2017年考研数学二试题及答案

1、WORD格式超级狩猎者2021年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：18小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1cosf (x)axx,x01假设函数在x0处连续，那么b,x0(A)1ab(B)21ab(C)ab0(D)ab22【答案】A【解析】1x1cosx21limlim,f (x)axax2ax0x0在x0处连续11bab.2a2选A.2设二阶可导函数f(x)满足f (1)f(1)1,f (0)1且f ''(x)0，那么11(A)f (x)dx0Bf (x)dx0110101(C

2、)f (x)dxf (x)dxDf(x)dxf(x)dx1010【答案】B【解析】f(x)为偶函数时满足题设条件，此时01f (x)dxf(x)dx，排除C,D.10取2f (x)2x1满足条件，那么2112f(x)dx2x1dx0，选B.1133设数列x收敛，那么n(A)当limsinxn0时，limxn0(B)当lim( xnxn)0时，limxn0nnnn(C)当2lim(xnxn)0时，limxn0(D)当lim(xnsinxn)0时，limxn0nnnn【答案】D【解析】特值法：A取x，有limsinxn0,limxn，A错；nnn取x1，排除B,C.所以选D.n4微分方程的特解可设

3、为1专业资料整理WORD格式超级狩猎者A2x2x(cos2sin2)AeeBxCxB2x2x(cos2sin2)AxeeBxCxC2x2x(cos2sin2)AexeBxCxD2x2x(cos2sin2)AxeeBxCx【答案】A【解析】特征方程为：248022i1,22x2x2x*2x*2xf(x)e(1cos2x)eecos2xyAe,yxe(Bcos2xCsin2x),12故特解为：*2x2xyy1y2Aexe(Bcos2xCsin2x),选C.5设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)，都有f(x,y)f(x,y)0,0xy，那么Af(0,0)f(1,1)Bf(0,0)f(1

4、,1)Cf(0,1)f(1,0)Df(0,1)f(1,0)【答案】C【解析】f(x,y)f(x,y)0,0,f(x,y)xy是关于x的单调递增函数，是关于y的单调递减函数，所以有f(0,1)f(1,1)f(1,0)，故答案选D.6甲乙两人赛跑，计时开场时，甲在乙前方10单位：m处，图中实线表示甲的速度曲线vv1(t)单位：m/s，虚线表示乙的速度曲线vv2(t)，三块阴影局部面积的数值依次为10,20,3，计时开场后乙追上甲的时刻记为t单位：s，那么0v(m/s)1020051015202530t(s)AtB01015t20C0tD025t025【答案】B22专业资料整理WORD格式超级狩猎者

5、【解析】从0到t这段时间内甲乙的位移分别为0tt00v(t)dt,v(t)dt,那么乙要追上甲，那么1200t00v(t)v(t)dt10，当t025时满足，应选C.2107设A为三阶矩阵，P(,)为可逆矩阵，使得1231PAP1，那么A(1,2,3)2A12B223C23D122【答案】B【解析】0001PAP1APP1A(,)(,)12,12312323222因此B正确。2002101008设矩阵A021,B020,C020,那么001001002AA与C相似,B与C相似BA与C相似,B与C不相似CA与C不相似,B与C相似DA与C不相似,B与C不相似【答案】B【解析】由EA0可知A的特征值

6、为2,2,1,100因为3r(2EA)1，A可相似对角化，即A020002由EB0可知B特征值为2,2,1.因为3r(2EB)2，B不可相似对角化，显然C可相似对角化，AC ，但B不相似于C.二、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.3专业资料整理WORD格式超级狩猎者(9)曲线yx1arcsin2x的斜渐近线方程为_【答案】yx2【解析】y22limlim(1arcsin)1,limyxlimxarcsin2,xxxxxxxyx2(10)设函数yy(x) 由参数方程txteysint确定，那么2dy2dxt0_【答案】【解析】18dydxdycosttcost

7、,1etdtdtdx1e'cost2ttt2dy1esint(1e)costedy1222dxdxdxe1dtt08ln(1x)(11)20(1)xdx_【答案】1【解析】ln(1x)1dxln(1x)d 2(1x)1x 00ln(1x)1021x(1x)0dx01(1x)dx21.yy(12)设函数f( x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)yedxx(1ye) dy，f (0,0)0 ，那么f ( x,y)_【答案】yxyeyyyy【解析】fye,fx(1y)e,f(x,y)yedxxyec(y),故xy44专业资料整理WORD格式超级狩猎者yyyyfxexyec(y)xex

8、ye，yy 因此c(y)0，即c(y)C，再由f(0,0)0，可得f (x, y)xye .【答案】【解析】1311tanxdydx0yx_【答案】lncos1.【解析】交换积分次序：tanxtanx111x1dydxdxdytanxdxlncos10y000xx.412114设矩阵A12a的一个特征向量为1，那么a_3112【答案】-11【解析】设，由题设知A，故 1241211112a1132a3112222故a1.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.xtxte dt15此题总分值10分求极限0lim3 x0x【答案】2

