第三章专题二

1、专题二高考中的导数应用问题门我检测査缺补iWI考点自测1.函数f(x)= (x 3)ex的单调递增区间是答案(2 ,+8 )解析函数 f(x) = (x 3)ex 的导数为 f' (x) = (x 3)小=1 ex+ (x 3) ex = (x 2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f' (x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式 f (x)=(x 2)ex>0，解得 x>2.1 n2. 已知函数f(x)= asin 2x §sin 3x (a为常数)在x=3处取得极值，则 a的值为.答案1解析/ f' (x)= 2acos 2x

2、 cos 3x,f'3 = 2acos 2 n cos n= 0, a = 1，经验证适合题意.3. 函数f(x)= x3 3x 1,若对于区间3,2上的任意xi, X2,都有|f(xi) f(x2)|wt,则实数t的 最小值是.答案20解析因为f'(x)=3x2 3= 3(x 1)(x+1)，令 f' (x) =0,得x=±1，可知一1,1为函数的极值点.又 f( 3) = 19, f( 1) = 1 , f(1) = 3, f(2) = 1，所以在区间3,2上 f(x)max= 1 , f(x)min =19.由题设知在区间3,2上f(x)max f(x)

3、min < t,从而t> 20,所以t的最小值是20.4. 已知函数f(x)="时"x在1 ,+s )上为减函数，则实数 a的取值范围为 .x答案 e,+s )1 (ln a + ln x)1 竹 .l解析 f' (x) = x 2=_)，因为 f(x)在1 , + 8)上为减函数，故xxf' (x)w 0在1 , + 8)上恒成立，即 ln a> 1 ln x在1 , + 8)上恒成立.设 «x) = 1 ln x,«x)max =1，故 ln a> 1, a> e.5. 已知函数f(x)= mx3+ nx

4、2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3x+ y= 0平行，若f(x)在区间t, t+ 1上单调递减，则实数t的取值范围是 .答案2, 1解析 由题意知，点(一1,2)在函数f(x)的图象上，故m + n = 2.又 f' (x)= 3mx题型一利用导数研究函数的单调性【例1】 设函数f(x)= x(ex 1) ax2.1 若a =乞求f(x)的单调区间；若当x>0时，f(x) >0,求a的取值范围.思维启迪(1)解不等式f' (x)>0和f' (x)<0即可判断； 注意依据参数a进行分类讨论.解(1)a= 2时，f(x) = x(ex 1)

5、1x2,f' (x)= ex 1 + xex x= (ex 1)(x+ 1).当 x (a, 1)时，f' (x)>0 ;当 x ( 1,0)时，f' (x)<0 ;当 x (0,+a)时，f' (x)>0.故f(X)的单调递增区间为(a, 1) , (0 , + a )，单调递减区间为(一1,0).(2)f(x)= x(ex 1 ax)，令 g(x) = ex 1 ax, g' (x) = ex a.若 aw 1，则当 x (0,+ a)时，g ' (x)>0, g(x)为增函数，而 g(0) = 0,从而当 x>

6、 0 时，g(x) > 0,即 f(x) > 0.若 a>1，则当 x (0, In a)时，g ' (x)<0 , g(x)为减函数，而 g(0) = 0,从而当 x (0, In a)时，g(x)<0，即 f(x)<0.综合得a的取值范围为( a, 1.思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数f' (x); + 2nx,贝U f' ( 1) = 3,故 3m 2n= 3.联立解得：m= 1, n = 3, 即卩 f(x) = x若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(

7、或证明)不等式f' (x)>0或 f' (x)<0.+ 3x2,令 f' (x)= 3x2 + 6xw 0，解得2w xw 0,则t, t+ 1? 2,0,故 t> 2 且 t + 1w 0,所以 t 2, 1.高考题型突破 两个单调增区间或两个单调减区间之间用逗号隔开，不能用U连结 若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f' (x)> 0或f' (x)w 0在单调区间上恒成立问题求 解跟踪训练1已知函数 f(x)= x3 + ax2 x+ c,且 a= f'|.(1) 求a的值;求函数f(x)的单调区间；设函数g(x)=

