证明或判断等差数列的常用方法

1、证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？且听笔者一一道来.一、利用等差（等比）数列的定义在数列何中，若anan 1（d为常数）或anan 1为常数），则数列an为等差（等比）数列.这是证明数列an为等差（等比）数更最主要的方法如:例1 （2005北京卷）设数列an的首项ai a -，且an 141-ann为偶数21an n为奇数n 4记 bn a2n1 n 1,2,3,4（i）求a?, a3 ； （n）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论.解：(i) a2 a1(n) Q a4 a

2、s111111 ；aa3a2a44228113,所以a113aa4a4282416所以b| a1- a41猜想：bn是公比为一的等比数列.2证明如下：因为b1丄1a2n 1 a2n4211aba524111a2n 1424如,(n N )所以bn是首项为a1，公比为1的等比数列.42评析：此题并不知道数列bn的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明,这是常规做法。例2 （ 2005山东卷）已知数列an的首项a15，前n项和为&，且Sn 1 2Sn n 5（n N） （i）证明数列an 1是等比数列；（n）略.解：由已知Sn 1 2Sn n 5(n N*)可得n 2时,Sn 2Sn

3、 1 n 4两式相减得：Sn 1Sn 2(SnSn 1)1，即 a. 1 2a.1，从而 an 112(an 1),当 n1 时，S22S11 5，所以a2 a 2a16,又 a 5，所以 a2 11，从而 a2 1 2(a1 1).a 1 故总有 an 1 1 2(an 1), n N，又 & 5, & 1 0,从而亠 2 .an 1所以数列an 1是等比数列.评析：这是常见题型，由依照含Sn的式子再类似写出含 Sn 1的式子，得到an 1 pan qan的表达式，则较的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论本题若是先求出通项 繁.注意事项：用定义法时常米用的两个式子 an

4、 an 1 d和an 1 an d有差别，前者必0); nN时，有旦anq (常数 0).n > 2时，有电 L q (常an 1须加上“ n > 2 ”否则n 1时a0无意义，等比中一样有:二运用等差或等比中项性质an是等比数列，这6, a311，且、 2anan22an1an是等差数列，anan2an1 (an 0)是证明数列an为等差(等比)数列的另一种主要方法.例3. (2005江苏卷)设数列an的前项为Sn,已知a1 1, a2(5n 8)Sn 1 (5n 2)Sn An B, n 1,2,3,L，其中 A, B为常数.(1 )求A与B的值；(2)证明数列an为等差数列；

5、(3)略.解：(1 )由 a1 1, a26, a311，得 S|1,S27, S318 .A B28,把n 1,2分别代入(5n 8)Sn 1(5n2)SAn B，得'寸 2A B48解得，A 20 , B 8 .(n )由(I )知，5n(Sn 1 Sn) 8Sn 1 2£20n 8，即5nan i 8Sn i2S.20n 8又 5(n i)an 28Sn 22Sn i20( ni) 8.-得，5(ni)an25n an i8an 22an i20 ,即(5 n3)an 2(5n2)an i20 .又 (5n 2)an 3(5n7)an 220 .-得，(5n2)(an3

6、2an 2an i)0,an 32an 2 an i0 ,4 3an 2an 2an iL83a25 ,又 a2ai5,因此，数列 an是首项为1公差为5的等差数列.评析：此题对考生要求较高，通过挖掘Sn的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算.例4(高考题改编)正数数列an和bn满足：对任意自然数n, an, bn, an 1成等差 数列，bn，ani，bni成等比数列证明：数列 f bn为等差数列.证明：依题意，an 0, bn 0,2bn an an 1，且 an 1bnbn 1 ,an ,bn ibn(n > 2).2bn.bnib gbni 由此

7、可得 2b；.b；即.bn.b；,b；(n > 2).数列-.、S为等差数列.评析：本题依据条件得到 an与bn的递推关系，通过消元代换构造了关于f. 6的等差数列，使问题得以解决.三.运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n k时命题成立”到“ n k i时命题成立”要会过渡.例5 . (2004全国高考题)数列 an的前n项和记为Sn ,已知ai i ,an i - Sn (n i,2, L ).证明：数列 ' 是等比数列.nn证明：由 ai i, an i Sn(n i,2,L )，知 a?3知旦 如 2 ,i22Sl 1，猜测 Sn是

8、首项为1,公比为2的等比数列.1nF面用数学归纳法证明：令 bnn.n(1)当 n2 时，b22b1,成立.当n3 时，S3a1a2 a31 3 2(13)12, b342b2 ,成立.假设nk时命题成立，即bk2bk 1 .那么当nk 1时，bSk 1Skak 1Skk 2Sk k k2bk,命题成立bk 1k 1k 1k 1综上知Sn是首项为1,n公比为2的等比数列例6.（2005浙江卷）设点An(Xn，0,卩.区,2"）和抛物线2I_Cn : y x anX bn（n N ）,其中an2 4n 尹，Xn由以下方法得到：Xi 1，点2P2（x2,2）在抛物线Ci : y x ai

