应用回归分析部分答案

1、第9章非线性回归9.1在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形 式，还要注意误差项的形式。如：(1) 乘性误差项，模型形式为y AK L e，(2) 加性误差项，模型形式为y AK L 。对乘法误差项模型(1)可通过两边取对数转化成线性模型，(2)不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式， 为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。9.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表9.14所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟适宜当的回归模型。表 9.14生产率X

2、(单位/周)1000200030003500400045005000废品率y (%)5.26.56.88.110.210.313.0解:先画出散点图如下列图:12.0010.008.006.00从散点图大致可以判断出X和y之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归(1)二次曲线SPSS输出结果如下:Mode l Sum maryRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate.981.962.942.651The in depe ndent variable is x.ANOVASum of SquaresdfMea

3、n SquareFSig.Regressi on42.571221.28650.160.001Residual1.6974.424Total44.2696The in depe ndent variable is x.Coe fficientsUn sta ndardized Coefficie ntsStan dardized Coefficie ntstSig.BStd. ErrorBetax-.001.001-.449-.891.423x * 24.47E-007.0001.4172.812.048(Co nsta nt)5.8431.3244.414.012从上表可以得到回归方程为：y

4、? 5.843 0.087x 4.47 10 7x2由x的系数检验P值大于0.05,得到x的系数未通过显著性检验。由x2的系数检验P值小于0.05,得到x2的系数通过了显著性检验。(2)指数曲线Mode l Sum maryRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate.970.941.929.085The in depe ndent variable is x.ANOVASum of SquaresdfMean SquareFSig.Regressi on.5731.57379.538.000Residual.0365.007Tota

5、l.6096The in depe ndent variable is x.Coe fficientsUn sta ndardized Coefficie ntsStan dardized Coefficie ntstSig.BStd. ErrorBetax.000.000.9708.918.000(Co nsta nt)4.003.34811.514.000The depe ndent variable is ln( y).从上表可以得到回归方程为：y? 4.003評0皿由参数检验P值0<0.05,得到回归方程的参数都非常显著。0 bserved畑弧址Es.poffierLtELl从R

6、2值，°的估计值和模型检验统计量 F值、值及拟合图综合考虑, 指数拟合效果更好一些。9.3变量x与y的样本数据如表9.15,画出散点图，试用a e卩/x来拟合回归 模型，假设：(1) 乘性误差项，模型形式为y= a e/xe(2) 加性误差项，模型形式为y= a e卩/x+ £。表 9.15序号xy序号xy序号xy14.200.08663.200.150112.200.35024.060.09073.000.170122.000.44033.800.10082.800.190131.800.62043.600.12092.600.220141.600.94053.400.1

7、30102.400.240151.401.620解：散点图:1.500-1.0000.5000.000-1.D02.003.004.00(1)乘性误差项，模型形式为y=a e卩/xe£线性化：Iny=ln a + 3 /x + e 令 y1=lny, a=ln a ,x1=1/x .做y1与x1的线性回归，SPSS输出结果如下:Model SummarModelRR SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the Estimate1.999 a.997.997.04783a. Predictors: (Con sta nt), x1b. Depe

8、ndent Variable: y1ANOVA bModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regressi on10.930110.9304778.305.000aResidual.03013.002Total10.96014a. Predictors: (Con sta nt), x1b. Depe ndent Variable: y1Coe fficients aModelUn sta ndardized Coefficie ntsStan dardized Coefficie ntstSig.BStd.ErrorBeta1(Co nsta nt)-3.

9、856.037-103.830.000x16.080.088.99969.125.000a. Depe nde nt Variable: y1从以上结果可以得到回归方程为：y仁-3.856+6.08x1F检验和t检验的P值0<0.05,得到回归方程及其参数都非常显著。回代为原方程为：y=0.021e6.°8/x(2)加性误差项，模型形式为y= a e/x+ £不能线性化，直接非线性拟合。给初值a =0.021,p =6.08(线性化结果)，NLS结果如下：Parame te r E stimate sParam eterEstimateStd. E rror95% C

10、onfidence I ntervalLow er BoundUpper Bounda.021.001.020.023b6.061.0445.9656.157Iteration Historvh口Iteration Nufn&srResidualSum cTSquaresParameterab10001.0216.0901.1.001.0216.Q512 0.001.021fi06121,001.021蝕刖3 0.0018T6 0512 1001.0216.061ANOVASourceSum ofSquaresdfMeanSquaresRegression4.45822.229Resi