8、 (f(x) x3) ex,若函数g(x)在x 3, 2上单调递增，求实数 c的取值范围 解由 f(x) = x3+ ax2 x+ c,得 f' (x)= 3x2 + 2ax 1.当x= 3时，得a= f'32ax- 13解之，得a = 1.32(2) 由(1)可知 f(x) = x x x+ c.则 f' (x)= 3x2 2x 1 = 3 x +1 (x 1)，列表如下:x1(m， 3)1 3(3,1)1(1, + m)f' (x)+0一0+f(x)/极大值极小值/所以f(x)的单调递增区间是( , §)和(1, + m);f(x)的单调递减区间是

9、-3,3 x2x(3) 函数 g(x)= (f(x) x) e = ( x x+ c) e ,有 g' (x) = ( 2x 1)ex+ ( x2 x+ c)ex=(x 3x + c 1)ex,因为函数g(x)在x 3,2上单调递增，所以 h(x) = x2 3x+ c 1> 0 在 x 3,2上恒成立.只要h(2) >0,解得 O 11,所以c的取值范围是11 , +).题型二利用导数研究与不等式有关的问题【例 2】已知 f(x) = xln x, g(x) = x2 + ax 3.(1) 求函数f(x)在t, t + 2(t>0)上的最小值；对一切x (0,+s

10、), 2f(x)>g(x)恒成立，求实数 a的取值范围;1 2 、证明：对一切 x (0,+ )，都有In x>7成立.e ex思维启迪 (1)求f' (x)，讨论参数t求最小值;分离a,利用求最值得a的范围；(3)寻求所证不等式和题中函数f(x)的联系，充分利用(1)中所求最值.解 由 f(x) = xln x, x>0，得 f' (x)= In x+ 1,令 f' (x)= 0,得 x=-.e1当 x (0, e)时，f' (x)<0 , f(x)单调递减；1当 x (,+)时,f' (x)>0, f(x)单调递增.e1

11、 1当 0<t<1<t+2,即 g%时,1当Y t<t + 2,即ef(x) min =1t> 时，f(x)在t, t + 2上 单调递增，f(x)min= f(t)= tln t. e0<以et>-3(2) 2xln x> - x2 + ax 3,贝V a< 2in x+ x+;,设 h(x)= 2in x+ x+ 3(x>0)，贝U h ' (x)=_ 当x (0,1)时，h' (x)<0, h(x)单调递减， 当 x (1 , +)时，h' (x)>0 , h(x)单调递增，所以 h(x)mi

12、n = h(1) = 4，对一切 x (0,+8), 2f(x)>g(x)恒成立，所以 aw h(x)min = 4.x 2(3) 问题等价于证明 xln x>r (x (0, + g).e e1 由(1)可知 f(x) = xln x(x (0, + g)的最小值是一一， em(x)max = m(1)若不能分离当且仅当x =丄时取到，设m(x)= xx -(x (0，+g)，则m' (x)= 丁，易知 ee ee=-=e,当且仅当x=1时取到.1 2 从而对一切x (0,+g)，都有ln x>r 成立.e ex思维升华(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值

13、的问题进行求解，参数，可以将参数看成常数直接求解(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题.击晾-川轨(2012浙江)已知a R，函数f(x)= 4x3 2ax+ a.(1) 求f(x)的单调区间;证明：当 0< xw 1 时，f(x) + |2- a|>0.2(1)解由题意得 f' (x)= 12x 2a.当aw 0时，f' (x)> 0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(8,+).证明由于0w xw 1,故当aw 2时，33f(x) + |2 a| = 4x 2ax+ 2 > 4x 4x+ 2.当a>2时，f(x) + |2 a| = 4x

