小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)

1、.小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型） ， 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图 S1 : S2a : bS1S2abA BCD夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S ACDS BCD；反之，如果 BCD，则可知直线 AB 平行于 CD S ACDS等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ) ；三角形面积等于

2、与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比如图在 ABC 中，D , E 分别是 AB, AC 上的点如图( 或 D 在 BA的延长线上， E 在AC 上) ，则 S ABC :S ADE( ABAC) : ( AD AE)ADADEEBCBC图图三、蝶形定理D任意四边形中的比例关系 ( “蝶形定理” ) ：A S1 :S2 S4 :S3或者 S1S3 S2S4 AO:OC

3、S1S2:S4 S31SS4蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题S2 O的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四S3边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方BC面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系;.梯形中比例关系 ( “梯形蝶形定理” ) ：AaDS1S22: b24 S1 : S3 aOS S1 :S3 :S2 :S4a 2 : b2 : ab : ab ；S2 3 S 的对应份数为a bBbC四、相似模型( 一) 金字塔模型(二)沙漏模型AEFDADFEBGCBGC ADAEDEAF ；ABACBCAG SADE： S ABCAF2:AG2所谓的相似三角形，就是

4、形状相同，大小不同的三角形( 只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么ASABO :SACO BD:DC

5、上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因FE为 ABO 和 ACO 的形状很象燕子的尾巴， 所以这个定理被称O为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为BDC三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.补充：塞瓦定理 是指在 ABC内任取一点 O，延长 AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC) ×(CE/EA) ×(AF/FB)=1 。塞瓦定理记忆法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为 1。;.典型例题【例 1】如图，正方形 ABCD的边长为 6， AE1. 5

6、， CF2长方形 EFGH的面积为HHADADEEGGBBFCFC【解析】 连接 DE，DF，则长方形 EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍三角形 DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S DEF661.5622624.54216.5 , 所以长方形EFGH面积为 33【巩固】如图所示，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？EEABABFFDGCDGC【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：

7、连接 AG ( 我们通过 ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起) 在正方形 ABCD中， S ABG1AB AB 边上的高，21 S ABGSWABCD ( 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积2的一半 )同理， SABG1 SEFGB 2正方形 ABCD与长方形EFGB面积相等长方形的宽8 8 10 6.4(厘米);.【例 2】长方形 ABCD 的面积为 36cm2 ， E 、 F 、G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGBFC【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、 HC ，如下图：AHDEGBFC可得 ： SEHB 1SAHB、

8、SFHB1、 SDHG1SDHC ，而S CHB222SABCDS AHB S CHBS CHD36即SEHBS BHFS DHG1S CHBSCHD)118 ；(S AHB3622而S EHBS BHFS DHGS阴影S EBF，S EBF1BE BF1( 1AB) (1BC)1 364.5 22228所以阴影部分的面积是： S阴影18S EBF 184.5 13.5解法二：特殊点法找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，那么图形就可变成右图：D (H)AEGBFC这样阴影部分的面积就是DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：1111111S阴影 SABCD S AED S BEF S CF

9、D 36236223636 13.52222【巩固】在边长为 6 厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接 , 求阴影部分面积;.ADA(P)DADPPBCBCBC【解析】（法 1）特殊点法由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 P 点与 A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1和 1，所以阴影部分的面积为114662() 15 平方厘米46（法 2）连接 PA 、 PC 由于 PAD 与 PBC 的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之

10、和等于正方形ABCD 面积的 1 ，同理可知4左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的 1 ，所以阴6影部分的面积为 62(11) 15 平方厘米46【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB 8，AD15，四边形 EFGO 的面积为ADOGEBFC【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形 EFGO 的面积之和，以及三角形 AOE 和 DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积由于长方形 ABCD的面积为15 8 120，所以三角形 BOC的面积为1320 ；12030 ，所以三角形 AOE 和 DOG 的面积之

11、和为 1207044又三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和为 12011，所以2304四边形 EFGO 的面积为 30 2010 另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积 三角形 AFC 面积三角形BFD 面积 白色部分的面积，而三角形 AFC 面积 三角形 BFD 面积为长方形面积的一半， 即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部;.分的面积，即 1207050，所以四边形的面积为605010【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是 36，E 是 AD 的三等分点， AE2ED ，则阴影部分的面积为AEDAEDNMOOBCBC【解析】 如图，连接 OE 根据蝶

