2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题Word版含答案

1、2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答（2017年4月 9日）选择题答案123456AABDCD填空题答案123456782489.52504(12 472)4101475选择题1 .集合A=2, 0, 1,7 , B=x| x 2-2 A, x-2 A,则集合B的所有元素之积为 (A) 36.(B) 54.(C) 72.(D) 108.答：A.解：由 x2- 2 A,可得 x2=4, 2, 3, 9,即 x= 2, J2 ,瓜,3.又因为 x-2 A,所以 x 2, x 3,故 x= -2, 后,73,-3.因此，集合 B= -2, - J2 , J2，- 33 , J3

2、, - 3.BAC )=所以，集合B的所有元素的乘积等于(-2)(- 72)(72 )(- 33)(33 )(- 3)=36 .2.已知锐角 ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等，则 tan（(C) 1.(D)技答：A.解：作锐角 ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD, CE相交于点H,锐角 ABC的垂心H也在形内.连接BO交。于K , BK为e O的直径.连接AK , CK.因为 AD , CE是4ABC的高，/ KAB , / KCB是直径BK 上的圆周角，所以/ KAB= / KCB=90 ,于是 KA/CE , KC/AD , 因此AKCH是平行四边形.所以 KC=AH=A

3、O= 1BK2在直角 KCB中，由KC= 1 BK,得/ BKC=60° ,所以/2BAC= / BKC=60° .故 tan(3)= tan30=E.2 33 .将正奇数的集合1,3, 5, 7,从小到大按第n组2n-1个数进行分组：1 , 3, 5, 7 , 9, 11, 13,15,17,，数2017位于第k组中，则k为(A) 31 .(B) 32.(C) 33.(D) 34.答：B.解：数2017是数列an= 2n -1的第1009项.设2017位于第k组，则1+3+5+(2k-1)-1009,且 1+3+5+ +(2k-3)v 1009.即k是不等式组k 1009

4、的正整数解，解得 k =32,所以2017在第32组中.(k 1)10094.如图，平面直角坐标系 x-O-y中，A, B是函数y = 1在第I象x限的图象上两点，满足/ OAB=90且AO = AB ,则等腰直角 OAB 的面积等于(A) 1.(B)巨. (C)立. (D).2222答：D.解：依题意，/ OAB=90过点A做y轴垂线交y轴于点C,且 AO = AB , / AOB= / ABO=45过点B做y轴平行线，交直线 CA于点D .易见 COAA DAB .设点 A(a,),则点 B(a + , - a),aa a一，. ，一一 1 , 一， ,111因为点B在函数y =一的图象上

5、，所以(a + -)(- a)=1,即二-xa aaa2=1,12 1 121 n 2、2 ,5因此 Saabc = OA2= (2 + a2) = 4|(f a )4 .22 a22 - a25.已知 f(x)=x5+ax4 + a2x3+a3x2+a4x + a5,且当 m =1,2, 3, 4 时，f(m)=2017m,贝U f (10)-f (-5)= (A) 71655.(B) 75156.(C) 75615.(D) 76515.答：C.解：因为 当m =1,2, 3, 4时，f (m)=2017m ,所以1,2, 3, 4是方程f(x)-2017x=0的四个实根，由 于5次多项式f

6、(x)-2017x有5个根，设第5个根为p,则f (x)- 2017x = (x- 1)(x- 2)(x- 3)(x-4)(x- p)即 f(x) = (x - 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4)(x-p)+2017x .所以 f (10)=9 * X7>6(10-p)+2017 10, f (-5)=-6X7 刈 >9(5+p)-2017 >5,因此 f (10)- f (- 5)=15(9 8X7 >6+2017)=75615 .、|x|, x a,6,已知函数f (x),右存在头数 m,使得关于x的万程f (x)=m有四个x2 4ax 2a, x a.不同的

7、实根，则 a的取值范围是1111(A)a .(B)a .(C)a .(D)a .7654答：D.y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的解：要使方程f (x)=m有四个不同的实根，必须使得交点.而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m与函数y=|x|, xWa的图像和y=x2-4ax+2a, x>a的图像的交点分别都是2个.而存在实数 m,使y=m与y=|x|, x<a的图像有两个交点，需要 a>0,此时0vmwa;又因为一 ，、2y=x2- 4ax+2a, x > a顶点的纵坐标为4 2a (4a)2 一,所以， 要y=m 与 y=x

8、2- 4ax+2a, x>a的图像有两个交点，需要m > 4 2a (4a)因此y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足:工,J2, J3<2,因此向蜴向1,共3个1;同理，22<4, 5, 6, 7, 8V32,因此,4、, 5 屋 6w 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15V42,因此T9V10K=15依次类推，16 -25 ,.36 .49 ,64 、81S = (1,217 .26 局 50 '. 65 辰3)+( 423 34 47 62 国 .98 ',5.24 35 ,48 .63 80 .995,6,7,8,

9、9,6 、7J7 J82 ,共 5个 2;又 323 ,共7个3;9个4;11 个 5;13 个 6;15 个 7;17 个 8;19 个 9.而)+-+(屈LV99)0V mwa 且 m>4 2a (4"-1解得a -4二、填空题1.用冈表示不超过x的最大整数，设 S 而 诉 拘 L 回，求JS的值.答：24.解：因为12W1,2, 3<22,所以1W=1 超+2 X5+3 >7+4 X9+5 XI1+6 M3+7 M5+8 M7+9 M9=615 .因为 242=576 < 615=S< 625=252,即 24 V VS < 25 ,所以，J