11、dual.00113.000Uncorrected Total4.45915Corrected Total2.46714Dependent variable: ya. R squared = 1 - (Residual Sum of Squares) / (Corrected Sum of Squares) = 1.000.从以上结果可以得到回归方程为：丫=0.021少°6恢根据R21,参数的区间估计不包括零点且较短，可知回归方程拟合 非常好，且其参数都显著。9.4 Logistic回归函数常用于拟合某种消费品的拥有率，表8.17 书上239页,此处略是市每百户家庭平均拥有的照相机数

12、，试针对以下两种情况拟合Logistic回归函数。1u 100，用线性化方法拟合,2u未知，用非线性最小二乘法拟合。根据经济学的意义知道，u是拥有率解：1，u 100时，的线性拟合。对的上限，初值可取100； b0>0,0<b1<1初值请读者自己选择。y函数线性化得到:1tuIny盘1.851 0.264 ln(丄 丄)ln b。tlndy 100，八1命，竹3关于t的线性回归分析，SPSS输出结果如下:Model SummarjbModelRR SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the Estimate1.994 a.988.987

13、.16820a. Predictors: (Con sta nt), tb. Depe nde nt Variable: y3ANOVA bModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regressi on39.839139.8391408.165.000aResidual.48117.028Total40.32018a. Predictors: (Con sta nt), tb. Depe nde nt Variable: y3Coe fficients aModelUn sta ndardized CoefficientsStan dardized Coef

14、ficientstSig.BStd.ErrorBeta1(Co nsta nt)-1.851.080-23.039.000t-.264.007-.994-37.526.000a. Depe nde nt Variable: y3由表Model Summary得到，R 0.994趋于1,回归方程的拟合优度好,由表ANOVA得到回归方程显者，由 Coefficients表得到，回归系数 者E是显著的，得到方程：ln( 丄)1.851 0.264，进一步计算得到：y 100b。0.157 , 00.768 ( u 100)回代变量得到最终方程形式为：y?1 亍0.01 0.157 0.760最后看拟

15、合效果，通过 sequenee画图：6020U-32I 8 49 10 11 12 13 14 15 16 117 19 19由图可知回归效果比拟令人满意。(2)非线性最小二乘拟合，取初值u 100,bo 0.157,b, 0.768 :一共循环迭代8次，得到回归分析结果为：Param eterEstimateStd. E rror95% Confidence I ntervalLow er BoundUpper Boundu91.0622.03586.74795.377b.211.028.152.271e.727.012.701.753ANOVA aSourceSum ofSquaresdf

16、MeanSquaresRegression60774.331320258.110Residual85.369165.336Uncorrected Total60859.70019Corrected Total15690.38618Dependent variable: ya. R squared = 1 - (Residual Sum of Squares) / (Corrected Sum of Squares) = .995.u 91.062 ,R 0.995>0.994,得到回归效果比线性拟合要好，且:b00.211， D0.727，回归方程为：1y 1-。0.211*0.727t

17、91.062最后看拟合效果，由sequenee画图:Predicted alues得到回归效果很好，而且较优于线性回归9.5表9.17 书上233页，此处略数据中GDP和投资额K都是用定基居民消 费价格指数CPI 缩减后的，以1978年的价格指数为100。1用线性化乘性误差项模型拟合 C-D生产函数；2用非线性最小二乘拟合加性误差项模型的C-D生产函数；3对线性化检验自相关，如果存在自相关那么用自回归方法改良；4对线性化检验多重共线性，如果存在多重共线性那么用岭回归方法改良； 解：1对乘法误差项模型可通过两边取对数转化成线性模型。In y=ln A+ In K+ In L令y' =ln

18、 y, B o=ln A, X1=ln K, X2=ln L,那么转化为线性回归方程:y' = B 0+X1+X2+SPSS输出结果如下：模型综述表Model Summ arjbModelRR SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the Estimate1.997 a.994.993.04836a. Predictors: (Co nsta nt), l nL, l nKb. Depe ndent Variable: lnY从模型综述表中可以看到，调整后的为 0.993,说明C-D生产函数拟合效果 很好，也说明GDP的增长是一个指数模型。方差分析

19、表ANOVAbModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regressi on8.44624.2231805.601.000aResidual.05122.002Total8.49724a. Predictors: (Con sta nt), l nL, l nKb. Dependent Variable: lnY从方差分析表中可以看到，F值很大，P值为零，说明模型通过了检验，这 与上述分析结果一致。系数表Coe fficientsModelUn sta ndardized Coefficie ntsStan dardized Coefficie ntstSi

20、g.BStd. ErrorBeta1(Co nsta nt)-1.7851.438-1.241.228lnK.801.056.86114.370.000lnL.402.171.1412.354.028a. Depe ndent Variable: InY根据系数表显示，回归方程为:尽管模型通过了检验，但是也可以看到，常数项没有通过检验，但在这个模型里， 当InK和InL都为零时，InY为-1.785，即当K和L都为1时，GDP为0.168, 也就是说当投入资本和劳动力都为1个单位时，GDP将增加0.168个单位，这种 解释在我们的承受围，可以认为模型可以用。最终方程结果为：y=0.618K0.