14、3 + 2a(1 x) 2> 4x3+ 4(1 x) 2 =4x3 4x+ 2.设 g(x)= 2x3 2x+ 1,0 w xw 1,所以,则 g' (x) = 6x2 2 = 6 x 宁 x +"33 ,x0<0，谢3惶1)1g' (x)0+g(x)1减极小值增1于是g' (x), g(x)随x的变化情况如下表:g(x) min = g 曾戶 1 呼>0.所以，当 0w xw 1,2x3 2x+ 1>0.故 f(x) + |2 a|>4x3 4x+ 2>0.题型三利用导数研究方程解或图象交点问题【例 3】已知 f(x) =

15、 ax (a R), g(x)= 2ln x.(1)讨论函数F(x)= f(x) g(x)的单调性；若方程f(x) = g(x)在区间p.2, e上有两个不等解，求a的取值范围思维启迪(1)通过讨论a确定F(x)的符号；2ln x2ln x将方程f(x) = g(x)变形为a= 呼，研究x) = 呼图象的大致形状xx解(1)F(x) = ax2 2lnx,其定义域为(0, +), F' (x)= 2ax I =空 (x>°).当a>0时,由 ax2 1>0，得 x>辈.Ja由 ax21<0,故当a>0时，1得0<x<寸aF(x)

16、在区间t£，+ g上单调递增,在区间"，命j上单调递减 当aw 0时，F' (x)<0 (x>0)恒成立故当aw 0时，F(x)在(0 ,+)上单调递减.2in x(2) 原式等价于方程a= x2 = 0(x)在区间.2, e上有两个不等解.a (x)=2x(1?ln x 在(寸2, <e)上为增函数, x1在(,e, e)上为减函数，则O(x)max= a . e)=-,e而 ae)=§<a2)=晋=罟=a,2).二 *馬=ae),如图当f(x) = g(x)在,2, e上有两个不等解时有4>(x)min =In 222故a

17、的取值范围为w a<-.2 e思维升华对于可转化为a = f(x)解的个数确定参数a的范围问题，都可以通过 f(x)的单调性、极值确定f(x)的大致形状，进而求 a的范围.(2012江苏)若函数y= f(x)在x = x0处取得极大值或极小值，则称X。为函数y=f(x)的极值点.已知a, b是实数，1和1是函数f(x) = x3 + ax2 + bx的两个极值点.(1)求a和b的值；设函数g(x)的导函数g ' (x)= f(x) + 2,求g(x)的极值点；设h(x) = f(f(x) c,其中c 2,2,求函数y= h(x)的零点个数.解(1)由题设知 f' (x)=

18、 3x2 + 2ax+ b,且 f' ( 1) = 3 2a+ b= 0, f' (1) = 3 + 2a+ b = 0,解得 a= 0, b= 3.3(2) 由 (1)知 f(x)= x3 3x.因为 f(x)2= (x 1)2(x 2)，所以 g' (x) = 0 的根为 xi= X2= 1, X3= 2,于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当 x< 2 时，g' (x)<0;当一2<x<1 时，g (x)>0，故一2是g(x)的极值点.当一2<x<1 或 x>1 时，g' (x)>0 ,故1

19、不是g(x)的极值点.所以g(x)的极值点为一2.(3) 令 f(x) = t,贝U h(x) = f(t) c.先讨论关于x的方程f(x)= d根的情况，d 2,2.当 |d|= 2 时,由 (2)可知,f(x) = 2的两个不同的根为1和一2,注意到f(x)是奇函数，所以 f(x)= 2 的两个不同的根为 1 和 2.当 |d|<2 时,因为 f( 1) d= f(2) d= 2 d>0,f(1)d=f(2)d= 2d<0,所以一2, 1,1,2都不是f(x)= d的根.由(1)知 f' (x) = 3(x+ 1)(x 1). 当 x (2, + a)时，f

