2 (f - f。):_-T _Fw(t) = . . w(t)eH2 #dt = -e ”dt =2Tsinc2 ：fT11FXs(t) =2Tsinc2f 、(f f。)(f -f。)22二 Ts in c2：(ff0 )T T si n c2：( f - f。)T2、已知余弦信号x(t)二C0S2二ft，载波z(t)二C0S2二fzt，求调幅信号Xm(t) 谱。解：11Fx(t) =

16、2 .(f -f。) 2(f fo)11Fz(t) =2 .(f -fz) 2(f fz)1111Xm(f) “2 (f - fo) 2(ff。)2、(f 一 fz) 2 (f fz)1 (ffz fo) (ffz - fo) (f - fz - fo) (fx(t) z(t)的频fzfo)3、求余弦偏置调制信号 xm(t) =(1 cos2二fot)cos2二fzt的频谱。解:Xm(f)二 Fcos2fzt Fcos2fot cos2fzt1 1(f fz) 、(f 一 fz) fl (f fzfo) 、(f fz (f 一 fz - fo) (f - fz fo)4、已知理想低通滤波器fo

17、)入ef2fc （要考虑抗频混滤波器的截止特性）将 x t采样为离散序列xnA ,这样的时间轴上离散而幅值模拟的信号 通常称为采样信号。而后，量化装置将每一个采样信号的电压幅值转换为数字码，最终把电压信号x t变为数字序列Xn。3）运算分析单元接收数字序列 Xn,将其分为点数固定的一系列数据块，实现信号的时域截 断和加窗，进而完成各种分析运算，显示、输出分析结果。5-2 模数转换器的输入电压为010V。为了能识别2mV的微小信号，量化器的位数应当是多少？若要能识别1mV的信号，量化器的位数又应当是多少？解：设量化装置的位数为 m。若要识别2mV的信号，则10O0 10，得 m 狂 132若要识

18、别1mV的信号，则10-3IIIII:fN=750Hzf HzI一 |ILL；0200 3007005-6.已知某信号的截频fc= 125Hz ,现要对其作数字频谱分析，频率分辨间隔计=1Hz。问：1）采样间隔和采样频率应满足什么条件？2）数据块点数 N应满足什么条件？ 3）原模拟信号的记录长度T = ?解：1）信号的带宽为125Hz，采样频率应该大于等于它的两倍，所以fs _ 250 Hz , A 二 1 f 4 ms。2）频率分辨间隔 f = 1Hz，所以 N =1 s。如果取抡=4ms，贝UN =250若N值取基2数，则N = 256。3）模拟信号记录长度T - N理论上至少应在1.02

19、4秒以上。.第八章题解8-1拟用固有频率fn=100Hz，阻尼比E = 0.7的惯性式测振装置（如图）测频率为f = 45Hz的加速度时，其振幅误差为多少？又，若用此装置所记录频率为5Hz之振动位移的振幅范围为 0.1m m,则可测试的最大加速度为多少？题图 8-1Xm=0.9747所以振幅误差为2xog-1 ： (0.9747-1)% = -2.543%由上式（1）可得:i 50 22 2 2250 ； 22 2100 2 二丿1(GT) +57聋而莎)对 xom = 0.1mm-252丨2522Xog =0.1 (100 220). 1-( 一)4 0.7() =39.5(m/s2)-IL

20、 100100”1 2xm 一 -0.1mm,Xog =39.5 (m/s )答：振幅误差约为2.543%可测试的最大加速度为39.5 m/s2 .=0.5;应当8-2如果有两只惯性式测振传感器，其固有角频率和阻尼率分别为3 n1 =250弧度/秒, z 13 n2 = 100弧度/秒, Z 2 = 0.6,现在要测量转速为 n = 3500转/分电机的简谐振动位移， 选用哪只传感器，为什么？8-2 解:n=3500 转/分钟=366.5 弧度/秒 = 366.5- 366.5=1.47 1又由惯性式位移传感器的正确相应条件= 0.6 0.7因此可选用n2=100弧度/秒、：2=0.6的传感器

