对线性方程组的认识

1、对线性代数中线性方程组的认识 一、 线性方程组的定义 线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组，通常由两个或两个以上的且未知量均为一次的方程所组成。我们所知的线性方程组分为两种，一种是非齐次线性方程组，另一种是齐次线性方程组。在线性方程组中，当常数列不全为零时，我们称它为非齐次线性方程组，当常数列全为零时，我们称它为齐次线性方程组。 二、 线性方程组的定理 1.1 定理一：线性方程组经过初等变换后，所得到的新的方程组与原方程组同解。 比方说，例 1:假设一个线性方程组：x1+2x2=7d 3x1-4x2=-9 3-，得 10 x2=30,得出 x2=3再将 x2=3 代入。中，可得出 x

2、1=1,所以得出该线性方程组的解为 x1=1,x2=3 将该线性方程组进行初等变换，令。1*2,其他保持不变，得 2x1+4x2=14 3x1-4x2=-9(4) +， 得 5x1=5,得 x1=1,将 x1=1 代入 3 中,可得出 x2=3,则经初等变换后的线性方程组与原线性方程组同解。 1.2 定理二：对 n元非齐次线性方程组，在经消元法化为阶梯型方程组后，有：当 dr=0时，原方程组无解；当 dr=0 且 r=n时，原方程组有唯一解；当 dr=0 且 rn时，原方程组有无穷多解。(dr 指的是线性方程组中最后一个有效方程的等式的右边的常数项，r指有效方程的个数，n指方程所求未知量的个数

3、) (1)当 dr=0 时，原方程组无解，举个例子，例二：解线性方程组 x1+2x2+=3d 4x1+7x2+x3=10(2) x2-x3=3(3) 2x1+3x2+x3=4 令 4-2,20)4,一得 x1+2x2=3 -x2-x3=2 x2-x3=2 令-，6-，得 x1+2x2=3 x2-x3=215 0=0O 0=-1 o与 12 互换，则得 x1+x2=313 x2-x3=2 0=-115 0=016 止匕时 dr=-1,dr=0,因为 0=-1,矛盾，所以无解，即当 dr=0 时,该线性方程组无解。 (2)当 dr=0 且 r=n时，原方程组有唯一解，这句照样举例来说明，例三：解线

4、性方程组 x1+2x2+=3 4x1+7x2+x3=10 1 x2-x3=2(3) -2x1+3x2+2x3=4(4) 令 4-2,20)4,得 x1+2x2=3 x2-x3=2 x2-x3=20 x2-2x3=2 (-)与互换，-得 x1+2x2=39） x2-x3=210 -x3=0,0 0=0 由 可得，x3=0,止匕时 dr=0 且 r=n,将 x3=0 其代入 10 中，可得 x2 =2,将 x2=2 代入中，得 x1=-1 所以解得该线性方程组的解集为 x1=-1,x2=2,x3=0,x1、x2、x3 这三个未知量均有唯一确定的值， 则线性方程组有唯一解， 即当 dr=0 且 r=

5、n时，原方程组有唯一解。 （3）当 dr=0 且 rn时，原方程组有无穷多解，同样举例说明该句子含义，例四：解一个方程组 x1+2x2+=3D 4x1+7x2+x3=10 x2-x3=2（3） 2x1+3x2+x3=4 4-2,2-4,得 x1+2x2=3 x2-x3=2 x2-x3=20 x2-x3=2 卷 令-,-，得 x1+2x2=3 x2-x3=210 1 0=0 ,0=0 整理可得该线性方程组的解集为 x1=-1-2x3 x2=2+x3（x3 为自由未知量） 该线性方程组有无穷多个解。此时，rn,且 dr=0,在满足这种条件下，线性方程组的解有无穷多个。 1.3 定理三：对 n元齐次