20、9; (x)>0,于是f(x)是单调增函数，从而f(x)>f(2) = 2,此时f(x)= d无实根.同理, f(x)= d 在( a, 2)上无实根 . 当x (1,2)时，f' (x)>0，于是f(x)是单调增函数.又f(1) d<0, f(2) d>0, y= f(x) d的图象不间断，所以f(x) = d在(1,2)内有唯一实根.同理, f(x)=d 在(2, 1)内有唯一实根 . 当x ( 1,1)时，f' (x)<0，故f(x)是单调减函数.又f( 1) d>0, f(1) d<0, y= f(x) d的图象不间断，

21、所以f(x) = d在(1,1)内有唯一实根. 由上可知：当|d|= 2时，f(x) = d有两个不同的根x1, x2满足凶|= 1, |畑=2;当|d|<2时，f(x) =d有三个不同的根 X3, %, X5满足|Xi|<2, i= 3,4,5.现考虑函数y= h(x)的零点.(i)当 |c|= 2 时，f(t)= c 有两个根 t1, t2满足 |t11= 1, |t2|= 2,而f(x)= t1有三个不同的根，f(x)=t2有两个不同的根，故y= h(x)有5个零点.(ii)当 |c|<2 时，f(t) = c 有三个不同的根 t3, t4, t5 满足 |ti|<

22、;2, i = 3,4,5，而 f(x) = ti(i = 3,4,5)有 三个不同的根，故y= h(x)有9个零点.综上可知，当|c|= 2时，函数y= h(x)有5个零点；当|c|<2时，函数y= h(x)有9个零点.练出高分2. 如图，已知曲线 Ci： y= x132(2)由(1)知 g(x)= x + 2x,所以 g ' (x)= x + 2.令 g' (x) = 0,解得 X1= 2, X2= 2,则当 x< ,2或 x> 2时，g' (x)<0 ,从而g(x)在区间(一a, 2 ), ( 2,+a)上是减函数；当一2<x<

23、 .2时，g ' (x)>0 ,从而g(x)在区间(一2, .2)上是增函数.由上述讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x= 1,2, 2时取得，而 g(1) = 3, g( 2)=晋，g(2) = 3,因此g(x)在区间1,2上的最大值为g( 2)= 警，3(x>0)与曲线C2： y=- 2x3+ 3x (x>0)交于点0、A，直线x=t (0<t<1)与曲线Ci、C2分别相交于点B、D.(2)讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值.(1)写出四边形 ABOD的面积S与t的函数关系S= f(t);y= x解由f3°,|y=-

24、 2x + 3x得交点0、A的坐标分别为(0,0), (1,1).1 1f(t) = abd+ Saobd = qBD |1 0|= qBD1 3=2( 3t3 + 3t),即 f(t) = |(t3 t) (0<t<1).(2)f' (t)= "?+ |.令 f' (t) = 0,解得 t=f.当 0<t<(t)>0，从而f(t)在区间当 ¥<t<1 时，f'所以当t=时，贮)有最大值为=n3. 已知 a, b 是实数，函数 f(x)= x3 + ax, g(x)= x2 + bx, f' (x)和

25、 g' (x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数若f' (x)g' (x) > 0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致.(1)设a>0，若f(x)和g(x)在区间1 ,+ )上单调性一致，求b的取值范围；设a<0且b，若f(x)和g(x)在以a, b为端点的开区间上单调性一致，求|a b|的最大值.解 f' (x)= 3x2 + a, g' (x) = 2x+ b.(1)由题意知f' (x)g ' (x)> 0在1,+ a)上恒成立.因为a>0 ,故3x2 + a>0,进而2x

26、+ b> 0,即b> 2x在区间1,)上恒成立，所以b> 2.因此b的取值范围是2,+ a).令 f' (x) = 0,解得 x= 土" 3.若 b>0,由 a<0 得 0 (a, b).又因为f' (0)g' (0) = ab<0，所以函数f(x)和g(x)在(a, b)上的单调性是不一致的，因此b< 0.由此得，当 x (a, 0)时，g' (x)<0 ,当x(x)>0 ,OO故由题设得a>-，a因此，当x ,f' (x)g' (x)<0,a-,从而a<0,于是

