2007年全国数学竞赛练习八

1、2007 全国数学竞赛练习(八)一、选择题（每小题 6 分，共 30 分）- -171. 方程(+3 = 1的所有整数解的个数是（）个（A）2（B）3（C）4（D）5AD2. 设ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且AB= 1 若在边 AC 上取一点 E，33使四边形 DECB 的面积为4CEDCO·，则的值为（）EA1（A）21（B）31（C）41（D）5AB3，半圆 O 的直径在梯形 ABCD 的底边 AB 上，且与其余三边 BC，CD，DA相切，若 BC2，DA3，则 AB 的长（）（A）等于 4（B）等于 5（C）等于 6（D）不能确定，4在直角坐标系中 坐标都是整

2、数的点，称为整点。设 k 为整数，当直线 y = x + 2与直线 y = kx - 4 的交点为整点时， k 的值可以取（）个（A）8 个（B）9 个（C）7 个（D）6 个5足球赛小组赛，每个小组 4 个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得 3 分，败队得 0 分，平局时两队各得 1 分小组赛完后，总积分最高的 2 个队出线进入下轮比赛如果总积分相同，还有按净胜球数排序一个队要保证出线，这个队至少要积（）分（A）5（B）6（C）7（D）8二、填空题（每小题 6 分，共 30 分）6. 当 x 分别等于120051，20041，2003120021，200112000，2000，2001，200

3、2，x 22003， 2004 ， 2005 时， 计算代数式 1 + x 2于的值， 将所得的结果相加， 其和等7. 关于 x 的不等式(2a - b)x a - 2b 的x 5 ，则关于 x 的不等式ax + b 0 的解2A为8. 方程 x2 + px + q = 0 的两根都是非零整数，F且 p + q = 198 ，则 p 9. ，四边形 ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直BDC角三角形，D 在 BC 边上，ABC 的面积等于 98，BDDC25E则正方形 ADEF 的面积等于10. 设有n 个数 x1 ， x2 ， xn ，它们每个数的值只能取 0，1，2 三个数中的一个，且

4、x + x+ + x= -5 ， x2 + x2 + + x2 = 19 ，则 x5 + x5 + + x5 的值12n12n12n是三、解答题（每小题 15 分，共 60 分）11. 如图，凸五边形 ABCDE 中，已知 SABC1，且 ECAB，ADBC，BECD，FCADE，DBEA试求五边形 ABCDE 的面积DEC12. 在正实数范围内，只一个数是关于 x 的方程的取值范围x2 + kx + 3x -1AB= 3x + k 的解，求实数kyBPOA13. 如图，一次函数的图象过点 P（2，3），交 x 轴的正半轴与 A，交 y 轴的正半轴与 B，求AOB 面积的最小值x14. 预计用

5、 1500 元购买甲商品 x 个，乙商品 y 个，不料甲商品每个涨价 1.5 元，乙商品每个涨价 1 元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少 10 个，总金额仍多用 29 元又若甲商品每个只涨价 1 元，并且购买甲商品的数量只比预定 5 个，那么甲、乙两商品支付的总金额是 1563.5 元（1） 求 x 、 y 的式；（2） 若预计购买甲商品的个数的 2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于 205，但小于 210，求 x 、 y 的值参考 一、选择题1C2B3B4A 5C二、填空题667 x < -8三、解答题820291161012511 BECD，CADE，DBEA，ECAB，ADBC，

6、 SBCDSCDESDEASEABSACBSACF1 设 SAEF x ，则 SDEF1 - x ，又AEF 的边 AF 与DEF 的边 DF 上的，所以， DE = 1 - x ，而DEFACF，则有AFxSæ DF ö2(1 - x)2 DDEF = ç÷ = 1 - x SDACF整理è AF øx =x 25 - 125 +5故 SABCDE3SABCSAEF212原方程可化为2x2 - 3x - (k + 3) = 0 ，（1）当0 时， k = - 33 ， x = x = 3 满足条件；8124（2）若 x = 1是方程