10、S =24 .111111log2 2017log4 2017*2017log16 2017*2 2017 5 人/击2.确定(2017>2017X2017X2017X2017)5 的值.答：8.1解：原式=(2017 10g20172 g01710g2017 4 r017%0178 X2017log20i 切0 1 7*1732尸二(2 MX8M6X32)5= (21 X22 >23X24X25)3 11=(21+2+3+4+5)5=(215)5=23=8.3.已知 ABC的边AB= J29厘米，BC= A厘米，CA= 734厘米，求 ABC的面积.答：9.5平方厘米.解：注意到

11、13=32+22, 29=52+22, 34=52+32,作边长为5厘米的正方 形AMNP ,分成25个1平方厘米的正方形网格，如图.根据勾股定理， 可知，AB=J29厘米，BC=J13厘米，CA=J34厘米，因此 ABC的面 积可求.111一、. ABC 的面积=5X5- - >X5- - >2>5- - X2X3=9.5 (平万厘米).4.设函数f(x)答：2.(x 1)2 ln(.x2 1x2 1”的最大值为M,最小值为N,试确定M+N的值.解：由已知得f(x)因为ln(. x2 1 x)2x ln( x2 1 x)x2 1ln( .,( x)2 1 ( x) ln(

12、：( x)2 1 ( x)(. ( x)2 1(x)222= ln( x)2 1 ( x)2) ln1 0,所以 ln(J( x)2 1 ( x)ln(Jx21 x),因此，ln( x2 1 x) 是奇函数.2x ln( . x2 1 x)进而可判定，函数 g(x) (i)为奇函数.x 1则g(x)的最大值Mi和最小值Ni满足Mi+Ni= 0.因为 M =M 1+1 , N = Ni+1 ,所以 M + N = 2 .5 .设A是数集1,2,，2017的n元子集，且A中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n的最大值.答：504.解：在数集1,2,，2017中选取子集，使得子集中任意两个

13、数不互质，最大的子集是偶数集2,4,，2016共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于 1010的2倍是2020,所以集合A=1010, 1012, 1014,，2016中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A中恰有504个元素.事实上504是n的最大值.因为若从1009, 1011, , 2017中任取一个奇数，会与 A 中的与它相邻的偶数互质；若从 1,2, 3, ,1008中任取一数, 则它的2倍在A中，存在整除关系.6.如图，以长为4厘米的线段 AB的中点。为圆心、2厘米为半径画圆，交AB的中垂线于点 E和F.再分别以A、B为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线 AE 于点C

14、,交射线BE于点D.再以E为圆心DE为半径画圆弧 DC ,求这4条实曲线弧连接成的“卵 形" Afbcda的面积.（圆周率用 兀表示，不取近似值）答：（12-4 J2）兀4平方厘米.，一 1 C解：半圆（O, 2）的面积=5兀22=2兀因为 AO=OB=2 ,所以 AB=AC=BD=4 , AE=BE=2 姓,ED=EC=4 - 2 应.又/ AEB= / CED=90 , / EAB = / EBA=45 ,1,1因此，扇形 BAD的面积二扇形ACB的面积=1兀42=2 % AEB的面积=鼻>4X2=4,直角扇形Edc 的面积=1 «- 2 &）2= 6 7

15、1472 TT,卵形Afbcda的面积=半圆（o, 2）的面积+扇形bad的面积+扇形acb的面积-AAEB的面积+直角扇形?DC的面积=2 ti+2 >2 兀 4+6 兀 4 J2 兀=（12-4亚）兀4 （平方厘米）.27.已知f(x)x,、-3，求 f (1)+f (2)+ +f (100)的值.x2 100x 5000答：101.解：设 g(x) = x 2- 100X+5000 ,则g(100- x) = (100- x)2- 100(100-x)+5000=100 2- 200x+x2- 1002+100x+5000 =x2- 100x+5000= g(x),即 g(k) =

16、 g(100-k).k2 所以 f (k) + f (100- k)=g(k)一502222(100 k) k (100 k) =-=2,g(100 k)又 f (50)=50 100 50 5000=1, f(100) 二100g(k)10022-100 100 5000=2.DA所以， f(1)+ f (2)+ f (100)=(f (1)+ f (99)+ (f (2)+ f (98)+ + (f (49)+ f (51)+ f (50)+ f (100)=2 M9+1+2=101 .8.如图，在锐角 ABC中，AC = BC = 10 , D是边AB上一点， ACD的内切圆和 BCD的 与BD边相切的旁切圆的半径都等于 2,求AB的长.答：4期.解：线段AB被两圆与AB的切点及点D分成四段，由于两圆半 径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线 段长度分别记为 a, b, b, c,由于圆。2的切线长CE = CG ,所以BC+a = CD+b = （AC - c+b）+b,而 AC = BC ,所以 a+c = 2b .所以由等角关系可得 AOiFs O2BE,此推出ac = 4.分别计算 BCD和AACD的面积:S BCD2(BC CD BD), S acdO1FafBEO2E2(ACadBDAB a c 2b 4b.口2a上，即