汽车行驶问题ppt课件

1、汽车行驶问题问题一：曲率限制的停车问题 一辆汽车静止于A处，要开到与车身垂直的B处，不能倒车，沿着什么路径行驶路程最短？AB背景知识 从A点行驶到B点必须转弯，由于车身有一定长度，转弯不能转得太小，即路径的曲率K不能太大或者曲率半径r不能太小。（可以以火车转弯的轨道来想象）问题二：汽车绕行rxy(x3,y3) 汽车从A地出发，到河边取水送往B地，两地之间有一个不能穿越的圆形建筑群见图），汽车如何行走，才能使得路程最短？(0,y1)A(x2,y2)Bo知 A,B即建筑群中心的坐标都已知，如下图，建筑群个半径r也已知。建筑群周围就是汽车道路。问题三：停车问题1psALMBCDQR 如下图，有三个半

2、径为a的圆，其中两个圆的圆心相距2b=4asin,其中，0/2.第三个圆与这两个圆相切。做圆A，B的另一侧公切线CD。 若汽车的最小转弯半径为a，不能倒车，讨论如下问题。（1车停于P处，车头朝上，要行驶到S处，什么路径最短？（2汽车停于L处，车头向上，要行驶到M出车头朝下，最短路径是什么？如果可以倒车？（3汽车停于C，车头朝上，要行驶到P处车头朝上，什么路径最短，如果可以倒车呢？问题四：停车问题2AB12 驾驶一辆车从A处到B处，在A处与AB夹角为1，到达B出后与AB夹角为2.如何行驶，路程最短？汽车的最小转弯半径为a。汽车绕行rxy(x3,y3) 汽车从A地出发，到河边取水送往B地，两地之间

3、有一个不能穿越的圆形建筑群见图），汽车如何行走，才能使得路程最短？(0,y1)A(x2,y2)Bo分析 汽车从A到B，又要取水，圆形建筑群又不能穿越，不外乎下面几种走法知 A,B即建筑群中心的坐标都已知，如下图，建筑群个半径r也已知。建筑群周围就是汽车道路。rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC1汽车于建筑群与A之间取水走法1E1E2从A到取水点C1,再走C1E1直线切入圆道(上半圆道)，再沿圆道行至E2，最后由E2相切走直道至B。 rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC2汽车于建筑群与B之间取水走法2E1E2汽车从A直道走入E1，再走弯道E1E2，从E2切出，

4、到取水点C2，最后走直道至B。rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC3汽车在建筑群最南端取水走法3E1E2汽车从A到E1，走圆道下半圆道至取水点C3,再走圆道至E2，再切出走直线到B。根据假设，方法4优于方法2。模型假设 不管走哪条路径，汽车到达圆形建筑群，总是走切线到达，再走圆弧，然后再从圆形建筑群到B点也走切线，这样才可能路程最短。构建模型1、先比较取水方法1和方法3的优劣rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC1E1E2D 如上图所示，过B作通过圆心的直线交C1E1于D如果不相交，C1更加靠左，方法1的距离更远），连接A、D。再过B作切圆于另一点E3，过A作

5、切圆下方于E4。过D作切圆于E5的切线。E3E4C下面来证明方发1距离大于方法3的距离。E5方法3的距离为BE|EE|AE|s33443方法1的距离为|BE|EE|DE|DC|AC|BE|EE|EC|AC|s2211112211111333443355443355335511s|BE|EE|AE|BE|EE|EE|AE|BE|EE|DE|AD|BE|EE|DE|DC|AC|下面专门证明|EE|AE|DE|AD|5445AE5E4DpO过圆心O连接E4延长交DE5于P，显然OE4垂直AE4，那么|AE|AP|4显然|AP|DP|AD|于是，有|AE|DP|AD|401由OE5垂直于PE5知)OP

6、Etan(|OE|PE|55502而由弧长的计算，由OPE|OE|EE|555403当)2,0(OPE5时，有OPE)OPEtan(55根据02、03，得到|EE|PE|54504由相加，得|EE|AE|PE|DP|AD|5445|EE|AE|DE|AD|5445即052、比较方法2与方法3的优劣rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC2汽车于建筑群与B之间取水走法2E1E2E4E5DPC方法2的行驶距离为|BC|CE|EE|AE|s2222112仿照上面的证明，有32ss综上所述，方法3取水时，汽车行驶距离最短。3、求方法3取水的汽车行驶距离设C3OE1=, C3OE2=.o|

7、AO|=21323)yy(x232232)yy(xx|BO|cos|BO|BE|,cos|AO|AE|2106321y)(|EE|0708所以，取水汽车行驶距离为32323223223213233yy)yy()xx(y)yy(xso其中，2322323212233)yy()xx(yarcsin,)yy(xyarcsin下面针对特殊的A,B,O的取值。对假设的验证ABDEFO12如下图，从A到B的直线道路AB被一半径为r的圆圆心在o阻隔。求A到B的最短路径pQ根据叙述，从A到B没有直线道路，只有走折线或其它曲线。常识：两点间直线距离最短。 为了叙述的方便，作如下假设1、由于圆的对称性，设A,B位

