韦达定理含答案

1、第二讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等.韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学 问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.【例题求解】【例1】已知、是方程x恰当组合； 根据根

2、的定义降次； 构造对称式.2【例3】 已知关于x的方程：x2 (m 2)x 04(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.若这个方程的两个实根X1、X2满足X2| |X1 2，求m的值及相应的X1、X2 .思路点拨 对于(2)，先判定X1、X2的符号特征，并从分类讨论入手. x 1 0的两个实数根，则代数式2 ( 2 2)的值为.思路点拨所求代数式为的非对称式，通过根的定义、元二次方程的变形转化为【例2】如果a、b都是质数，且a213a m 0 , b2 13bm °，那么夕的值为(思路点拨方程x212322可将两个等式相减，得到B .竽或222C.125123D.

3、或22222b的关系，由于两个等式结构相同，可视13x m 0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件.注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x1、x2的对称式，这类问题可通过变形用X1+ X2、X1 X2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：【例4】设Xi、X2是方程2x2 4mx 2m2 3m 2 0的两个实数根，当m为何值时，x/ x?2有最小值？并求出这个最小值.思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(0)进行的.注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式0这一条件，转化

4、是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性.【例5】 已知：四边形 ABCD 中，AB / CD ,且AB、CD的长是关于x的方程21 27x2 2mx (m )20的两个根.24(1) 当m = 2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形？并说明理由.(2) 若M、N分别是AD、BC的中点，线段 MN分别交AC、BD于点P, Q, PQ= 1 , 且AB<CD，求AB、CD的长.思路点拨对于，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出 m值，还需运用与中点相关知识找寻 CD、AB的另一隐含关系式.注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将

5、几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的 非负性.学历训练A组21. (1)已知X1和X2为一元二次方程 2x 2x 3m 1 0的两个实根，并 X1和X2满足不等式X1X2X1X2-1，则实数m取值范围是4已知关于x的一元二次方程8x2 (m 1)x m70有两个负数根，那么实数m的取值范围是2.已知是方程的两个实数根，则代数式22的值为3. CD是Rt ABC斜边上的高线, 是.AD、BD是方程x2 6x 40的两根，则厶ABC的面积x2是关于x的方程x2px q0的两根，x1 +1 > x2 +1是关于x的方程x2 qx p0的两根，则p

6、、q的值分别等于()A . 1,5.在 Rt ABC 中, 的方程x232-3 B7x c3 C . -1 , -3 D . -1 , 3a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边，a、b是关于x)1,/ C = 90°,7 0的两根，那么 AB边上的中线长是(5B . - C. 5 D. 226.方程x2Px1997 0恰有两个正整数根 xi、X2，则(Xi 1)(X2 1)的值是()11B. -I C.D.-227.若关于X的一元二次方程的两个实数根满足关系式：X1 (X1 1) X2(X2 1) (X1 1)(X2 1),判断(a b)24是否正确？&已知关于x的方程

7、x2 (2k 3)x k2 1 0 .(1)当k是为何值时，此方程有实数根；若此方程的两个实数根、X2满足：x2卜！3，求k的值.9.已知方程x2px q0的两根均为正整数，且p28，那么这个方程两根为10.已知是方程x2 x 1 0的两个根，则 4的值为ABC是的一边长为5,另两边长恰为方程2x212xm 0的两根，则 m的取值范围12两个质数b恰好是整系数方程的两个根,b的值是()194999713 .设方程有一个正根 X1，一个负根X2，则以X1、X2为根的一兀一次方程为()2A . x 3x m 20B . x23x m 20C . x2-1 4mx 20D . x2-1 4mx 20

8、94139413A. 9413B .D.C.竺14.如果方程(x 1)(x2 2x m)0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数取值范围是()A . 0< mW 115.如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC的长为10,且AB、BC(AB>BC)的长是关于x的 方程的两个根.(1)求rn的值；2)若E是AB上的一点，CF丄DE于F,求BE为何值时， CEF的面积是厶CED的面16.设 m是不小于 1的实数，使得关于 x的方程工x 2求4呕的最大值.1 x11 x2 2(m 2)x m2 3m 3 0有两个不 相等的实数根x1、x2 .2 2(1)若X1 X26，求m的值.17