9、3【解析】limx0xtxte03xdt，令xtu，那么有x0xtxuxuxtedtueduuedu0x05专业资料整理WORD格式超级狩猎者原式xxxuxuuedueuedu00=limlim33x0x022xxxuxueduxe0limlim31x0x0322xx223x16此题总分值10分设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，(,cos)yfex，求dydxx0，2dy2dxx0【答案】2dydy'''f(1,1),f(1,1),1211dxdxx0x0【解析】x0xyf(e,cosx)y(0)f(1,1)dydxx0'x'''&#

10、39;fefsinxf(1,1)1f(1,1)0f(1,1)12121x02dy2dx''2x''x''x''2'x'fefe(sinx)fe(sinx)fsinxfefcosx11122122122dy2dxx0''''f(1,1)f(1,1)f(1,1)1112结论：dydxx0'f1(1,1)2dy2dxx0''''f(1,1)f(1,1)f(1,1)111217此题总分值10分求nkklimln12nnnk1【答案】【解析】14n2kk

11、11x111112211limln(1)xln(1x)dxln(1x)dx(ln(1x)xdx)02000nnn221x4k118此题总分值10分函数y(x)由方程333320xyxy确定，求y(x)的极值66专业资料整理WORD格式超级狩猎者【答案】极大值为y(1)1，极小值为y(1)0【解析】两边求导得：223x3yy'33y'01令y'0得x1对1式两边关于x求导得226x6yy'3yy''3y''02将x1代入原题给的等式中，得x1x1or，y1y0将x1,y1代入2得y''(1)10将x1,y0代入2得y

12、''(1)20故x1为极大值点，y(1)1；x1为极小值点，y(1)019此题总分值10分设函数f(x)在区间0,1上具有2阶导数，且ff(x)(1)0,lim0x0x，证明：()方程f(x)0在区间(0,1)内至少存在一个实根；()方程''2f(x)f(x)(f(x)0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【答案】【解析】If(x)二阶导数，ff(x)(1)0,lim0xx0解：1由于f(x)lim0x0x，根据极限的保号性得0,x(0,)有f(x)x0，即f(x)0x0(0,)有f0 进而又由于f(x)二阶可导，所以f(x)在0,1上必连续那么f(x)在,

13、1上连续，由f()0,f(1)0根据零点定理得：至少存在一点(,1)，使f()0，即得证II由1可知f(0)0，(0,1),使f()0，令F(x)f(x)f'(x)，那么f(0)f()07专业资料整理WORD格式超级狩猎者由罗尔定理(0,),使f'()0，那么F(0)F()F()0，对F(x)在(0,),(,)分别使用罗尔定理：1(0,),2(,) 且1,2(0,1),12，使得F '(1)F '(2)0，即2F'(x)f(x)f''(x)f'(x)0在(0,1)至少有两个不同实根。得证。20此题总分值11分平面区域22Dx,y|

14、xy2y,计算二重积分2x1dxdy。D5【答案】4【解析】22sin22222x1dxdyx1dxdy2xdxdydxdy2drcosd00DDDD5421此题总分值11分设y(x)是区间0,32内的可导函数，且y(1)0，点P是曲线L:yy(x)上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点0,Yp，法线与x轴相交于点Xp,0，假设XpYp，求L上点的坐标x,y满足的方程。【答案】【解析】设px,y(x)的切线为Yy(x)y (x)Xx，令X0得Yy(x)y (x)x，法线p1Yy(x)Xxy(x),令Y0得Xpxy( x)y(x)。由XpYp得yxy(x)xyy(x)，即yy1y(x)1xx

15、。令yxu，那么yux，按照齐次微分方程的解法不难解出1x2ln(u1)arctanuln|x|C,22此题总分值11分设3阶矩阵A1,2,3有3个不同的特征值，且3122。()证明：r(A)2() 假设123，求方程组Ax的通解。88专业资料整理WORD格式超级狩猎者11【答案】I略；II通解为k21,kR11【解析】I证明：由3122可得12230，即1,2,3线性相关，因此，A1230，即A的特征值必有0。又因为A有三个不同的特征值，那么三个特征值中只有1个0，另外两个非0.1且由于A必可相似对角化，那么可设其对角矩阵为2,1200r(A)r()2II由1r(A)2，知3r(A)1，即A

16、x0的根底解系只有1个解向量，111由12230可得123A，那么Ax0的根底解系为,2202，111111又,11A，那么Ax的一个特解为123，即1231，11111综上，Ax的通解为k21,kR1123此题总分值11分设二次型222f(x,x,x)2xxax2xx8xx2x x在正交变换123123121323XQY下的标准型221y12y2，求a的值及一个正交矩阵Q .111326【答案】1222a2;Q0,fxQy3y6y1236111326【解析】9专业资料整理WORD格式超级狩猎者214Tf (x,x ,x)XAX，其中123A11141a由于Tf (x ,x ,x)XAX 经正交变换后，得到的标准形为123221y12y2，214故r(A)2|A|01110a2，41a214将a2代入，满足r(A)2，因此a2符合题意，此时A111，那么412214|EA|11103,0,6，1234121由(3EA)x0，可得A的属于特征值-3的特征向量为1； 111由(6EA)x0，可得A的属于特征值6的特征向量为0 211由(0EA)x0，可得A的属于特征值0的特征向量