初中数学动点问题解题技巧--Du

1、动点问题解题技巧以运动的观点探究几何图形局部规律的问题， 称之为动态几何问题。 动态几 何问题充分表达了数学中的 “变与 “不变的和谐统一， 其特点是图形中的某 些元素点、线段、角等或某局部几何图形按一定的规律运动变化，从而又引 起了其它一些元素的数量、 位置关系、图形重叠局部的面积或某局部图形等发生 变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存， 具有一 定的规律可寻。所谓“动点型问题 是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、射 线或弧线上运动的一类开放性题目， 注重对几何图形运动变化能力的考查。 解决 这类问题的关键是动中求静 , 灵活运用有关数学知识解决问题 .

2、 在变化中找到不 变的性质是解决数学“动点探究题的根本思路 , 这也是动态几何数学问题中最 核心的数学本质。从变换的角度和运动变化来研究三角形、 四边形、函数图像等图形，通过“对 称、动点的运动等研究手段和方法， 来探索与发现图形性质与图形变化， 在解 题过程中渗透空间观念和合情推理。 这些压轴题题型繁多、 题意创新， 目的是考 察学生的分析问题、 解决问题的能力， 容包括空间观念、 应用意识、 推理能力等。 从数学思想的层面上讲需要具备以下思想： 分类讨论思想、数形结合思想、 转 化思想、函数思想、方程思想 。常见的动点问题一、数轴上的动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。 为

3、了便于对这类问题的分 析，先明确以下 3 个问题：1. 数轴上两点间的距离， 即为这两点所对应的坐标差的绝对值， 也即用右边的 数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离 =右边点表示的数左边点表示的 数。2. 点在数轴上运动时， 由于数轴向右的方向为正方向， 因此向右运动的速度看 作正速度， 而向左运动的速度看作负速度。 这样在起点的根底上加上点的运动路 程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为ab；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。3数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进展分析,点在 数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

4、例1如图.A、B、C三点在数轴上，A表示的数为-10 , B表示的数为14,点C 在点A与点B之间，且AC=BC1求A、B两点间的距离；2求C点对应的数；3甲、乙分别从A B两点同时相向运动，甲的速度是1个单位长度/s，乙的 速度是2个单位长度/s，求相遇点D对应的数.练习1数轴上两点A、B对应的数分别为一1, 3,点P为数轴上一动点，其对应 的数为 x。假设点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为5?假设存在，请求 出 x 的值。假设不存在，请说明理由？当点P以每分钟一个单位长度的速度从 0点向左运动时，点A以每分钟5个单 位长度向左运动

5、，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几 分钟后P点到点A、点B的距离相等？二、求最值问题 利用轴对称性质 实现“搬点移线求几何图形中一些线段和最小值问题。 利 用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要根本定理有三个：1两点之间线段最短； 2三角形两边之和大于第三边； 3垂线段最短。求线段和最小值问题可以归结为： 一个动点的最值问题， 两个动点的最值问题。例2如图，正方形ABCD勺面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形，在 对角线AC上有一动点P,使PD+PE勺值最小，那么其最小值是 .特点：两个定点位于一条直线的同一侧， 在直线上确定一动点的位置， 使动 点与两

6、定点线段和最小，求出最小值。思路：解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点， 连结这个 对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。练习2如图，等边 ABC的边长为4, AD是 BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，假设AE=2当EF+CF取得最小值时，那么/ ECF的度数为 A15°B.22.5°C.30 ° D. 45°例3如图，/ AOB=30，有一点P且0P*6,假设M N为边OA 0B上两动点, 那么 PMN勺周长最小为A. 2V6B.6 C.V6/2D.V6特点：一个定点位于平面两相交直线之间， 分别

7、在两直线上确定两个动点使 线段和最小。思路：这类问题通过做这一定点关于两条线的对称 点，实现“搬点移线， 把线段“移到同一直线上来解决。练习3如图，/ AOB的大小为a, P是/ AOB部的一个定点，且 0P=2点E、F 分别是OA OB上的动点，假设 PEF周长的最小值等于2,那么a = A. 30°B.45°C.60°D.90°例4在锐角三角形ABC中，AB=4 / BAC=60，/ BAC的平分线BC于D, M N 分别是AD与 AB上动点，那么BM+M的最小值是 .特点：两动点在两条直线上，定点和其中一个动点共线，求不共线动点分别到定点和另一动点

8、的距离和最小值。思路：1利用轴对称变换，使不共线动点在另一动点的对称点与定点的连线 段上两点之间线段最短2这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线时， 两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。练习4如图，在 ABC中，/ C=90，CB=CA=，/ A的平分线交BC于点D,假 设点P、Q分别是AC和AD上的动点，那么CQ+P的最小值是.三、动点构成特殊图形问题此类问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特 殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性特殊角、特殊图形的性质、图形 的特殊位置.分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的 不变量，建立方程或函数关系解

9、决。1把握运动变化的形式与过程；思考运动初始状态时几何元素的关系，以与可求 出的量。2先确定特定图形中动点的位置，画出符合题意的图形一一 化动为静。3根据条件，将动点的移动距离以与解决问题时所需要的条件用含 t的代数式表 示出来。4根据所求，利用特殊图形的性质或相互关系，找出等量关系列出方程来解决动 点问题。例5如图，在Rt ABC中，/ B=90，AB=5，/ C=30 .点D从点C出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向 以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点 也随之停止运动设点D E运动的时间是t秒t >0.

10、过点D作DF丄BC于点F， 连接DE EF.1求证：AE=DF2当t为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由例6如图，点A在丫轴上，点B在X轴上，且OA=OB=,经过原点0的直线L 交线段AB于点C,过C作0C的垂线，与直线X=1相交于点P,现将直线L绕0 点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限，并记 AC的长为t， 分析此图后，对以下问题作出探究：(1)当厶AO(»A BCP全等时，求出t的值。2通过动手测量线段0C和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得 到的结论。稳固提升1.如图在锐角 ABC中, AB=Q2, / BAC=45，/ BAC的平分线交BC于点

11、D,M、 N分别是AD AB上的动点，那么BM+MI®最小值是 .2.，数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边， 从点A走到点B,要经过32个单位长度.1求A、B两点所对应的数；2假设点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍, 求点C对应的数；3，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右 出发，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P,线段PO-AM的值是否 变化？假设不变求其值.3. 如图，在平面直角坐标系中，点 A( 3 , 0) , B(3：3 , 2) , C0, 2) 动点D 以每秒1个单位的速度从点

12、0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个 单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动过点E作EF上AB交BC于点F, 连结DA DF.设运动时间为t秒.(1)求/ ABC的度数；当t为何值时，AB/ DF;4. 如图， ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动 与A、C不重合，Q是CB延长线上一点，与点P同时以一样 的速度由B向 CB延长线方向运动Q不与B重合，过P作PEL AB于E,连接PQ交AB于D.1当/ BQD=30时，求AP的长；2当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED的长； 如果变化请说明理由知识拓展1. 最短路径问题Mil尿理花宜线l上求懦几低 円十PH亡蔬？卜.连月丛与丨疋点即为P.*3两点之间耀理&轲* AI亠削最小值为儿亂【问題2广将你吟"件肚1r関睢占任直縛i 1戒一点P低 值飪小.作歩恳_H的对柠卢，田 建川林5主点即为巴U'何点之间维谡最丽. 刚十P舟星小龍为乂 H'【円