7、的根，得2 ´12 - 3´1- (k + 3) = 0 ， k = -4 此时方程的另一个根为 1 ，故原方程也只有一根 x = 1 ；2（3） 当方程有异号实根时， x1x22= - k + 3 < 0 ，得 k > -3 ，此时原方程也只有2一个正实数根；（4） 当方程有一个根为 0 时， k = -3 ，另一个根为 x = 3 ，此时原方程也只有一2个正实根。综上所述，满足条件的 k 的取值范围是 k = - 33 或 k = -4 或 k ³ -3 813解：设一次函数 式为 y = kx + b ，则 3 = 2k + b ，得 b = 3

8、 - 2k ，令 y = 0 得x = - b ，则 OA - b kk令 x = 0 得 y = b ，则 OA b S= 1 ´ (- b ) ´ bDAOB2k= 1 ´ (3 - 2k)22-k= 1 ´ 4k 2 - 12k + 92-k-k132=´(22³ 12.- )-k+ 24所以，三角形 AOB 面积的最小值为1214（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为 a 元和b 元，则原计划是ax + by = 1500 ，由甲商品单价上涨 1. 5 元、乙商品单价上涨 1 元，并且甲商品减少 10 个的情形，得(a + 1

9、.5)(x - 10) + (b + 1) y = 1529 再由甲商品单价上涨 1 元，而数量比预计 5 个，乙商品单价上涨仍是 1 元的情形，得(a + 1)(x - 5) + (b + 1) y = 1563.5 ， 由、得ì1.5x + y -10a = 44,îíx + y - 5a = 68.5.×2 并化简，得x + 2 y = 186 （2）依题意，有 205 2x + y 210 及 x + 2 y = 186 ，54 y 55 2 ，3由 y 是整数，得 y = 55 ，从而得 x = 76答：（1） x 、 y 的 x + 2 y

10、= 186 ；（2）预计购买甲商品 76 个，乙商品 55 个2007 年初中数学竞赛模拟试题(2)一、选择题（每小题 6 分，共 30 分）1已知a - b = 4 ， ab + c 2 + 4 = 0 ，则 a + b （）（A）4（B）0（C）2（D）2 2方程| x | - 4 = 3 | x | 的实根的个数为（）xx（A）1（B）2（C）3（D）43. 已知梯形ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于 O，AOD 的面积为 4，BOC 的面积为 9，则梯形 ABCD 的面积为（）（A）21（B）22（C）25（D）264. 已知O1 与O2 是平面上相切的半径均为 1 的两

11、个圆，则在这个平面上有（ ） 个半径为 3 的圆与它们都相切（A）2（B）4（C）5（D）65. 一个商人用 m 元（ m 是正整数）买来了n 台（ n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台 500 元，结果该商人获得利润为 5500 元，则n 的最小值是（ ）（A）11（B）13（C）17（D）19 二、填空题（每小题 6 分，共 30 分）6. 已知等腰ABC 内接于半径为 5cm 的O，若底边 BC8cm，则ABC 的面积为7. ABC 的三边长a 、b 、c 满足b + c = 8 ， bc = a 2 - 12a + 52 ，则AB

12、C 的周长等于8. 若x表示不超过 x 的最大整数，且满足方程3x + 5x- 49 = 0 ，则 x 9若直线323x + 457 y = 1103 与直线177 x + 543 y = 897 的交点坐标是（ a ， b ），则a2 + 2006b2 的值是10抛物线 y = 2x2 - 4x - 5 向左平移 3 个，再向上平移两个，得抛物线 C，则C 关于 y 轴对称的抛物线式是三、解答题（每小题 15 分，共 60 分）11 ，在ABC 中，AC7，BC4，D 为 AB 的中点，E 为 AC 边上一点，且1AED90°2C，求 CE 的长DBAEC12. 某公交公司停车场内

