反常积分练习

1、第8章反常积分 1反常积分的概念与计算 问题的提出：针对 Riemann 积分的缺陷要求积分区间有限；被积函数有界再结合1 P264 两例.广义积分亦称为 CauchyRiemann 积分,或CR 积分. 1. 无穷限广义积分： 2. 概念和几何意义： A一 定义F(A)=J,jf=F()-F(a). a a 几何意义: 二dv 计算积分(0. 0 x22x5 例 2 讨论以下积分的敛散性： 丑幻、，8人， 史;f一dx 1 xp2x(lnx)p -be 例 3 讨论积分cosxdx的敛散性. a 3. 无穷积分的性质： f(x)在区间a,+8)上可积，k为常数，则函数kf(x)在区间a,+2

2、)上可 -bo-ba 积，且Jkf(x)dx=kff(x)dx. aa f(x)和g(x)在区间a,+R)上可积=f(x) g(x)在区间a,)上可积， -be-be-be 且(f-g)=.f-g.例 1讨论积分 be. dx 22 01x 0dx 二dY f吟的敛散性. -1x2 2反常积分的收敛判别法 无穷积分收敛的 Cauchy准则：(翻译F(A)TB,ATY.) -bo ThTh 积分Jf(x)dx收敛 uVs0,“，VA：AA,二 a 绝对收敛与条件收敛：定义概念. 绝对收敛二收敛，(证)但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 4. 无穷积分判敛法： 非负函数无穷积分判敛法：对非负函数

3、，有F(A)/.非负函数无穷积分敛散性记法 比较判敛法：设在区间a,+ o)上函数”*)和9(*)非负且f(x)4g(x),又对任彳SJAa,f(x)和g(x)在区间a,A上可积.则 -be-be-be-be fg十o=Jf0cc=0=Jg+笛时，fc=+c0,=jg=+a时，jf=+ 0.(证)A f(x)dx:二；. A 例 4 判断积分 2、 sin(1x)05x2 dx的敛散性. -bo iip-1,0：:_：,=f-： a 其他判敛法： Abel判敛法：若f(x)在区间a,+馅)上可积，g(x)单调有界，则积分 f(x)g(x)dx收敛. a A Dirichlet 判敛法：设F(A

4、)=f在区间a,+ )上有界，g(x)在a,+如)上 a *bo 单调，且当xT+8 时，g(x)T0.则积分ff(x)g(x)dx收敛. a Sinx二cosx 例 6 讨论无穷积分1ssdx与吧dx(p0)的敛散性. dx Cauchy判敛法:(以一为比较对象，1xp 1 即取g(x)=xp .以下a0) 1 设对任何Aa,f(x)Ca,A,0wf(x)_二 px -bo =/f十的； a 1 一 若f(x)之,且pE1,二 xp -be f=: a Cauchy判敛法的极限形式：设f(x)是在任何有限区间 a,A上可积的正值函数.且 皿(幻=九.则 p1,0_,= Jfxedx,(之0)

5、; 0 2 x. 11dx.1P324E6 51 1xp1xp -bo-bo -22. sinxdx,cosxdx, 1 1 be sinx 例 8(乘积不可积的例)设f(x)=,x亡1,).由例 6 的结果，积分 jf(x)dx ,xi 2 sinx 收敛.但积分Jf(x)f(x)dx=1fsdx却发散.(参阅例 6) iix 反常积分：先介绍函数的瑕点. 1 .瑕积分的定义：以点b为瑕点给出定义.然后就点a为瑕点、点cw(a,b)为 瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明 (dx 判断积分f,dx的敛散性. 01-x2 .一dx 例 10 讨论瑕积分jj(q0)的敛散性，并讨论积分的敛散性. x

6、q0 x 2 .瑕积分与无穷积分的关系：设函数f(x)连续，b为瑕点.有 例 7 例 7 证明下列无穷积分收敛 且为条件收敛 -bo xsinx4dx. i % dx b-x f(x)dx 1 b-a 11一 I2dt,把瑕积分化成了无穷积分 tt2 -be 设a0,有Jg(x)dx 1*dt ItJt Jr1%t,，、一n八 I=fg-I,把无穷积分化成了瑕积分 ItJt 可见，瑕积分与无穷积分可以互化 .因此，它们有平行的理论和结果 例 11 证明瑕积分 1 sindx当a2时收敛.x 二x：/ 例 13 讨论非正常积分dx的敛散性. 01x 三.CR积分与R积分的差异: 1.f(x)SR

7、a,b=在a,b上f(x)=0(1);但f(x)在区间a,+a)上可积， Rf(x)在区间a,+30)上有界.例如函数 f(x)|WRa,b,但反之不确.R 积分是绝对型积分. |f(x)|在区间a,十g)上可积=f(x)在区间a,+s)上可积，但反之不确. C-R 积分是非绝对型积分. 3.f(x),g(x)Ra,b=f(x)g(x)Ra,b; 但f(x)和g(x)在区间a,)上可积=f(x)g(x)在区间a,+ )上可积.可 见，f(x)在区间a,+的)上可积4f2(x)在区间a,+= )上可积. sint 2 t 该积分当a2时收敛. 1 .瑕积分判敛法： Th(比较原则)见教材 Th10