求和符号西格马

1、求和符号西格马数学中常遇到众多项的和的问题，为了表述的方便，弓I入了用求和符号简单表述的方法。并且，在数学的很多地方，都起到了重要的作用。1求和符号的一般规律下面的和式亠a?亠a3亠亠ann可以简单的表示为、 ai °i 4这里的整数i是变量，而ai是i的函数。i =1指出了 i所取的最小值，n指出了 i所取的最 大值。当然，i不是必须从1开始，它可以从小于等于n的任何一个整数 m开始，如n._ai = a m ' a m -1"am-2* ani zmn特殊地，有v ai二an。i 土了解了求和符号的一般规律，可以使复杂的问题简单化。下面我们着手进行这些规律的研

2、究。nmn定理1: a ai =7 a： - 7 a：,其中m是介于1和n间的整数。i 叫i =1i qm -1证明：很明显，这是加法结合律的必然结果。相当于把n个数分成了两部分，分别求和后再求和。nnn定理 2: v ai b ai - '、bii 壬i 4i T证明：由加法的交换律和结合律可知n'aib =ai- bi亠a?'b?厂（a3'b?亠 a ' bni zi=ai a? an亠 b b? bnnn=' a j 亠二 biii 吐很明显，上面的两项和的问题可以扩展到多项，更一般地，有nnnnn定理 3: v an - a?i - a3

3、i aM=v' an -a?i - a3i 一-一二：aMi z±i 子i 子i Ti T这个结果可以由定理 2简单地推出。1nnkai =k aii _1i _1其中k为常数，且为整数。这个结果告诉我们求和符号里面的整数常数可以提到求和符号 的外边来。不但如此，我们还可以将这个整数常数推广成任意的常数。nn定理4： a ra i二宀aj，其中的r为任意常数。i -1i J例1已知n"i 二i =1n(n +1)，试求瓦解:nnnnnf+2i 一1 i 2i v 一1 =27 i 八 1 =21 _n = n2。i 4i 士i 4i -4i -42例1实际上是证明了

4、从1开始的连续n项奇数的和等于证明：nnra i = ra 1 ra 2 亠5=2 - a 亠 a.=八 aii ai可见，定理4是乘法分配律的结果。3#nn例2:已知a i，试求a i2。i 42i -1解：由二项式定理可知：(i +1 3 =i3 +3i2 +3i +1，这说明nnnnn（1）7 i . 1 3 八 i3 . 3、. i23、. i1i z+i 4i 4i z!i 4ni.i - 1i壬注意到=23 33 亠'亠 n3 亠 in - 1 3n-33333、i =1. 2 3亠ni ±nn有i 1 3 八 i3 二 n T 3 -1（ 2）i =1i T将这

5、个结果代入（1）式有nnn（n +1 3 1 =3 送 i2 + 3送 i +瓦 1i 二1i ± i ±n n 1代入可得:2n整理可得:17 i n n 1 2 n 1。i丄6例2实际上是求出了从1开始的n个连续自然数平方的和。般来说，类似于定理nnn2的v aibi二'、 ai、b是不成立的,idiinV ab描述的是n项的和，inn而7 ai bi描述的是n2项的和，而且这些项包含iin'、' aibi的所有项。i J2双重求和与平面阵列数列每一项都由相互独立的两个数i和j决定，即数列是i、j的二元函数，它的一般项记为a：。取i =1,2,3

6、,，n , j =1,2,3,m，则a表示了下面阵列的所有项an , a 12, a13, a1 ma21 , a 22 , a23 , a2ma31 , a32 , a33 ,a3m（3）an 1 , a n 2 , an 3 , a nmmnmn这n m项的和，简略地记为二二，符号7 7是一个整体，称为双重求和符号。它j =1 i dj =1 i d与前面讨论的求和符号有什么联系吗？下面我们进行这个讨论。求阵列（3）所有项的和可以有很多种方法，这里我们着重指出两种。一种是先求各行的和,再将各行的和累加；另一种是先求各列的和，再将各列的和累加。先按行求和，有mmmma 7 a?j .7 a3

7、jaj 吐j 4j 土j Taijj 4ii 士i =1i =1jm J m /mnnfmm(n由于不管是无送、zZ aij还是为S aij 1，表示的都是阵列j =t i =ti =1丿j =1丿先按列求和，有nnnnZ ai1 +无ai2十瓦ai3 +十无aim =送Z aij Imn3）所有项的和。因此有:mnnjm(n)定理5：为迟a迟aijj分i =±i zt<jlii丿#这表明，双重求和可以化成对 即可以先对i求和也可以先对i和j的累次求和来进行，并且与求和的顺序无关。即，我们 j求和。例3:设aj解:m- ' 丨1 j 2 j 3 jn j j =1njmn n 1 mn m 12 21=mn m n 12m n例 4:求-ij。j =1 i 壬解：mjnjJJmnm 1 n 12241、图2所示）。上面的两个例题实际上是解决了m n阵内所有项和的问题（如图1+52+53+54+55+51+42+43+44+45+41+32+33+34+35+31+22+23+24+25+21+12+13+14+