6、线性方程组，在经过消元法化为阶梯型方程有：当 r=n时，原方程组只有零解；当 rn时，原方程组有无穷多个解，即有非零解。(r 是指有 r 个方程或者是构成该线性方程组的个数，n是指求的未知量的个数) (1)当 r=n时，原方程组只有零解。即当构成该线性方程组的方程数与所求的未知量个数相等时，该线性方程组只有零解，举例，例五： -2x1+3x2-x3+5x4=0 3x1-2x2+2x3-7x4=0(2) 4x1+x2-3x3+6x4=0 x1-2x2+4x3-7x4=0(4) (此时该线性方程组 r=4,n=4,满足 r=n,) 交换，(-2)+3,(-3)+(2),(-4)+(3),得 x1-

7、2x2+4x3-7x4=0 2x2-5x3+7x4=0(6) 9x2-19x3+34x4=0 _7x2-9x3+19x4=0 (-4)+，得 X1-2x2+4x3-7x4=0(9) X2+x3+6x4=010 9x2-19x3+34x4=00 7x2-9x3+19x4=0 (-9 四)+0,(-710)+，得, X1-2x2+4x3-7x4=0 段 X2+x3+6x4=00 T(-160)+16,得， X1-2x2+4x3-7x4=0JJ X2+x3+6x4=0 -x3-2x4=0 堂 55x4=020 由 20 可得 x4=0,将其代入到 16 可得 x3=0,同理代入别的式子中可 得出 x

8、2=0,x1=0,综上， 该线性方程组的解为 x1=x2=x3=x4=0,为零解， 因此， 当 r=n时，原方程组只有零解。 (2)当 rn 时，原方程组有无穷多个解，即有非零解，意思是当构成该线性方程组的方程数量 r 小于所求未知量数量时，该方程组的解有无穷多个，举个例子，例六： 解线性方程组-2x1-5x2-x3+4x4=0 _3x1-5x2-9x3+11x4=0 3x1-7x2-3x3+7x4=0(3) _ (-1)+0,(-1)+，得 x1-8x3+7x4=0 -x2+3x3-2x4=0 3x1-7x2-3x3+7x4=0 (-3)/-7,-,得 -x1-8x3+7x4=0 -x2-3

9、x3+2x4=0 x2-3x3+2x4=0(9) 一,得x2-3x3+2x4=0 0=0 得该线性方程组的解为 x1=8x3-7x4 x2=3x3-2 小（x3 和 x4 为自由未知量），有 无穷多个解。该线性方程组 r=3,n=4,满足 rn条件，因此当 rn时，原方程组有无穷多个解。 线性方程组的解法 我们所学的线性方程组的解法主要有矩阵消元法，矩阵消元法是将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。 我

10、们在用矩阵消元法去对线性方程组求解时需要注意的是：遵循有 1 选 1, 无 1 造 1 的原则；消元有顺序，假设线性方程组求解的未知量有 x1,x2,x3xn,一般从 x1 的常数项依次消元至 xn 的常数项，直至出现仅包含一个未知量的方程或者已经是最简方程。 “有 1 选 1”的意思是，当所求解的线性方程组 x1 的常数项有出现 1 的情况，且所在的该方程所包含的未知量种类也较全时，将这一方程提至首行变为参 照行，如果本身是首行的方程满足 x1 常数项为 1以及有较全的未知量的条件时，位置不变，但变为参照行去与别的方程进行接下来的消元求解。 “无 1 造 1”则是指所求的线性方程组中没有哪一个方程的 x1 的常数项为 1,在这种情况下，未知量的常数项大于 1 计算起来比较麻烦很有可能会出错，所以在x1 的常数项没有 1 的情况下造一个出来计算出来比较方便，例如上文出现的例六，它的每一个方程 x1 的常数项都不为 1,因此为了方便计算就人为地造了个 1 出来， 这样在接下来的消元计算中比较方便。在对线性方程组的求解中，有 1 选 1,无 1 造 1 的原则的运用十分重要，运用好这个原则更方便我们接下来