数学分析14-5ppt课件

1、2019041214.5 14.5 多元函数的极值问题多元函数的极值问题 :补充补充.,.,2 , 1, ,njiaannAjiij 即即对对称称矩矩阵阵是是一一个个设设都都有有如如果果对对 , nRx , 0 Axx.为为正正定定矩矩阵阵则则称称A, 0 Axx.为半正定矩阵为半正定矩阵则称则称A, 0 Axx.为负定矩阵为负定矩阵则称则称A, 0 Axx.为半负定矩阵为半负定矩阵则称则称A. ,称为不定矩阵称为不定矩阵不是上面之一不是上面之一正正定定、负负定定、不不定定矩矩阵阵 0 0所有特征值大于所有特征值大于所有顺序主子式大于所有顺序主子式大于正定正定A: 22 矩阵为例矩阵为例以以

2、22121211aaaaA, 011 aA正正定定, 011 aA半半正正定定 ,对称矩阵对称矩阵是一个是一个设设nnA . 022121211 aaaa. 022121211 aaaa,正正定定负负定定AA .半正定半正定半负定半负定AA , 22121211 aaaaA设设 :定理定理. 0 2122211 aaaA不不定定一、二元函数极值的定义一、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极

3、大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .二、多元函数取得极值的条件二、多元函数取得极值的条件不不妨妨设设),(yxfz 在在点点),(00yx处处有有极极大大值值,证证说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxf

4、x;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推推广广 如如果果三三元元函函数数),(zyxfu 在在点点),(000zyxP具具有有偏偏导导数数，则则它它在在),(000zyxP有有极极值值的的必必要要条条件件为为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.但但不不是是极极值值点点.凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的 稳定点稳定点.稳定点稳定点极值点极值点注意：注意：(偏导存在时偏导存在时),)(0是正定矩阵时是正定矩阵时则当则当PHf; 0取得极小值取得极小值在在 Pf,)(0是是负负定定矩

5、矩阵阵时时当当PHf; 0取得极大值取得极大值在在 Pf,)(0是是不不定定矩矩阵阵时时当当PHf. 0不取极值不取极值在在 Pf问题：如何判定一个稳定点是否为极值点？问题：如何判定一个稳定点是否为极值点？:证证明明知知为为稳稳定定点点以以及及的的泰泰勒勒展展式式在在由由 , , 00PPf),(),(00yxfyxf ),)(),(210yxPHyxf )(22yxo .,00yyyxxx 其其中中知存在一个与知存在一个与正定正定由由 ,)( 0PHf,qyx无关的正数无关的正数 qyxPHyxf2 ),)(),( 0 使使得得)(22yx 就有就有只要只要故对充分小的故对充分小的 ),()

6、,( ),(00PUyxPU ),(),(00yxfyxf )1( oq . 0)(22 yx ; 0取得极小值取得极小值在在所以所以Pf,)(0是是负负定定矩矩阵阵时时当当PHf; 0取得极大值取得极大值在在 Pf同理同理, , 0不不妨妨设设为为极极大大值值取取极极值值在在现现设设Pf., , 000yyyxxxP 的的直直线线沿沿过过任任何何过过则则)(),(),(00tytyxtxfyxf 也也在在0 t,取极大值取极大值条件知条件知一元函数取极值的充分一元函数取极值的充分由由 . 0)0( 而而)( t yfxfyx )( t 222yfyxfxfyyxyxx )0( ),)(),(

7、0yxPHyxf )(0PHf表明表明.半半负负定定的的取取极极小小值值在在设设0 Pf:同理同理)(0PHf.半正定的半正定的即即)(0PHf,必为半正定必为半正定.或为半负定的或为半负定的!矛盾矛盾, 0取取极极值值在在若若Pf,),(00Ayxfxx ,),(00Byxfxy .),(00Cyxfyy :实实用用判判定定条条件件设设, 0),( yxfx0),( yxfy极小值点极小值点偏导数不存在偏导数不存在)0 , 0( ,22yxz 01010 062yfxfyx解解.10)1, 3(, 0)1, 3(, 2)1, 3( yyxyxxfCfBfA, 0, 0202 ABAC8)1,

8、 3( f.,唯唯一一极极值值点点处处处处存存在在偏偏导导.为极小值为极小值求最值的一般方法：求最值的一般方法：比较函数在区域内的所有稳定点、无偏比较函数在区域内的所有稳定点、无偏导点、属于区域的边界点的函数值，最导点、属于区域的边界点的函数值，最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.三、多元函数的最值三、多元函数的最值解解xyo6 yxDD如图如图, , 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx再

9、再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf,在在边边界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比较较后后可可知知4)1 , 2( f为为最最大大值值,64)2 , 4( f为为最最小小值值.xyo6 yxD例例 6 6 求求122 yxyxz的最大值和最小值的最大值和最小值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy解解 由由,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx无条件极值：对自变量除了限制在定义无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其它条件域内外，并无其它条件.多元函数的极值多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？作业习题集作业习题集 习题习题 14-4