13、有 15 辆车，从上午 6 时开始发车（6 第一辆车开出），以后每隔 6 分钟再开出一辆第一辆车开出 3 分钟后有一辆车进场，以后每隔 8 分钟有一辆车进场，进场的原有的 15 辆车后依次再出车问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？13. 已知一个两位数，其十位与个位数字分别为 p 、 q ，二次函数 y = x2 + qx + p 的图象与 x 轴交于不同的两点 A、B，顶点为 C，且 SABC1（1）求q2 - 4 p 的取值范围；（2）求出所有这样的两位数 pq 14. 已知n 是正整数，且2n + 1与3n +1 都是完全平方数是否 n ，使得5n + 3 是质数？如果，请求出所有 n

14、 的值；如果不，请说明理由参考 一、选择题1B2A 3C4D5C二、填空题68cm2 或 32cm27148 199201010 y = 2x2 - 8x + 33三、解答题11. 作 BFDE 交 AC 于F，作ACB 的平分线交 AB 于 G，交 BF 于 H1则AEDAFBCHF21C。因为AED90°2C，所以CHF90°CHB。又FCHBCH，CHCH。DGH FCHBCH。B CFCB4， AFACCF743。 ADDB，BFDE， AEEF1.5， CE5.5AEFC12. 设从 6 时起 x 分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车 S 辆，进场车 y

15、辆，则ìx = 6(S -1)íïS = y + 15îï8 y > x - 3 8(S - 15) > 6(S - 1) - 3 ， S > 55.5 S 为正整数， S56，即到第 56 辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆此时 x = 6(56 -1) = 330 ，6+ 330 =11.5（时）60答：到 11 时 30 分时，停车场内第一次出现无车辆13（1）设 A（ x1 ，0），B（ x2 ，0），（ x1 ¹ x2 ），则 x1 、 x2 是方程x2 + qx + p = 0 的两个不同的实根，所以x

16、1 + x2 = -q ， x1 x24 p - q2= p ， q2 - 4 p > 0 又 yc =4（ yc 表示点 C 的纵坐标），所以12q 2 - 4 p4 p - q 241SABC 2 | x1 - x2 | × | yc |=× 从而(q2 - 4 p)3 £ 64 ， q2 - 4 p £ 4 故 0 q2 - 4 p £ 4 £ 1，（2）由（1）知， q2 - 4 p = 1，2，3，4因为 q 2 被 4 除余数为 0 或 1，故 q2 - 4 p 被 4 除余数也是 0 或 1，从而q2 - 4 p

17、= 1，ì p = 2 ì p = 6 ì p = 3 ì p = 8或 4这两个方程中符合题意的整数解有í p = 3, í p =ííî故所有两位数 pq 为 23，65，34，86î5, î p = 4, î p = 6.14设2n + 1 = k 2 ， 3n + 1 = m 2 ，其中k ， m 都是正整数，则5n + 3 = 4(2n +1) - (3n +1) = 4k 2 - m2 = (2k + m)(2k - m) 若2k - m ¹ 1，则5n

18、 + 3不是质数若2k - m = 1，则5n + 3 = 2k + m = 2m +1 ，于是(m -1)2 = m2 - 2m +1 = m2 - (2m +1) + 2 = (3n +1) - (5n + 3) + 2= -2n < 0 ，综上所述，不正整数 n ，使得5n + 3是质数2007 年初中数学竞赛模拟试题(3)一、选择题（每小题 6 分，共 30 分）1. 在一个凸n 边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为 2160°的多边形， 则 n 的值为（）（A）只能为 12（B）只能为 13（C）只能为 14（D）以上都不对2. 已知关于 x 的方程 x

