高等数学 上、下册6_8 二阶微分方程的应用举例ppt课件

1、第八节第八节 二阶微分方程的运用举例二阶微分方程的运用举例 在在本本章章第第四四节节中中，我我们们曾曾介介绍绍过过利利用用一一阶阶微微分分方方程程解解决决实实际际问问题题的的步步骤骤， 并并列列举举了了若若干干一一阶阶微微分分方方程程的的应应用用实实例例. .利利用用可可降降阶阶的的二二阶阶微微分分方方程程和和二二阶阶常常系系数数线线形形微微分分方方程程解解决决实实际际问问题题的的一一般般步步骤骤与与一一阶阶微微分分方方程程的的情情形形类类似似，这这里里不不在在重重复复，下下面面列列举举几几个个事事例例，以以说说明明二二阶阶微微分分方方程程的的某某些些简简单单应应用用. . 例例 1 1 设设

2、质质量量为为 m 的的物物体体在在冲冲击击力力的的作作用用下下得得到到初初速速度度 v0在在一一水水面面上上滑滑动动，作作用用于于物物体体的的摩摩擦擦力力为为-km( (k 为为常常数数) )，求求该该物物体体的的运运动动方方程程，并并问问物物体体能能滑滑多多远远？ 解解 设设所所求求物物体体的的运运动动方方程程为为s=s(t). .由由牛牛顿顿第第二二定定律律及及题题意意得得二二阶阶微微分分方方程程 22ddsmkmt 或或 22d.dskt 初始条件为初始条件为 0.(0)0, (0)ssv 方程方程22ddskt 两边同时逐次积分，得通解两边同时逐次积分，得通解 2211.2sCC tk

3、t 将初始条件将初始条件0.(0)0, (0)ssv代入通解，得代入通解，得1200,CCv 从而所求运动方程为从而所求运动方程为 201.2sv tkt 令令201()2sv tkt=0=0 即即00vkt，得，得0vtk，即经过，即经过0vtk后后物体停止运动，在这段时间内物体滑动的路程为物体停止运动，在这段时间内物体滑动的路程为 222000()22vvkksvkk 例例 3 3 长长为为 6 6m 的的链链条条自自高高 6 6m 的的桌桌上上无无摩摩擦擦地地向向下下滑滑动动， 假假定定在在运运动动开开始始时时， 链链条条自自桌桌上上垂垂下下部部分分已已有有 1 1m 长长，试试问问需需

4、经经多多长长时时间间链链条条才才全全部部滑滑过过桌桌子子？ 例例 2 2 试试求求由由微微分分方方程程0yy所所确确定定的的一一条条积积分分曲曲线线( )yf x，使使它它在在点点（0，1）处处与与直直线线 y-3x=1 相相切切. . 解解 由由题题意意知知，所所求求积积分分曲曲线线( )yf x满满足足二二阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程0yy， 初初始始条条件件为为(0)1,(0)3.yy 微微分分方方程程的的通通解解为为 12eexxyCC. . 将将初初始始条条件件(0)1,(0)3.yy代代入入通通解解得得 12121,3,CCCC 解解得得121,2CC . .故

5、故所所求求积积分分曲曲线线方方程程为为2eexxy. . 图图 6-6ssOi ii ii i) )解解方方程程 方方程程（1 1）是是 二二阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性方方程程，其其特特征征方方程程为为 206gr 解解得得特特征征根根1,26gr ，故故得得通通解解为为 6612eeggttsCC 将将式式（3 3）对对t求求导导，得得 6612d()d6ggttsgC eC et 把把初初始始条条件件（2 2）代代入入（3 3）及及（4 4）式式，得得 121210CCCC 解解得得 1212CC 于于是是，所所求求满满足足初初始始条条件件的的特特解解为为 661(ee)2ggtts

6、 v vi i) ) 求求链链条条全全部部滑滑过过桌桌子子所所需需的的时时间间t 当当链链条条全全部部滑滑过过桌桌子子时时，6s ，以以6s 代代入入（5 5）式式，得得 6616(ee),2ggtt 由由此此可可解解得得 6ln(635)( )tsg。 这这就就是是链链条条全全部部滑滑过过桌桌子子所所需需的的时时间间，其其中中29.8/gm s. . 例例 4 4 设设一一质质量量均均匀匀、柔柔软软无无伸伸缩缩性性的的绳绳索索，单单位位长长度度上上的的质质量量为为常常数数 ，两两端端固固定定，求求它它在在重重力力作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态时时的的曲曲线线方方程程. . B图图6-7

7、yTMAHOxpgs两两边边积积分分得得 21ln(1)xppCa， 由由于于点点 A 处处 x= =0 0，切切线线平平行行于于 x 轴轴，即即 000 xxyp， 代代入入上上式式得得 10.C 再由弧微分公式再由弧微分公式2d1d ,syx使得到的微分方程是使得到的微分方程是 21,gyyH 此方程属于此方程属于( ,)yf x y型，令型，令d,dpyp yx，得，得 2d11dppxa（其中其中Hag） ，） ， 分离变量得分离变量得 2d1d1pxap 所以，上式成为所以，上式成为 2ln(1),xppa 即即 21e .xapp 解得解得d1(ee),d2xxaaypx再积分得再

8、积分得 2(e +e),2xxaaayC 为了确定为了确定2C，使使曲线方程形式简洁，取曲线方程形式简洁，取 x=0=0 时，时，y=a（即（即取取 OA 之长为之长为 a） ，代入上式，得） ，代入上式，得 2C=0=0，故所求曲，故所求曲线为线为 (e +e).2xxaaay 此曲线叫做悬链线此曲线叫做悬链线. . 解解 设在设在 t 时刻，物体离开平衡位置时刻，物体离开平衡位置 x（t）若物体只若物体只受弹簧恢复力的作用，按照胡克定律，受弹簧恢复力的作用，按照胡克定律，Fcx ，其中，其中 c为弹簧弹性系数，负号表示力的方向与位移的方向相反，为弹簧弹性系数，负号表示力的方向与位移的方向相反，有牛顿第二定律有牛顿第二定律Fma得得 22ddxmcxt 或或22d0dxcxtm 令令 2ckm 得得 222d0dxk xt。 （6 6） 这就是物体运动的微分方程这就是物