空间角的求法学生版

1、空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异 面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。空间角的计算思想主要是 转化:即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是： 一找、二证、三计算。、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：0： d < 90°（一）平移法【例1】已知四边形 ABCD为直角梯形，AD BC，. ABC =90：， PA _平面AC，且BC = 2，【答案】PA = AD = AB = 1，求异面直线6PC与BD所成角的余弦值的大小

2、。D（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱 ABC-AEG的底面边长为8，侧棱长为6， D为AC中点。求异面直线 AB1【答案】125与BCi所成角的余弦值。CC1、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：0'叮：90°方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P 一 ABC中，APB = 90：，PAB二60；，AB二BC二CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上，求直线PC与平面ABC所成的角正切值。【答案】tan. OCP3913【变式练习1】如图，四棱锥 S - ABCD中，AB/CD，BC _ CD，侧面SAB为等边三角形。【答案】【变式练习2】如

3、图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，AD _ PD，BC = 1，PC = 2.3，AB =BC =2，CD =SD =1，求AB与平面SBC所成的角正弦值。PD二CD = 2，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。【答案】sin PBE3913面角的求法二面角的范围：0 :：卄：180；求二面角的大小， 关键在于找出或作出二面角的平面角。从找平面角的角度出发，有以下几种方法:（一）定义法：在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等），过这一 “点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）【例3】在三棱

4、锥 P - ABC中，.APB =/BPC =/APC =60：，求二面角 A - PB - C的余弦值。1【答案】cos MQN =3【变式练习】如图，点A在锐二面角：- MN - -的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成角.PAM =45：，与面1所成角的大小为30，求二面角： -MN - -的大小。N【答案】：-MN - '为45（二）利用三垂线三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。从半平面:内的任一点

5、A出发向另一个半平面 一：引一条直线 AH，过H作棱丨的垂线HG，垂足为G，连AG，则由三垂线定理可证I _ AG ,故AGH就是二面角：-1 .：的平面角。三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。【例4】如图，在三棱锥P - ABC中，.APB = 90：，PAB二60，AB二BC二CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上，求二面角 B - AP - C的正切值。【答案】tan. CED =2【变式练习】在直三棱柱 ABC - ABQ中，.BAC =90，AB二BB）= 1，直线BC与平面ABC成30角，求

6、二面角 B - RC - A的正弦值。<6【答案】二面角B - BC - A的正弦值为 C3从不直接找出平面角的角度出发，主要有两种方法：面积法（面积射影法），向量法。（三）面积法（面积射影法）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（COSr= ）求出二面角的大小 一S求证:COSVDEC【例5】如图，E为正方体ABCDABCiDi的棱CG的中点，求平面 ABE和底面ABQDi所成锐角的余弦值。2【答案】所求二面角的余弦值为 一3ECiDi丿f H【变式练习】如图， S是正方形ABCD所在平面外一点，且 SD_面ABCD，AB =1

7、，SB=3。求面ASD与面BSC所成二面角的大小。C【答案】45：四、真题演练9L1. （山东）已知三棱柱 ABC-A|BiCi的侧棱与底面垂直，体积为一，底面是边长为 3的正三角形，若P4为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为（）"5A.B. C. D.123462. （大纲）已知正四棱柱 ABCAABiGU中，AA=2AB，则CD与平面BDCi所成角的正弦值等于（）A. 2332厂1B.C.D.-3333.（山东）如图所示，在三棱锥 P-ABQ中，PB_平面ABQ , BA二BP二BQ ,D,C,E,F分别是AQ, BQ，AP,BP的中点，AQ=2BD , PD与EQ交于点G , PC与FQ交于点H，连接GH。（1）证明：AB / GH ；（2）求二面角D -GH -E的余弦值。4.（四川理）如图，在三棱柱ABCABC中，侧棱AA丄底面ABC , AB = AC = 2AA，/ BAC = 120 ,D,Di分别是线段BC,RCi的中点，P是线段AD的中点.（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面ABC平行的直线l，说明理由，并证明直线丨丄平面ADD1A1 ；（2）设（1 ）中的直线丨交AB于点M，交AC于点N，求二面角A AM - N的余弦值.5如图，