8、于同一直线上，如下图；2、过A与已知圆相切于E,过B与已知圆相切于F;3、设角EOF=；下面所叙述的过程为了说明走任意曲线APQB，其路程都大于走如下路程EF|BF|AE|注意到OE垂直于AE,OF垂直于BF，那么|BF|BQ|BQ|;AE|AP|AP 又假设曲线APQB的极坐标方程为如果曲线不光滑，可以假设其逐段光滑，结果一样）)(则曲线PQ的长度为1022d)(PQ由于任意曲线APQB的任意点的半径都大于圆的半径r，那么0022EFrrddPQ2由公式和知曲线APQB|FB|EF|AE|QBPQAP即从A到B走AE直线切入圆道EF，然后切出走直线FB.曲率限制的停车问题问题一辆汽车静止于A

9、处，要开到与车身垂直的B处，不能倒车，沿着什么路径行驶路程最短？AB背景知识 从A点行驶到B点必须转弯，由于车身有一定长度，转弯不能转得太小，即路径的曲率K不能太大或者曲率半径r不能太小。（可以以火车转弯的轨道来想象）dsdxdyy=f(x)1、弧长元素弧微分）dx)y(1)dy()dx(ds222计算方法如右图1所示。2、曲率图1 弧长元素M0MMSsC 如右下图2，以M0为起点的曲线光滑曲线C.曲线上任意点点M的切线的倾斜角为,在M附近曲线上点M的倾斜角为+,即当弧长变化s时，倾斜角变化了 。图2 曲率的示意图现象：如果过M点时，曲线“弯曲厉害，那么， s引起的转角比较大.1曲率的定义 单

10、位弧长上切线转角的大小。即弧段MM的平均曲率为| s|K点M处的曲率曲线经过这点时的弯曲程度为|dsd|s|limK0s（如果此此极限存在）2若曲线C对应函数的二阶导数存在。且dx) y(1 yd yarctantan y23将和带入2，得图3 曲率示意图23222) y(1 (| y|dx) y(1|dx) y(1 y|dsd|K4例如，直线y=ax+b在任意点M的曲率为K=0为什么？）例如圆上任意一点的曲率相同。222ryx不放设圆方程为一阶及二阶导数分别为2yxyyy,yx y 带入2a，即B距A超过汽车的最小转圈；2、假如|AB|2a 当A距离B较远时，从A行驶到B的最短路径与AB线段

11、维成一个向外凸的区域。否则，如右图所示，汽车最短路径为ACDEB曲线。而此区域的凸包ACEB明显比ACDEB路径短，矛盾。ABCDE图5 凸包示意图ABOCa汽车从A要行驶到B，首先要转向，而转向中，以最小半径a转动行驶距离最短，当转到C点时，沿着C切向行驶到B，|BC|是直线最短路径的距离，注意到条件6，汽车不能在AOC内行驶，故|AC|是汽车转向最短路径。 所以，凸曲线途径ACB就是满足条件的最短路径。其余凸路线必须为于ACB以外，其路径长度必定大于ACB的长度。2、|AB|2a 从A到B的距离小于汽车最小转动圈的直径时，汽车从A点开始朝同一个方向只是转动时，始终到达不了B(最小转动半径决

12、定）。图6 先转再直行驶图AOByxCabO1图7 B在最小转动圈内1） 注意到汽车不能倒车，就只有两种方案可选。（1汽车先朝y正向开到C点，而从C点到B点刚好在最小转动圈上，即可沿着转动圈行驶到B。如图7所示。则行驶路径长度为aaabarcsin23)ab(a|CB|AC|s22 7（2汽车从A先向左反向沿着最小转动圈行驶至C，C与B恰好位于一个右向最小转动圈上，再沿着次圈行驶到B即可。见图8aaaABba图8 汽车先左后右的转圈到达BC根据图示，汽车路径的长度为a)sinabaarcsin(2a)2(|CB|AC|s其中，ab4a4bab2a4arcsos2228可以证明：s s 由此可见，当|AB|2a时，选择图8行驶方式，路经最短，路经有曲率K=-1/a和K=1/a开始左转向再右转向行驶两个圆弧构成的路径最优。作业1：停车问题psALMBCDQR 如下图，有三个半径为a的圆，其中两个圆的圆心相距2b=4asin,其中，0/2.第三个圆与这两个圆相切。做圆A，B的另一侧公切线CD。 若汽车的最小转弯半径为a，不能倒车，讨论如下问题。（1车停于P处，车头朝上，要行驶到S处，什么路径最短？（2汽车停于L处，