9、x bi上，点A （x，）到P2的距离是 几到C1上点的最短距离，L，点Pn1（Xn1,2n）在抛物线Cn : yX?a.Xbn上，点An（Xn,O）到Pn1的距离是An到Cn上点的最短距离.(1)求X2及G的方程.(2)证明Xn是等差数列.解：(I )由题意得：A(1,0), C1: y X2 7x D .设点 P(x,y)是C1 上任意一点，贝 yIAPI . (X1)2y2(x1)2(x27xbj2令 f(x)(x 1) (x 7xbl),则 f(x)2(x 1)2(x7xbj(2x7).由题意：f (x2)0,即 2(x21)2(x22 7x2 b1 )(2x27)0.2又 F2(X2

10、,2)在 G 上, 2 X2 7X2 b1,解得：x2 3,b1 14.，故 C1 方程为 y x2 7x 14.(Il)设点 P(x, y)是 Cn 上任意一点，则 |AP| . (x xn)2 (x2 anx bn)2令 g(x) (X Xn )2 (X2 anX bn)2 ,则 g'(x) 2(X Xn) 2( X2 anX bn )(2 X an).由题意得an)0又Q 2nXn 1an Xn 1bn ,(Xn 1Xn)2n(2Xn1 an)0(n1).即(1 2n 1)Xn 1Xn 2nanF面用数学归纳法证明Xn2n当n1时,X11,等式成立.假设当k时，等式成立,Xk2k

11、 1,则当n1时,由(* )知(12k1)Xk 1 Xkk2 ak o又ak4kXkkxk 2 akk 12k 1.即当n1时,等式成立.由知，等式对n N 成立.xn是等差数列.2g'(Xn 1)0,即 2(Xn1Xn)2(X.1a.Xn1 g)(2X.1掌握数列前n项和 通过求二次 如果直接评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个综合性比较强的题目，函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了,利用递推关系式找通项，反而不好作.经过一系列的推 这时可从反面去四反证法解决数学问题的思维

12、过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发， 理和运算，最后得到所要求的结论， 但有时会遇到从正面不易入手的情况， 考虑.如：Cnanbn .证例7.(2000年全国高考(理)设a.是公比不相等的两等比数列, 明数列Cn不是等比数列.证明：设anbn的公比分别为p,q , p q ,Cnanbn,为证Cn不是等比数2 2 2 2 2 2 2列只需证 C2 C1gC3 .事实上， C2 (ai p biq) p d q 2aibi pq2 2 2 2 2 2 2 2(a1 bj(a3 bg) 4)(印卩 dq ) 印 p 0 qaQ(p q )2 2 2Q p q, p q 2 pq，又a, b

13、不为零，C Gp，故cn不是等比数列.评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力， 对逻辑思维能力有2较高要求要证Cn不是等比数列，只要由特殊项(如C2 C1CC3 )就可否定.一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性？. ？五看通项与前n项和法若数列通项an能表示成an an b ( a, b为常数)的形式，则数列an是等差数列；若通项an能表示成an cqn(c, q均为不为0的常数，n N )的形式，则数列 an是等 比数列.若数列an的前n项和S能表示成Sn an2 bn( a，b为常数)的形式，则数列 an等差数

14、列；若 s能表示成Sn Aqn A( A q均为不等于0的常数且qz 1)的形式， 则数列an是公比不为1的等比数列这些结论用在选择填空题上可大大节约时间.例8 (2001年全国题)若Sn是数列an的前n项和，Sn n2,则an是().A.等比数列，但不是等差数列B .等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B,大大节约了时间，同时大大提高了命中率.六熟记一些常规结论，有助于解题若数列an是公比为q的等比数列，则(1) 数列an an(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；(2) 若bn是公比为q的等比数列，则

15、数列ang)n是公比为qq的等比数列；11(3) 数列是公比为-的等比数列；anq(4) an是公比为q的等比数列；(5) 在数列an中，每隔k(k N )项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比 数列且公比为qk 1 ；(6) anan1,an an1,a2n1a2n, a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,L , L等都是等比数列；(7) 若m, n , p(m , n , p N )成等差数列时，am, a. , ap成等比数列；(8) Sn, S2n Sn, Ssn S?n均不为零时，则& , Qn & ,En成等比数列；(9) 若log ban是一个等差数列

16、，则正项数列an是一个等比数列.若数列an是公差为d等差数列，则(1) kan b成等差数列，公差为 kd (其中k 0, k, b是实常数)；(2) S(n i)k Skn , ( k N, k为常数)，仍成等差数列，其公差为k2d ；(3)若an bn都是等差数列，公差分别为di, d2，则an bn是等差数列，公差为 d1 d2 ；(4) 当数列an是各项均为正数的等比数列时，数列lg an是公差为Igq的等差数列；(5) m, n, p(m, n, p N )成等差数列时, am, an, ap 成等差数列例9.( 96年全国高考题)等差数列an的前n项和为30,前2n项和为100则它的前3n 项和为( )A. 130B. 170C. 210D. 260解：由上面的性质得： Sn, S2n Sn, S3n S2n 成等比数列,故 2(