27、b< 0.因此|a b|w；,3 331且当a= 3, b = 0时等号成立.1又当 a=- 3, b = 0 时，f' (x)g '3(x) =从而当x(x)>0,故函数f(x)和g(x)在3, 0上单调性一致.因此|a b|的最大值为1.32a 14.已知 f(x) = x + 3x+ 1, g(x)=+ x.x- 1(1) a= 2时，求y= f(x)和y= g(x)的公共点个数；(2) a为何值时，y= f(x)和 y= g(x)的公共点个数恰为两个.解由'得 x2+ 3x+ 1 = + x,y= g(x)x-1整理得 x3 + x2 x 2= O(

28、xm 1).令 y= x3 + x2 x-2,求导得 y' = 3x2 + 2x- 1,1令 y = 0，得 x1 =1, x2= 3,1故得极值点分别在1和3处取得，且极大值、极小值都是负值3故公共点只有一个.(2)由'彳乂， 得 x2+ 3x+ 1 =+ x,y=g(x,x-1整理得 a= x3 + x2 x(xm 1)，令 h(x) = x3 + x2 x,联立J= a,32y= h x = x + x - xxm 11如图，求导h(x)可以得到极值点分别在一1和1处，画出草图,3h( 1) = 1, h(=27,当a= h( 1)= 1时，y= a与y = h(x)仅有

29、一个公共点(因为(1,1)点不在y = h(x)曲线上),5故a=时恰有两个公共点.5.定义在R上的函数f(x)= ax3 + bx2 + cx+ 3同时满足以下条件:f(x)在(0,1)上是减函数，在(1 ,+ )上是增函数;f' (x)是偶函数; f(x)的图象在x= 0处的切线与直线y= x+ 2垂直.(1)求函数y= f(x)的解析式;设g(x) = 4ln x m,若存在x 1, e,使g(x)<f' (x),求实数m的取值范围解(1)f (x) = 3ax2 + 2bx + c. f(x)在(0,1)上是减函数，在(1 ,+s)上是增函数,(*) f'

30、 (1) = 3a+ 2b + c= 0,由f' (x)是偶函数得b = 0,又f(x)的图象在x= 0处的切线与直线 y= x+ 2垂直， f' (0) = c= 1,将代入(*)得 a= , f(x) = 3x3 x+ 3.一 2由已知得，若存在 x 1, e,使4ln x m<x 1, 即存在 x 1, e,使 m>(4ln x x2 + 1)min.设 M(x) = 4ln x x2 + 1, x 1, e,4 4 2x2r-则 M (x) =兰一2x=，令 M (x) = 0, / x 1 , e , x=2.xx当.2<XW e 时，M '

31、 (x)<0 , M(x)在 ( , 2, e)上为减函数; 当 1< xw ,2时，M (x)>0, M(x)在1 ,2上为增函数, M(x)在1, e上有最大值且在 x= 2处取到.又 M(1)= 0, M(e)= 5 e2<0 , M(x)的最小值为 5 e2. m>5 e2.6. 已知函数f(x)= (ax因为 h' (x) = ex + -2>0 对于 x (a, 0)和(0, + g)恒成立， + x)ex,其中e是自然对数的底数，a R.当a<0时，解不等式f(x)>0 ;(2) 若f(x)在-1,1上是单调函数，求 a的取值范围；(3) 当a = 0时，求整数k的所有值，使方程 f(x)= x+ 2在k, k + 1上有解.解 因为ex>0 ,所以不等式f(x)>0即为ax2 + x>0.又a<0,所以1>0.a1不等式可化为x(x+丄)vo ,a1所以不等式f(x)>0的解集为(0,-).a(2) f(x)= (2ax+ 1)ex+ (ax2 + x)ex= ax2 + (2a+ 1)x