12、形定理，ON:NDSCOE :SCDE1S CAE :S CDE 1:1， 所 以12S OENSOED；21OM :MAS BOE :S BAE1 SBDE : S BAE1: 4 ，所以 S OEMS OEA1125又S OED3，SOEA2S OED6 ，所以阴影部分面积为：3S矩形 ABCD411362.7 25【例 4】已知 ABC 为等边三角形，面积为400， D 、 E 、 F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积( 丙是三角形HBC )A甲乙DIJFM NH 丙BEC【解析】 因为 D 、 E 、 F 分别为三边的中点，所以DE 、 DF 、EF

13、是三角形 ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形 AMC 的面积都等于三角形 ABC 的一半，即为 200根据图形的容斥关系，有S ABCS丙S ABN S AMC SAMHN ，即 400S丙200200SAMHN ，所以 S丙SAMHN 又 阴影S ADF甲S乙SAMHN，所以SSS阴影S甲 S乙 S丙 S ADF140043 1434;.【例 5】 如图，已知 CD 5 ， DE 7 ， EF 15 ， FG 6 ，线段 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形 ADG 的面积是AACDEFGCDEFGBB【解

14、析】 连接 AF ， BD 根据题意可知， CF571527； DG7156 28；7 SADG所以， S BEF15 S CBF ，S BEC12 S CBFS AEG21 S ADGS AED，2727，28，28于是： 21S ADG15S CBF65； 7 S ADG12 S CBF 38；28272827可得 S ADG40 故三角形ADG 的面积是 40【例 6】如图在中，分别是AB, AC上的点，且， ABCD , EAD: AB2:5AE : AC 4:7S ADE16 平方厘米，求 ABC 的面积AADDEEBCBC【解析】 连接 BE ， S ADE : S ABEAD:A

15、B2:5(2 4) :(54) ，S ABE : S ABC AE : AC4 :7(4 5):(75)， 所 以 S ADE : SABC(24):(75)，设S ADE8 份，则 S ABC35份， S ADE16 平方厘米，所以 1份是 2 平方厘米，35 份就是 70 平方厘米， ABC 的面积是 70 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形 ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？;.AA

16、DEDEBCBC【解析】 连接 BE EC 3AE /AC=3AE SVABC 3SV ABE又 AB5AD SVADESVABE5SV ABC15， SVABC15SV ADE15 【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲 ( 阴影部分 ) 、乙两部分， BD DC4 ，BE3， AE6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AAE乙E乙甲甲CBCBDD【解析】 连接 AD BE 3，AE 63 AB 3BE ， SVABD SVBDE又 BDDC 4， SVABC2 SV ABD ， SVABC6SVBDE ， S乙5S甲 【例 7】如图在 ABC 中， D 在 BA的延长线上， E 在 AC上，且

17、AB: AD5: 2 ，AE : EC3: 2 ， S ADE12 平方厘米，求 ABC 的面积DDAAEEBCBC【解析】 连接 BE ， S ADE : S ABE AD : AB2:5 (23):(53)S ABE : S ABC AE : AC3: (32)(35): (32) 5，所以 S ADE : S ABC (32): 5(32)6: 25，设 S ADE6 份，则 S ABC25 份，S ADE 12 平方厘米，所以1 份是2 平方厘米，25份就是 50 平方厘米， ABC的面积是 50 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 ( 相等角或

18、互补角 ) 两夹边的乘积之比;.【例 8】如图，平行四边形ABCD ， BEAB ， CF2CB ，GD3DC ， HA4AD ，平行四边形 ABCD 的面积是 2 ， 求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比HHABEABEGDCGDCFF【解析】 连接 AC 、 BD 根据共角定理在 ABC 和 BFE 中， ABC 与 FBE 互补， S ABCABBC111 S FBEBEBF133又 S ABC 1 ，所以 SFBE 3 同理可得 S GCF8， S DHG 15， S AEH8 所以 SEFGHS AEHSCFGS DHGS BEFSABCD 8 8 15+3+2 36

19、 所以 SABCD21SEFGH3618【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？CO131313131212D1212AB【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形， 难以运用公式直接求面积 .我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形 OAB 绕顶点 O 逆时针旋转，使长为 13 的两条边重合，此时三角形 OAB 将旋转到三角形 OCD 的位置 . 这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为 12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积 .因此，原来四边形的面积为12 12144 .( 也可以用勾股定理 )【例 10】 如图所示，ABC 中，ABC90 ， AB3 ，

