构造齐次方程——解决圆锥曲线的一类问题

1、构造齐次方程解决一类问题准备知识定理：若直线亠一与二次曲线 打；-二丨-|=0*交于P, Q两点，贝U P, Q与原点0连线的方程是 川+边+夕+（必+叨（ 匕）+2二证明：设点P的坐标为（1）,则:如 +cy + 必1 +即+/ 二 0又直线OP上任一点的坐标可设为；兀，其中匚F，当''1 / 一 1时，有 折+切+夕+（血+讽-匕）+/（-匕尸nn严f +加i”+（必1 +硏）（_说+朋划）+于卜図+鸭】）Lnn=（）=0,故直线上任一点的坐标）都适合方程*,从而直线OP上任一点都在方程*所表示的曲线上。 同理直线OC上任 一点都在方程*所表示的曲线上。又设直线OP OQ勺

2、方程分别是，则由上证明知方程*的 左边必含有因式丄一-Ll，因为方程*的左边为关于；的齐二次式，根据多项式因式分解是唯一的，所以方程*必与-; ；-两方程同解。综上知：P, Q与原点O的连线方程可以表示为*。注意：本定理给出了直线与二次曲线相交时， 两交点与原点连线的直线方程 的构造法。若将方程*的左边展开整理后得到关于'/的齐二次方程A2 + Bxy + Cy2 = 0其中八纠肠+用 b/ -（加+总加+ 2加?，则可以得到以下两个推论。推论1：若方程- /（G/ -.11 ）表示过原点且不tang=±V-c重合的两条直线，则这两条直线的夹角 丁满足J ;y1+ B证明：因

3、为方程C II）表示过原点且不重合的两条直+ /二 0q，又B-4AC>，所以1，则Aq线，所以xhO，则其可以化为1，该方程有两个不相等的实数根，这两个根就是这两条直线的斜率 匕+匕二朮匕=，依两直线的夹角公式得：t肋# _ 亠对-禺 _ ± J（上 1 +_4冷禰 _ + Je*1+姑他注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时， 相交弦对原点张角大小的计算 方法。推论2:方程J丨小-:（C）表示过原点且不重合的两条直线，若这两条直线互相垂直，则o证明：由推论1知：当这两条直线互相垂直时，：；丄，二匚的值不存在, 冲丄A+C,cot = ± - f= = 0而二t .

4、 =0，即- - A -，所以，一 . o注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时， 相交弦对原点张直角问题的解 决方法。例题例1 （97年上海高考题）抛物线方程为，直线-:'与丄轴的交点在抛物线的准线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2） 设直线与抛物线的交点为 Q, R,，求：关于匸的函数罚的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的焦点 求*的取值范围。F到直线' ' /'：；'的距离不大于1 ，丁=恥+1）解：（i）由b+卩二翊消去x整理得：丿'+妙-去（酬+i） = 0,则 1 - -71.-卜，因为直线、；二f与；轴的交点

5、为 :,所以:,即所以.'./ - !. -0,故直线与抛物线总有两个交点。X + j 二2 二 T X+ 严咛（2）由'一.；二*:得. 代入?'/ ' !'彳得， 心-.；，整理得 （m1 -p）y2 -（去聊+2p）;-pM + l）x 11。依推论2得（3）I 3。例2: （04年全国卷U）给定抛物线 C: 2 ： , F是C的焦点，过点F的直线 与C相交于A, B两点。（1）设的斜率为1,求与_夹角的大小；（2） 设九 丄；，若一 I,求.在：'轴的截距的变化范围。解：抛物线w 二的焦点为F（ 1, 0）设直线.的方程为即丿-1代 入&

6、quot; V得"-：'',整理得。由推论1得U-21u211（2）l $ <ri_4T。例3（02年北京卷改编）设GM分别为不等边二二T的重心与外心二 且一二（1）求C点的轨迹E的方程；（2）是否存在直线.，使.过点（0, 1）,并与E相交于P, Q两点，且满足匚 I =0。若存在，求出直线.的方程; 若不存在，说明理由？解:（2）假设存在直线，其方程为“门门符合题设要求。的方程即"匕1代 2y2入'1得匚 整理得由丽小 hi =,y-±x + ：=0及推论2得计-:二.，解得 :o故存在直线.：:符合题设要求。X = 例4（ 05

7、年山东卷）已知动圆过定点 f 丿，且于定直线2相切，其中P、Q o（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）设A, B是轨迹上异于原点的两个不同点， 直线OA 0B的倾斜角分别为二当二变化且二-为定值：（ 时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。解：（1） 匚。j 12y-j . j112 仃 y 乙px （2）设直线AB的方程为:- '"即 代入 匚得'-2p，所以*+ 2pk = 0。则整理得：r1 : 一 11，因为IItan a+tan 02p亠 2pk tan Gtan p 二i ,i1 一妙< 占）= b-2pk。由此解得2dy = 二 h+ 2械二比+ 2p） +tan 5''川tan a + tan 5tan 3 = tan（ 七 $）=所