21、801 L0.4042用非线性最小二乘法拟合加性误差项模型的C-D生产函数；上述假设误差是乘性的，现假设误差是加性的情况下使用非线性最小二乘法估计。初值采用1中参数的结果，SPSS输出结果如下：参数估计表Parame te r E stimate sParam eterEstimateStd. E rror95% Confidence I ntervalLow er BoundUpper BoundP.407.885-1.4292.243a.868.066.7311.006b.270.243-.234.774SPSS经过多步迭代，最终得到的稳定参数值为P=0.407，a=0.868, b=0.

22、270y=0.407K°.868 L0.27°为了比拟这两个方程，我们观察下面两个图线性回归估计拟合曲线图非线性最小二乘估计拟合曲线图PImGDPPPredicted ValuesSequence number我们知道，乘性误差相当于是异方差的，做了对数变换后，乘性误差转为加 性误差，这种情况下认为方差是相等的，那么第一种情况(对数变换线性化)就 大大低估了 GDP数值大的项，因此，它对GDP前期拟合的很好，而在后期偏差 就变大了，同时也会受到自变量之间的自相关和多重共线性的综合影响；非线性最小二乘法完全依赖数据，如果自变量之间存在比拟严重的异方差、 自相关以及 多重共线性

23、，将对拟合结果造成很大的影响。因此，不排除异方差、自相关以及 多重共线性的存在。(3) 对线性化回归模型采用DW检验自相关，结果如下:模型综述表Model SummavfModelRR SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the EstimateDurbi n-Watson1.997 a.994.993.04836.715a. Predictors: (Constant), InL, InKb. Dependent Variable: lnYDW=0.715<1.27,落在自相关的区间，所以采用迭代法改良将得到的数据再取对数，而后用普通最小二乘法估

24、计，保存DW值模型综述表Model Summ arModelRR SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the EstimateDurbi n-Watson1.983 a.967.964478.902711.618a. Predictors: (Co nsta nt), Ltt, Kttb. Depe ndent Variable: Ytt方差分析表ANOVA bModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regressi on7.55423.777601.286.000aResidual.13221.006Total7.6

25、8623a. Predictors: (Co nsta nt), I nLtt, I nKttb. Depe ndent Variable: lnYtt系数表Coe fficients aModelUn sta ndardized Coefficie ntsStan dardized Coefficie ntstSig.BStd. ErrorBeta1(Co nsta nt)-1.8591.470-1.265.220ln Ktt.755.054.85214.098.000ln Ltt.465.180.1562.577.018a. Depe ndent Variable: lnYtt从模型综述表

26、中可以看到，DW=1.618>1.45,认为消除了自相关；方差分析 表中可以看到F值很大，P值为零，说明模型通过了检验。从系数表可得回归方程：lnY = -L 859 + 0.755)iK| * 0.46SlnL再迭代回去，最终得方程为：Ln yt Ln yt-i = -1.859+ 0.755(L nKt LnKt-i) + 0.465(L nLt Ln Lt-i)(4) 对线性化回归方程通过 VIF检验多重共线性:方差分析表ANOVAbModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regressi on8.44624.2231805.601.000aRe

27、sidual.05122.002Total8.49724a. Predictors: (Con sta nt), l nL, l nKb. Dependent Variable: lnY系数表CoefficientsModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.Collinearity StatisticsBStd. ErrorBetaToleranceVIF1(Constant)-1.7851.438-1.241.228lnK.801.056.86114.370.000.07713.034lnL.402.171.1412.354.028.07713.034a. Dependent Variable: InY多重共线性诊断表Colline arity Diagnostics aModelDime nsio nEige nvalueCon diti onIndexVariance P roportions(Co nsta nt)lnKlnL1 1232.997.0031.63E-0051.00030.539429.012.00.001.00.00.09.91.00.001.00a. Depe ndent Variable: lnY直观法：从模型综述表上可以看到，