20、BC5 ，以 AC 为一边向ABC外作正方形 ACDE ，中心为 O ，求OBC 的面积;.EEDDOOAA33B5CB5CF【解析】 如图，将 OAB 沿着 O 点顺时针旋转90 ，到达 OCF 的位置由于 ABC90 ， AOC90 ，所以 OABOCB 180 而 OCFOAB ，所以 OCFOCB 180，那么 B 、 C 、 F 三点在一条直线上由于 OB OF ， BOFAOC 90 ，所以 BOF 是等腰直角三角形， 且斜边BF为5 38，所以它的面积为 82 116 4根据面积比例模型，510 OBC 的面积为 168【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角

21、三角形ABE ，AEB 90 ， AC 、 BD 交于 O 已知 AE 、 BE 的长分别为 3cm、 5cm ，求三角形 OBE 的面积CBCBOOFEEDADA【解析】 如图，连接DE ，以 A 点为中心，将ADE 顺时针旋转 90 到 ABF 的位置那么 EAFEAB BAFEAB DAE90 ，而 AEB 也是 90 ，所以四边形 AFBE 是直角梯形，且 AF AE 3 ，所以梯形 AFBE 的面积为：353112 ( cm2 ) 2又因为 ABE 是直角三角形，根据勾股定理，AB2AE 2BE 2325234 ，所以 S ABD1AB 217 ( cm2 ) 2那么所以S BDES

22、 ABDS ABE S ADES ABD SAFBE 17 12 5 ( cm 2 ) ，S OBE1 SBDE2.5 ( cm 2 ) 2;.【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中， ABED ， AFCD ，BCEF ，且有 AB 平行于 ED ，AF 平行于 CD ，BC 平行于 EF ，对角线 FD 垂直于 BD ，已知 FD 24厘米， BD18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？BGBAACCFFDDEE【解析】如图，我们将 BCD 平移使得 CD 与 AF 重合，将 DEF 平移使得 ED 与 AB 重合，这样 EF 、 BC 都重合到图中的 AG 了这样就

23、组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为24 18 432 平方厘米，所以六边形 ABCDEF 的面积为 432 平方厘米【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是 1，E是AC的中点，点 D在BC 上，且BD:DC 1:2，AD与BE交于点 F则四边形 DFEC 的面积等于AEFBDCA33EF23B1DCAFEBDC方法一：连接，根据燕尾定理，S ABFBD1SABFAE,【解析】CFS ACFDC2， SCBFEC1设 S BDF1 份，则 S DCF2 份， S ABF3份， S AEFS EFC3 份，如图所标所以SDCEF5SABC51

24、212方法二：连接 DE ，由题目条件可得到 S ABD1S ABC1 ，1 S ADC12 S ABC1 ，所以 BF33S ADES ABD1 ，2233FES ADE1;.S DEF1S DEB11S BEC111S ABC1，22323212而 SCDE21S ABC1 所以则四边形 DFEC 的面积等于 5 32312【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， EC 2DE ，F 是 DG 的中点阴影部分的面积是多少平方厘米 ?ADA ADD3F1FEF EE33x 2yyGxBCBBCCGG【解析】 设 S DEF1 份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影5 S B

25、CD51212平方厘米 .【例 14】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ( 如图所示 ) 如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的 1 ，且 AO 2 ， DO 3 ，那么 CO 的长度3是 DO 的长度的 _倍DDAAGOH OBCBC【解析】在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件SV ABD : SV BCD 1: 3 ，这可以向模型一蝶形定理靠拢， 于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边

26、的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题解法一： AO : OCSABD :SBDC1: 3，OC236 ， OC: OD 6:3 2:1 解法二：作 AH BD 于 H ， CGBD于GS ABD111SDOC，S BCD ， AHCG ， S AOD333 AO1CO ， OC2 36 ， OC:OD 6:32:13

27、;.【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形BGC 的面积； AG :GC？AD12 3GBC【解析】 根据蝶形定理， S BGC12 3，那么 SVBGC6 ；V根据蝶形定理， AG : GC12:3 6 1:3【例 15】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于 O 点， CEF 、 OEF 、 ODF 、 BOE 的面积依次是 2、4、4 和 6求：求 OCF 的面积；求 GCE 的面积ADOFGBEC【解析】根据题意可知， BCD 的面积为 244616 ，那么 BCO 和 CDO 的面积都是 1628 ，所以 OCF 的面积为844；由于

