永磁同步直线电机推力及垂直力的有限元计算

1、ISSN 1000 20054清华大学学报 （自然科学版）2000年第40卷第5期6 34CN 1122223 N J T singhuaU niv （Sci &Tech）, 2000, Vol 40, No. 520 - 23永磁同步直线电机推力及垂直力的有限元计算3李庆雷，王先逵，吴丹，刘成颖，石忠东（清华大学精密仪器与机械学系，北京100084）1 2(Bne)B -2匚12(Bne)B -2 匚B ne d2文 摘：为精确计算永磁直线同步电机的推力和垂直力，同时减小计算量和积分路径对计算结果的影响，对M axw ell张量法进行了改进和优化，以提高计算精度；指岀沿积分方 向通过

2、单元中心线的积分路径为最佳，计算精度最高。用Fortran 77编写了计算永磁同步直线电机推力和垂直力的 后置处理模块，并利用该模块分析了永磁同步直线电机的静 态推力和垂直力特性。对此方法的可扩展性进行了讨论，指 岀此方法同样适合于其他类型直线电机的推力和垂直力计 算算0关键词：永磁同步直线电机；推力；垂直力；有限元中图分类号：TM 359 4文献标识码：A文 章编号：1000 20054 （2000） 0520020 204永磁同步直线电机具有大行程、高精度、高速度等突出优点，是构成直接驱动直线伺服系统的首选 电机类型。永磁同步直线电机一般采用钕铁硼等高 性能永磁材料作为磁源，采用硅钢片等软

3、磁材料聚 合磁路，因此其磁路复杂，非线性强。传统的磁路法、 图解法等分析方法无法精确计算其电磁场 ，更无法 精确计算其推力及垂直力特性。为了精确计算永磁同步直线电机的电磁特性参数 、输出力，优化电机结 构尺寸，缩短开发周期，降低设计制造成本，应当发 展以电磁场有限元计算为基础的永磁直线同步电机 设计方法。目前已有不少成熟的有限元电磁计算商业软件,这些软件都能计算出求解域中的电磁场分布。但是,绝大部分有限元电磁计算商业软件都未给出电 机推力计算模块，所以需要用户来编制具有这部分 功能的后置处理程序。1电机推力有限元计算方法简介目前比较常用的计算电机推力的方法有能量法 和M axwell张量法13

4、。采用能量法时通常要先选 定一个很小的位移，然后计算出这两个位移之间储 能或伴随储能之差，此差值和位移量的比值即电机 推力。采用储能的概念来计算电机推力需要两个有 限元解，且参与求解的是所有的网格单元，因此运算量较大。特别是当网格比较复杂（如单元和节点的数 量级达到104时）时,所需的求解时间将会非常长。采用M axwell张量法计算电机推力则要简单一些。以二维为例，设气隙中围绕电机运动部分的路径为2则电机推力为Fm=亡 j离散化之后上式为NFm = 61 叶虽然Maxwell张量法的计算量较小，但求解域 的网格剖分质量和积分路径的不同会影响到推力和 垂直力的计算精度，所以需要对M axwel

5、l张量法做 改进。2计算直线电机推力和垂直力的方法及其优化二维直线电机模型的求解域为平行平面场，有三节点三角形单元剖分和任意四边形剖分（凸四边形,矩形是其特殊情况）两种方法。绝大多数有关文 献都采用了三角形剖分方法。采用三节点三角形剖 分时磁位函数相应的插值函数是线性函数，单元中的磁场强度或磁感应强度为常数，计算误差较大。为了提高计算精度，需要将单元划分得足够小，从而使收稿日期：1999 205218作者简介：李庆雷（19722）,男（汉）,山东，博士3基金项目：国家自然科学基金项目（59675066 ）Q 1China Academic Jourm计算量加大。矩形或四边形单元的磁势采用双线性

6、 函数为插值函数，单元中的磁场强度和磁感应强度 是线性变化的，能更好地反应实际磁场分布，因而也H Lkctronic Pubhshiii 1A 1（ ri討皿您 reserved, lu'www,cdki.nei李庆雷，等：永磁同步直线电机推力及垂直力的有限元计算21李庆雷，等：永磁同步直线电机推力及垂直力的有限元计算22具有更高的计算精度。以矩形单元为例，设某个矩形单元位于积分路 径上，路径沿X轴方向，为5 6。单元的4个节点按 逆时针顺序编号，如图1所示。取积分路径为(-1, E)到(1, r)的直线，坐标变换之后，上式化为Fm =斗图i单个单元的推力计算Fxn5设节点坐标和磁势值