9、.如图，已知在 ABC 中，/ ACB=90°，过 C 作 CD丄AB 于 D,且 AD = m, BD=n , AC2： 1;又关于x的方程1 x24BC2= 2:2(n 1)x m2120两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值.18 .设a、b、c为三个不同的实数，使得方程和 的实数根，并且使方程x2 x a 0和x2 ex 的值.x2 ax 10和x2 bx e 0有一个相同b 0也有一个相同的实数根， 试求a b e参考答案国充満话力的串达定理【例题求解】咧】0原式=卄1-尸?尸优2选BE时商式工氛甘沖砧为方程十一】3十刑=0的两牛横£十片13卫上只傩内Zs

10、i II荷式穴# +11 22"例 3 (1 )4 = 25 1)' +2>0(2)xi 巧=一或小$0及£0 若 4«0比0刻菇 p a +2.；4 4-xt = 2t.m 2=2.得 m4.x= 1 ±51 若 Xi 20如£0則一及=才1 +2. ；才| +比二 一2/2 = 2得 m=0txt =0七=2.例 J 由 A=( lm): 4X2X(2m2+3m-2)>0vM；5 十工严 2加-= + 及)'-2/及=2(*+L48当m-y时Mj+zj取得堆小值且最小值为£例5 (】)当m-2时4事0A

11、B/CD.故四边形AOCD是平行四边形当m>2时"=刑一2>0乂 &B+CD=2/n：17APCD=(炳一言F+ + >0 = ABH(：D而ABCD,故四边形ABCD是梯形.(2) PQDC-AB.：.DC-AI2CCV(DC：-AB),«(DC+AB)I-4DC> AB .2'=(2加尸一4(卅一加+2)解得 m3,从翫 AB=2,CD4.【学力训练】1.(D-y<m<-y (2)m>72. 一33. 6 4. C 5. B 6. C 工|比工 1997|2*2i«997.pA (i：i+_r2)j 1

12、998 7.由条件得(刀 +z?Xr)mT=0 /(a+d)1 =4a6+l从而4a力十=4即（a十6）'W4又 A=9(a十掰一4X3X4舲0 A(aW:>ya6,K 4a6+芋讷:"応3«.応备由 2 皿十1>0知4、孔同号分及>0卫>0及山VOgVO悄况讨论，得kQ.9. 30,210. 5 设 A 二J+3pF+3s由 A + B10 及 A-B=O,得 A5.11. y<m<18 妙两边为山则山161|>/(0心厂一依<5及 4).解得学 W&12. B p4 q=99p.q 为 2.97加二內=19

13、4.13. C(AO14 o14. C设三银为1則I及一 4lVl由 得.解得4<m<l1(X|z2)<l14一4刊>1415. ("加=8i(2)A/i 8BC-6.nifh£猬 DE«3EF乂ZMEsM"得語=黑人1=篦设AE=y則 曲“疗+砒=36 +八厂经:严. 即 y 12，+36 = 0解御，=6.故 BE=2.16. A-4/w4 4>0得加<】结合遞设如：一 1<mV1. #+£ =5 +-ri），-2j|Xz=2m/ 10ntM0«6.解得力=吐矜7.山于一 1<加<1故 m=»- £' 泸刃#亠£一工,云3+匕）J_2/nS-l）（加2 3加+1） “ , c I 八 J 3 ? 5原式一而LU2（亦一3质+12（刪寿）-y.当加=一 1时苦+ 鵲;的最大值为10.17鈴5"器严壬，即朋*2”卅一8兀+16>0，把代人得斤<2 乂 J）+ 才"85】）1七45' 12）由3-工2>V19'得 4并一卅一8/1+4V0 . 把代人