28、 BCO 的面积为8， BOE 的面积为6，所以 OCE 的面积为8 6 2，根据蝶形定理，EG:FGSCOE:SCOF 2:4 1:2 ， 所 以SGCE :SGCF EG:FG1:2，那么 S GCE11 SCEF1 22 233【例 16】 如图，长方形ABCD 中， BE : EC2:3 ， DF : FC1: 2 ，三角形 DFG 的面积为 2 平方厘米，求长方形ABCD 的面积;.AGDFBEC【解析】 连接 AE ， FE 因为BE : EC 2:3SVDEF(311)S长方形 ABCD1S长方形 ABCD53210AGDFBCE，DF:FC1:2，所以因为 SV AED111，

29、所以 SV AGD 5SVGDF10 平方S长方形 ABCD ， AG : GF:5:122101厘米，所以 SV AFD12 平方厘米因为SV AFDS长方形 ABCD ，所以长方形6ABCD的面积是 72 平方厘米【例 17】 如图，正方形 ABCD 面积为 3 平方厘米， M 是 AD 边上的中点求图中阴影部分的面积BCGAMD【解析】 因为 M 是 AD 边上的中点， 所以 AM : BC1: 2 ，根据梯形蝶形定理可以知道SAMG : SABG : SMCG : SBCG12 （:1 2）（:12）:221: 2: 2 :4 ， 设 S AGM1 份 ， 则SMCD 1 2 3 份，

30、所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份，S阴影 2 2 4 份，所以 S阴影 : S正方形 1: 3 ，所以 S阴影 1平方厘米【巩固】在下图的正方形 ABCD 中，三角形BEF的面积为 1 平方厘米E 是 BC 边的中点， AE 与 BD 相交于 F 点，平方厘米，那么正方形 ABCD面积是;.ADFBEC【解析】连接DE，根据题意可知BE:AD 1:2，根据蝶形定理得S梯形29 ( 平方厘米) ， SECD3( 平方厘米) ，那么（1 2）SWABCD12( 平方厘米 )【例 18】 已知 ABCD 是平行四边形， BC : CE3: 2 ，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米则阴

31、影部分的面积是平方厘米ADADOOBCEBCE【解析】 连接 AC 由于 ABCD 是平行四边形， BC :CE3:2 ，所以 CE: AD2:3，根据梯形蝶形定理， SVCOE : SV AOC : SVDOE : SV AOD22:2 3:23: 324: 6:6:9 ，所以 SVAOC 6(平方厘米)， SVAOD9(平方厘米)，又SV ABC SV ACD69 15 ( 平方厘米 ) ，阴影部分面积为61521 ( 平方厘米) 【巩固】右图中ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米 ) ，阴影部分的面积是平方厘米ADAD992121O44BE

32、CBEC【分析】 连接 AE由于 AD 与 BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么SOCD SOAE根据蝶形定理， S OCDS OAES OCE S OAD4 936236 ，故 S OCD;.所以 S OCD6(平方厘米 )【巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米 ) ，阴影部分的面积是平方厘米ADAD881616OB2C B2CEE【解析】 连接 AE由于 AD 与 BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么SOCD SOAE根据蝶形定理， S OCDS OAES OCES OAD2816216，故 S OCD所以 SOCD

33、 4(平方厘米 )另解：在平行四边形 ABED 中，S ADE1 SY ABED116812(平方厘米 )，22所以 S AOE S ADE S AOD12 84( 平方厘米 ) ，根据蝶形定理，阴影部分的面积为 82 4 4(平方厘米 )【例 19】 如图，长方形ABCD 被 CE 、 DF 分成四块，已知其中3 块的面积分别为 2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形 OFBC 的面积为 _平方厘米AEFBA EFB225O?5O?88DCDC【解析】 连接 DE 、CF 四边形 EDCF 为梯形，所以 S EODSVFOC ，又根据蝶形定理，S EODS FOCS EOF S COD ，所

34、以 S EOD S FOCS EOF S COD2 816，所以S EOD4(平方厘米 )，SECD4 812 ( 平方厘米 ) 那么长方形 ABCD 的面积为 12224平方厘米，四边形OFBC 的面积为24 52 8 9(平方厘米) 【例 20】 如图，ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与 CD 相交于 K 点已知正方形 DEFG 的面积 48， AK : KB 1:3 ，则 BKD 的面积是多少？;.DAGDAGKKBEFCBEMFC【解析】 由于 DEFG 是正方形，所以 DA 与 BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形在梯形 ADBC 中， BDK 和 ACK 的面积是相等的 而 AK : KB1:3 ，所以 ACK的面积是 ABC 面积的 131 ，那么 BDK 的面积也是ABC 面积的 1 144由于 ABC