19、2 - 6x + (a - 2) | x - 3 | +9 - 2a = 0 有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）（A） a 0（B） a 0（C） a 2（D） a 0 或a 2 3若正实数a 、b 满足 ab = a + b + 3 ，则 a 2 + b 2 的最小值为（）（A）7（B）0（C）9（D）184如图，在ABC 中，CRt，CDAB，下列结论：（1）DC·ABAC·BC；（2）AC 2BC2= ADBD； （3）1AC 2+1BC 2=1CD2；（4）ACBCCDAB其中正确的个数是（）（A）4（B）3（C）2（D）15设 n 是正整数，0 x 1，

20、在ABC 中，如果 AB n + x ，BC n + 2x ，CA n + 3x ，BC 边上的高 AD n ，那么，这样的三角形共有（）2（A）10 个（B）11 个（C）12 个（D）无穷多个二、填空题（每小题 6 分，共 30 分）6 实数 x 、 y 、 z 满足： x = y +为， 2xy + 22z 2 +1 = 0 ，则 x + y + z 的值7. 如果对于任意两个实数 a 、 b ，“ * ”为一种运算，定义为 a * b = a + 2b ，则函数y = x2 *(2x) + 2 * 4 （3 x 3）的最大值与最小值的和为8. 已知四个正数a 、b 、c 、d 满足a

21、b c d ，它们两两的和依从小到大的次序分别是：23、26、29、93、 x 、 y ，则 x + y 的值为9. 已知点 P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，QPO150°，且 P 到Q 的距离为 2，则 Q 的坐标为10. 在ABC 中，AB15，AC13，高 AD12，设能完ABC 的圆的半径为 R则R 的最小值是三、解答题（每小题 15 分，共 60 分）11. 实数 x 与 y 使得 x + y ， x - y ， xy ， x 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具y有这样性质的数对（ x ， y ）12. 如图，ABC 的面积为 S，作直线l BC，

22、分别交 AB、AC 与点 D、E，若BED 的1A面积为 K求证：K SDE4lBC13. 如图，在直角坐标系内有两个点 A（1，1），B（2，3），若 M 为 x 轴上一点，且使 MBMA 最大，求 M 点的坐标，并说明理由y321B-3-2 -1A -1123x14. 在ABC 中，AB40，AC60，以 A 为圆心，AB 长为半径作圆交 BC 与 D，且 D在 BC 边上，若 BD 和 DC 的长均为正整数，求 BC 的长参考 一、选择题1D2D3D4B5C一、填空题6073781959（1，1 +3 ），（1，1 +65153 ） 10或82二、解答题11. 显然， y ¹

23、0 ，所以 x + y ¹ x - y xx依题意，有 x + y = xy =ìx + y = xy,或 x - y = xy =y，于是yï（1） íxy = x .ïîy x = 0 或 y = ±1当 x = 0 时， y = 0 （舍去）；当 y = 1时， x +1 = x ，无解；1ìx = 1 ,当 y = -1时， x -1 = -x ， x =ï2 ， í2ïìx - y = x ,yìx = - 1 ,ïî y = -1.&

24、#239;（2） íxí2ïxy =.ïîyïî y = -1.故数对（ x ， y ）为（ 1 ，1），（2-，1）1212. 设 AD = x ，AB l BC，AE =ACAD = x ，AB由 SDABESDABC= AE AC= x ，得 SDABE = Sx 又 SDBDE= BD = 1 - AD = 1 - x SDABEABAB K = (1 - x) × Sx = -S (x 2 - x) = -S (x - 1 )2 + 1 S £ 1 S 24413. 作点 A 关于 x 轴的对称

25、点 A，作直线 BA交 x 轴 M，由对称性知 MAMA，MBMAMBMAAB若 N 是 x 轴上异于 M 的点，则 NANA，这时 NBNANBNA ABMBMA所以，点 M 就是使 MBMA 的最大的点，MBMA 的最大值为 AB 设直线 AB 的式为 y = kx + b ，则íì1 = -k + b,î3 = 2k + b,k = 23， b = 5 3即直线 AB 的式为 y = 2 x + 5 ，令 y = 0 ，得 x = - 5 5332y32BA2-3-2 -1A -1123x1故 M 点的坐标为（ -，0）14. 设BD a ，CD b ，（