7、分别为(X 1, Y1, A 1; X 2,Y2,A 2；x 3, Y3,A 3; X 4, Y4,A4),通过(X Y) (N)坐标系的变换，将单元变换成边长为2,中心点在(0,0)的正方形，矩形中的积分路径也变换成了正方形 内部相对应的积分路径，为(-1, 0) (1,0)。等参四 边形单元的基函数为3(1 + nn (1 + rrN i =12 9A ?yJ -29A9Ai+1, r-(1, r ?y 9 r9N2?x 9N?xjdN 其中：？x, ?y分别为矩形单元的x, y长,F x为?xj dN向的边1, r)-",4 (1+ 阳?y614d N=d A?y61誉(1+

8、rr)6(1 +rr)J(-1, r) - (1, r64k 6 NM1+ r r).当单元节点坐标和磁势值确定之后IA i ”(1 +d N=(10)为一常4由此得出(XY) (N)坐标的变换式为x数。分析式(10)可以看出，Fx的计算结果和路径选 择有关，即当r取不同的值时，所得的计算结果不 同。为了提高计算结果的精度6 Ni Xi,(4)y = 6 N i 丫.设1, 2, 3, 4四点的磁势值分别为a 3, a 4,变换到(n r坐标系后的磁势表达式为(1 + nN (1 + r rA(N r= 6i (1NN 设在X Y坐标系中，单元中某一点 势值为A ,则这一点的磁感应强度为B =

9、 rotA = 9Ai- 9Aj = B xi +9y9x由式(6)可以写出径进行计算，然后取其平均值。 路径,每条路径之间的间距相同 写为,可以考虑选择多条路假设共有2N + 1条 ,则推力的平均值可9A _9y =9A9xB y =J则单元1受力Fm为9A 9N+ 9A 9T9 N9y9 r9y，_9A 9N 丄<9 N9xA 1,A 2,Fx4 N12N+1 6 1 e6 NK NA2N :-(11)(5)(10)可以交换求和顺序，即N 4 j-广(x, y)的磁Byj(6)FxFx12N + 1e6-N(51K NXe2N(12)(Bne)B -xyB 2nd# =g时，式(12

10、)可写为61L 22n rde(13)由此,沿_LAq1 22 (BxBy (BxiByj)-xy2By)(-j)d# =式(10)中，当r= 0时，同样有以上结果。 可知，在应用M axwell张量法计算电机推力时 单元中心线进行积分时计算精度最高。与此类似，完 全可以证明单元中心线也是计算电机垂直力的最佳 路径。经过一系列复杂的公式推导，得到以下结果：2 2_ l?x (A 3- A 1)2- (A 4- a 2)F x=丄F4 AS(14)B xB y i +t(B"2、B y) j dx.l ?X 22?A 3, 8A?厂'其中：？A1=A4+A3- A 1- A 2

11、, ?A2 = A 3+ A 1 -Fy= &F8A)?yL -2-12?A1+ 3?A2(15)(8)© 994-20()9 China Academic- Jciunial 也wtrsmic Publishing liotiise. All riglits reservedA 2-22清华大学学报（自然科学版）2000, 40(5)A 4, ?A3= A 2+ A3- A 1- A4, S为矩形单元的面积。 当积分路径经过的单元不是矩形，而是任意四边形时，计算过程和以上过程类似，只是由于需要计 算单兀的Jacobian矩阵而复杂许多。由于直线电机 的移动部分是矩形的，完全

12、可以把积分路径经过的 单元都构造成矩形，这样可以直接应用式（14）和式（15）进行推力和垂直力计算。这种算法计算量较小， 可以方便地用在直线电机初始设计和结构参数优化 之中。3永磁同步直线电机的电磁场、推力 和垂直力计算实例平板型永磁同步直线电机的运动部件可以是初 级线圈，也可以是次级磁铁。这两种情况下电机运动 部件都是方形的，在二维情况下其外缘都是矩形。本 设计的永磁同步直线电机为初级移动式。电机为3相6极，每极每相槽数为2,短距系数5 6。总槽数为 41,采用双叠绕组，单个线圈匝数40。使用SGI工作 站上的M ARC有限元软件，用等参四边形单元建立 了样机的有限元模型。图2为此电机的网格

13、分布图 （局部）。整个求解域的单元数为5 884,节点数为6 092。网格上下边界选用第一类边界条件，取A =0;网格的左右边界选用第二类边界条件。磁钢退磁 曲线为直线,Br= 1 08T , Hc= 819 kA m。硅钢片 的磁化曲线为一条饱和曲线。按照自控式电流控制方法（id= 0）加入电流边界条件，定义静磁场类型的 加载历程和作业参数。图3是永磁同步直线电机在 某一位置时的磁力线分布图（局部）。计算出永磁同步直线电机的电磁场分布之后，用第2节中介绍的算法对电机推力和垂直力进行计算。图4,5是永磁同步直线电机在不同位置时电机的推力和所受的垂 直力。IIHillIlllll will II

