新不定积分换元法4-2ppt课件

1、二、第二类换元法二、第二类换元法第二节第二节一、第一类换元法一、第一类换元法不定积分的基本积分方法 第四章 换元积分法一、第一类换元法一、第一类换元法则则有有的的原原函函数数，是是设设函函数数)()(ufuF（凑微分法）（凑微分法）.CuFduuf,ufuF )()()()(,xuu可导可导是中间变量，是中间变量，如果如果)( )()()()()(xxfxxFxF dxxxf)()(所所以以)()(xuduuf 那么那么 dxxxf)()(CxF )(设设)(uf具具有有原原函函数数，)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1(第一类换元公式第一类换元公式) dxxxf)()(

2、 )()(xuduuf说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为 ( )( ),fxx dx( )f u du而易求。易求。.xdx2sin1求求例例解一）解一） xdx2sindxxx)(sin2221xuudu221sin;2cos21Cx 解二）解二） xdx2sin xdxxcossin2xuuudxdxxsin)(sinsin22 ;sin2Cx 解三）解三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx .dxx231求求例例2解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 xudu

3、u23121 .Cx 23ln21baxuduufadxbaxf)()(1一般地一般地故故例例3 3 求求).1(d)(mxbxam解解: : 原式原式 = =mua1baxudua1Cumm1111)() 1(1mbxamaC例例4 4 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 解解: : 例例5 5 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121C

4、u ln21.Cx ln21ln21一般地一般地xdxfxdxxfln)(ln)(ln1例例6 6 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 例例7 7 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 228xaxd求求例例解解: :2)(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax例例9 9 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 3

5、41341312xdx.34arctan31Cx 例例10 10 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例11 11 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx .xxxd )1(1210求求例例 10)1(101xuuuud )1(10109xxxdx解解 )1(10 xxxd101 nnnnxdxxfnxdxxf111)()(一般地一般地 )1(101010 xxxdCxx 1ln1011010例例13 13

6、求求.d3xxex解解: : 原式原式 = =xexd23)3d(323xexCex332例例14 14 求求.dsec6xx解解: : 原式原式 = =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC例例15 15 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 一般地一般地当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数

7、相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分. xdxx53tansec 16求求例例例例17 17 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 例例18 18 求求.d3cossin22xxx解解: :xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式原式 = =xd41)8d(8cos6

8、41xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C例例19 19 求求.csc xdx解一）解一） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形） dxxsin1 xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx2tanln.Cxxcotcscln解二）解二）类似地可推出类似地可推出

9、.Cxxxdxtanseclnsec例例20 20 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 解解例例21 21 设设 求求 . .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf ( )( ).fu duf uC例例22 22 求求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: : 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2

10、xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf二、第二类换元法二、第二类换元法则有换元公式则有换元公式定理定理2 2)(1d)()(d)(xttttfxxf.txxt的的反反函函数数是是其其中中)()(1 （第二类积分换元公式）（第二类积分换元公式）证证: :的的原原函函数数为为设设)()(ttf ,t)( 令令 )()(1xxF那那么么dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t .xftf)()(可导的函数，可导的函数， ,xf是是连连续续函函数数设设)(有原函数，有原函数， 第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求

11、易求易求xxxfd)()(uufd)()(xu第二类换元法解决的问题第二类换元法解决的问题xdxxf)()(易求易求难求难求uufd)(要求要求要求要求)(ux1例例23 23 求求. )0(d22axxa解解: : 令令, ),(,sin22ttax那那么么taaxa22222sintacostatacos)sin( 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22例例24 24 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtata2sec)tan( dxax

12、221tdtata2secsec1 tdtsecCtt tanseclntax22ax .ln22Caaxax 2,2t例例25 25 求求解解).0(122 adxax令令taxsec tdttadxtansec 0,t dxax221sectantanattdtattax22ax .Caaxax22ln例例26 26 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31

13、(3253t2x24x .4514345232Cxx 说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为三角代换以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 说明说明(2)(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换换外还可用双曲代换.1shch22tttaxsh利利用用taxch,也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, dxax 221tdtad

14、xtaxchsh令令dxax 221dttatachch CtdtCax arsh.ln22Caaxax 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换或双曲代换并不是绝对的，需三角代换或双曲代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例27 27 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx基基本本积积分分表表;Cxxdxcoslntan)(16;Cxxdxsinlncot)(17;Cxxxdxtanseclnsec)(18;Cxxxdxcotcsclncsc)(19;arctan11)20(22Caxadxxa ;Cxaxaadxxaln)(2112222;arcsin1)23(22Caxdxxa .Caxxdxax2222124ln)(;Caxaxadxaxln)(2112122 作作