26、a ， b 为正整数）作 AEBD，垂足为 E，则 ABAD40，BEDE a 2 AE 2 = 402 - ( a )2 ， AE 2 = 602 - ( a + b)2 ，22 402 - ( a )2 = 602 - ( a + b)2 ，22 (a + b)b = 2000 = 24 ´ 53 ， 20 a + b 100，íìïa + b = 2 ´ 52 ,ìïa + b = 24 ´ 5, 只有í3或2ïîb = 2 ´ 5,ïîb = 5

27、.故 BC 的长为 50 或 802007 年初中数学竞赛模拟试题(4)一、选择题（每小题 6 分，共 30 分）1. 若a 、b 都是质数，且 a2 + b = 2007 ，则a + b 的值等于（）（A）2004（B）2007（C）2005（D）20082. 一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的的最大值是（）（A）5（B）6（C）7（D）83. 已知 y =| + 2 | ，且2 x 1，则 y 的最大值与最小值的和是（）（A）1（B）2（C）4（D）5 4在ABC 中，若A58°，ABBC，则B 的取值范围是（）（A）0°B64°（B）58

28、76;B64°（C）58°B122°（D）64°B122°AOB5. 直线 y = 1 x + k 与 x 轴的交点分别为 A、B，如果 S1，那么， k 的取值范围是2（）（A） k 1（B）0 k 1（C）1 k 1（D） k 1 或k 1 二、填空题（每小题 6 分，共 30 分）6. 若实数a 满足 a 3 a a 2 ，则不等式 x + a 1- ax 的解集为7. 设 x 、x 是方程 x2 - 2(k +1)x + k 2 + 2 = 0 的两个实根，且(x + 1)(x+ 1) = 8 则k1212的值是8. 在直角坐标系中，

29、x 轴上的动点 M（ x ，0）到定点 P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为 MP 和 MQ，那么当 MPMQ 取最小值时，点 M 的横坐标 x 9. 从等边三角形内一点作垂线，已知这三条垂线的长分别为 1，3，5则这个等边三角形的面积是10 若正整数 a 、 b 、 c 满足 ab + bc = 518 ， ab - ac = 360 ，则 abc 的最大值 是三、解答题（每小题 15 分，共 60 分）ABC甲1056乙481511. 甲、乙两个蔬菜基地，分别向 A、B、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向 A 提供 45t，向 B 提供 75t，向提供 40t甲基地可安排

30、 60t，乙基地可安排100t甲、乙与 A、B、C 的距离千米数如表 1，设运费为 1元（km·t）问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值12. 已知 p 为质数，使二次方程 x2 - 2 px + p2 - 5 p -1 = 0 的两根都是整数求出 p 的所有可能值13. 已知 CACBCD，过 A，C，D 三点的圆交 AB F求证：CF 为DCB 的平分线AFCDB14. 一支科学考察队前往某条河流的上游去个区他们出发后以每天 17km 的速度前进，沿河岸向上进若干天后到达目的地，然后在区考察了若干天，完成任务后以每天 25km 的速度返回在出发后的第 60 天，考察队行进了 24km 后回到出发点试问：科学考察队在区考察了多少天？参考 一、选择题1C2B3B4A 5C3二、填空题6 x <三、解答题1 - a1 + a718 529 2710100811. 设乙基地向 A 提供 xt ，向 B 提供 yt ，向 C 提供100 - (x + y) t ，则甲基地向A 提供(45 - x)t ，向 B 提供(75 - y)t ，向 C 提供40 - (100 - x - y) = (x + y) - 60t 依题意，总运费为w = 10(45 - x) + 5(75 - y) + 6