21、也可由A()xXo1X1 2(一)2,1 一(/ n)22(/ n)2对（1）Xo1X11.472,1 -1.4722 2 0.5 1.472=1.15所以：Xo1 =1 .15对（2）:匹=.=1 .02= A（ / : 1X2J1 3.6722 +2x0.6x3.672所以： Xo2 =1 .02 X2 又 6 2=0.66 较好因此根据以上比较选用第二只.8-3应变式加速度传感器如图所示。加在弹簧悬臂上的质量m = 1.25kg，弹簧悬臂具有均匀的矩 形横截面b=2cm, h=0.4cm，悬臂材料的弹性模 量E=210GN/m2,悬臂和支座的质量忽略不计。 在悬臂上对称的贴有四片相同的电

22、阻应变片，并采用全桥连接的方式，应变片的灵敏系数K=2 ,电阻值 R1 = R2 = R3 = R4 =120 Q ,质量 m 的质心到应变片中心的距离L = 8cm。问：当应变仪读数为200微应变（卩& ）时，每 片应变片的电阻变化为多少？这时的水平加速 度a又为多少？若用此加速度计测量振动频率为80次/秒的加速度是否合适，为什么？*丄bE冊3向 向题图 8-3解：该加速度计的固有频率fn1 k 1 3EJ 1 3Ebh3 ! | 2二：m 一 2二 I ml3 一 2 12ml313 210 105 2 0.432 12 1.25 10，83= 51.6hz因惯性式加速度计用于测量加速时的

23、条件是:VV1即 f vv fn而现在 f = 80 HZ fn =51.6 HZ ,故不合适.若一定要采用就必须对测试结果进行非线性修正又，在设备工矿监测工作中，当采用相 对的比较判据时，由于是进行相对比较判据，因而在一定的范围（不超过传感器能产生相应的 频率范围）内，尤其当监测对象的特征频率在传感器线性程度所允许的工作频率范围内时，仍 然可以使用.因全桥连接，故；m =4 ；,1；m411所以：R 二 k；Rk mR2 200 101 2 0 0.0 1244ma lbh2/6所以：abh2 /10 105 50 吧 2 42 = 560 cm/s2=5606ml6x1.25x10x898

24、1=0.57g式中单位换算：Ns222m =1.25kg =1.251.25 10Ns2 / cmm29252E= 210GN /m =210 10 N/m =210 10 N/cm8-4用于自动检验表面波纹的杠杆电触点位移传感器（如图）由与被检验表面接触的测量杆1和增大测量杆位移 L /I倍的杠杆3组成。测量杆由刚度为 c 1的弹簧2压向被检验表面， 杠杆3固接在具有角刚度c 2的板弹簧5上。当零件表面波纹超出许可范围时，触点4中的一个闭合一一发出检测出废品的信号。检验工作的生产率与零件相对传感器移动的速度V成正比，然而，速度过大可能在 B1点处破坏接触。若零件表面的数学方程为x = a s

25、in 2n Z/ A （式中A为粗造度波长），测量杆1的质量为m,杠杆3对饺链O的转动惯量为J,忽 略摩擦力，测量杆安装在被检验表面时弹簧2有预张紧x 0,饺链处弹簧5有预张紧$ ,求零件移动的极限速度 V*。8-4解：杆 1移动某 值x引起 的杠杆转 动角度:=x/l , 在这种情 况下当向 上运动时 弹簧2的 力增大，而 弹簧5中 的减小。这时样在杆1上作用有惯性力一 mx ,弹簧2的阻力c （x x0），支座反力R和杠杆3的作用力等 于Jc2d/l。这时杆1的运动微分方程为：（m J /12）x （c -c2 /12）x （C|x0 c2 0 /I） = R令:2/ I 2m J /l = M ； G C2/I =c；杆的运动微分方程为：Mx cx F0 = R恒定接触时的条件在于点Bi处的反力不改变符号，也即因为表面轮廓用下列方程描述：x = a sin 2二z/ A测量杆的运动方程具有形式x = asin t式中t = 2二z/A = （2二 / A）vt把（b）待入（a），并考虑到条件 R Z 0，2 2（p - ）asin，t F0/M式中p0 = c/M为仪表杆杆的移动频率。有两种可能破坏接触的情况。在状态CiXoC2olR_0如果系统的参数这样选择，