14、UBI illllllllfllilBB iimiiilliiiiifi IIVIIIIBIIIinilHI iinimiiiiifliii lEUiimiiti* I III 111| III II IL,咗bt £孑hiiiiiiiiiuliiiliiiiiiii iniinin irviiiiitiHli|iniivlii>i| itliflin if II III Bflilll Ifta I alii I Hii i<m in iiniiiBini.1 itium IIIRIIIIVIII I«I VII if IIf nil Bf a| I III

15、11 II till ill ItlBIUlB llllBIdl il !Hill IWI lUII'llMLI IIMB ii»i! !it atsiiJiiiiiniiiiiiii » III IIIII lllllli I mu iiiiiii. muMmvinifliiBii'ii irimuiiiiiiiiim iiii Klinvvniiiiiaiiviitmai4biiiii!iiiiidiiivii ilMi fitaiitta il<iR|i|tliflaiB» Kill |<IUSB >l«ibli&

16、#171;nili4ilillflli tnn fthnaii-i-f i>；bi imviiniiHi »i iinai iihmhi hi miiiiih IV> V«>|RI IIIIl BI Ilf IVWIIBI Btllflt UtlfelHinitUMHI itiagi;illill ;l*i4|i|lilliill'二' *H 乙：；二二；二 bB ' BL'faaLn l i-'i N；7a iiih i r 匚；E i bntaiill i二匚 i-i -i ii d b fa il »

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18、P 4 I B IWI I Pf l'"l 14 I »VP4 IIt +卜4亠亠11 a 4 l tijsiii!a、！>! arBRliutii 11 h I im i Htitiivm li ii iii i ninii i iiii n ni rum i isii hi 11 ih i iihi ii ii hi iii mu 11 vi n mi km 11 n 11 iiiiiiriiimmiiiniiimiiiimiiiiiiiHiimiiiiiimiii*iii fa A Ami M n A irB B s A fa f *躅開湍麗閘II !

19、Hill !： Ill I ill l« Kill iheihi If i II UBIIII lillBHIElItlin man I flllll » il I I Hl I Hilt III IIIBH i im Uli ini,創m 11 Ri&k KU Itl I I Itl 111 III iltifllilll I ! itVnll otli Illi iifll > lit iifliiiiiii iiiiiiiiii ii iiii ill il li aiiiii占.OB B1 I p s 1 图2永磁同步直线电机网格剖分示意图（局部）图3

20、永磁同步直线电机在某一位置时的磁力线分布图（局部）x/p图4永磁同步直线电机在不同位置所受的X/p图5永磁同步直线电机在不同位置所受的推力(p= 50 6mm )垂直力(p= 50 6mm )© 】岁942讯艸 ChinatilcircKiic Publishing Hous氐 All iigJilsved.hltp-www,李庆雷，等：永磁同步直线电机推力及垂直力的有限元计算234结论改进的M axwell张量法运算量较小,且具有相 当高的精度，非常适合在永磁同步电机初始设计时推 算电机推力和垂直力。在以电机推力为目标值对电机 进行结构参数优化时，要计算电机在各种情况下的推 力和垂

21、直力，计算量非常大，采用这种方法就能使计 算量大大减小。另外还可以看出，只要采用适当的材 料特性和边界条件，计算出求解域的磁势分布，就能 计算出推力和垂直力。因此，这种计算方法能方便地 计算电励磁直线同步电机、直线感应电机、直线磁阻电机等各种其他类型直线电机的推力和垂直力，具有良好的适应性和扩展性。参考文献References1 Coulom b J L. A m ethodo logy for the determ inati on of global electrom echanical quantities from a finite element analysis and its a

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23、s, 1994, 5: 312 - 3303 M oghani J S, Eastham J F. F ield w eakening perfo rm ance of a linear bru shless A C m ach ineJ . IEEE T ransacti ons on M agnetics, 1996,9:5007 -5009.Permanen t magnet synchronousl inear m otor thrust andnorma l force FEMcalcula tionL IQ ing lei, WANG Xia nkui, WU Da n,L U C

24、hengying, SHI Zhongdong(D epartm ent of P recisi on Instrum ents and M echano logy,T singhua U niversity, Beijing 100084, Ch ina)Abstract : A ccu racy of the calculati on of the th ru st and no rm al fo rce in perm anent m agnet synch ronous linear mo to r w as increased w h ile the calculati on tim

25、 e w as decreased by using the op tim ized M axw ell ten sor m ethod w ith isoparam etric quadrilateral finite elements. T he discrete fo rm u las w ere presented and op tim ized to m p rove num erical accu racy and reduce the integral path sensitivity . T he contou r across the m iddle of the elementsw ere founded to be the best integral path w ith the h ighest num erical accuracy. T he postprocessing mod