无穷积分的性质与收敛判别法

1、§2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：Cauchy准则、比较判掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。教学内容：本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法uF(u)=fxdx在u一+8时是否存在a无穷积分的性质由定义知道，无穷积分fxdx收敛与否，取决于函数a极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。定理无穷积分fxdx收敛的充要条件是：任给>0,存在G>a,只要ui、u2>G便有au

2、2fxdxauifxdxa%fxdxui证明：由于fxdxaljmuafxdx=limF(u)，u所以fxdx收敛aliQF(u)存在uu2fxdxuiu2fxdxauifxdxa0,G>a,只要ui、u2>G便有|FM)F(ui).此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。性质i（线性T质）若fxdx与f2xdx都收敛，ki、k2为任意常数，则kifixk2f2xdx也收敛，且kifixk2f2xdx=kifiaaxdxk2f2axdx。(i)证明：记J1afiXdXlimaufixdx,J2f2xdxaulimauf2xdx,k2f2xdxu则ak

3、ifixk2f2xdx=iimakifixulimk1at(X)dXk2af2(X)dxu性质2若f在任何有限区间uk1limaf1(x)dxk2limf2(x)dxk1J1k2J2=k1afi(x)dxk2af2(x)dx.口au上可积,avb,则xdx与bfxdx同敛态（即同时收敛或同时发散），且有bfxdxfxdxaabxdx(2)其中右边第一项是定积分。证明：由于fxdx收敛Limfxdx存在.又limuxdx=lim(uxdxubfxdx)bfxdxaulimbfxdx,其中右边第一项是定积分。u所以axdx与fxdx同敛态（即同时收敛或同时发散），且有bbfxdxfxdxfxdx.

4、ab性质2相当于定积分的积分区间可加性(2)由性质2及无穷积分的收敛定义可推出fxdx收敛的另一充要条件：任给>0,存在G>a,当u>G时,总有fxdxu事实上,fxdx收敛J=limudx存在0,0,0,a,a,a,在任何有限区间G时,G时,G时,a，uxdxwxdxxdxfxdxdxfxudx)上可积，且有fxdx。xdx收敛，则xdx亦必收敛，并(3)证明：由fxdx收敛，根据柯西准则（必要性），任给>0,存在G>a,当U2>Ui>G时,aU2fxdxUi总有U2|fxdx|Ui利用定积分的绝对值不等式，又有U2fxdxUiU2fxdxUi再由柯

5、西准则（充分性）,证得fxdx收敛aU又因fxdxaUfxdxuaa,令u-+8取极限，立刻得到不等式.fxdx收敛时，称a性质3指出：绝对收敛fxdx为绝对收敛，称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。收敛。但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛（本节例3中当0vpwi时处xdx条件收敛）。1 xp二比较判别法这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法（比较准则及其三个推论）。UU由于fxdx关于上限u是单调递增的，因此fxdx收敛的充要条件是fxdx存在上aaa界。根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写出证明）：定理（比较法则）设定义在a,+8上的两个函数f和g都

6、在任何有限区G（u）间a,u可积，且满足fxgx,xa,）,则当g（x）dx收敛时fxdx必收敛（或者，当fxdx发散时，g（x）dxaaaa发散）。证明法一根据鼻习题2结论：设f为定义在a,）上的增（减）函数.则limf（x）x存在的充要条件为f在a,）上有上（下）界.U当ag(x)dx收敛时，limag(x)dxlimG(u)存在.又G(u)单增，从而存在M>0,使得UUUUF(U)=fxdxg(x)dxG(u)M,ua,)，即F(u)有上界M.又显然F(u)单增.aafxdx必收敛.u0,存在G>a,当u2>ui>G时,故lima1f31dxiimF存在,从而a法

7、二由于ag（x）dx收敛，根据柯西准则（必要性）,对任意总有u2u1gxdxU2又|fx|g(x),xa,).因此有|fx|dxulU2Uigxdx根据柯西准则（充分性）|f(x)|dx收敛.a解由于sinx1x20x为绝对收敛。sinx1x2dx的收敛性。1<xe0,1xdx，一，、，-）,以及-dxv为收敛（§1例4）,根据比较法则,01x22上述比较法极限形式如下:推论1若f和g都在任何a,u上可积,g(x)>o,且ljmgxc,则有(i)当0VCV+8时,fxdx与gxdx同敛态;(ii)当c=0时,由agxdx收敛可推知fxdx也收敛;（2当C=+8时，由agX

8、dX发散可推知afxdx也发散。、.|fx证明limc，c(0,).对0xgxc一|f(x)|c-,Ma,当xM时，、”c|-,即2g(x)2c|f(x)|3c2 g(x)2从而由比较法则结合性质2知，afxdx与agXdx同敛态.fx(ii)由|imJ0,对0,Ma,当xgxxM时，1f(x)1，从而|f(x)|g(x),g(x)从而由比较法则结合性质2知，由gxdx收敛可推知fxdx也收敛.(iii)lximgx对G0,Ma,当xM时，|f(x)|G,从而g(x)|f(x)|Gg(x),从而由比较法则结合性质2知，由gxdx发散可推知fxdx也发散.aa当选用dx入dx作为比较对象apax

9、g(x)dx时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论(称为柯西判推论2设f定义于a,)(a>0),且在任何有限区间a,u上可积，则有:1,，一(i)当fx-,xCa,)，且p>l时fxdx收敛;xpa,1,()当fx-,xea,)，且pw1时fxdx发放。paxa推论3设f定义于a,),在任何有限区间a,u上可积，且limxpfxx则有：(i)当p>1,0<V+8时，fxdx收敛；a(ii)当p<1,0VW+oo时，fxdx发散。a例2讨论下列无穷限积分的收敛性：2,、x-、x.1) xedx;2)dx.1 0-.x51解本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝

10、对收敛是同一回事。1)由于对任何实数都有limx2x2xlim?xe0.因此根据上述推论3(P=2,=0),推知1)对任何实数都是收敛的。2)由于1limx2x2x=1,x51因此根据上述推论3（p=a,=i）,推知2）2是发散的。fxdx的比较判别亦可类似地进行。狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法。定理（狄利克雷判别法）u若F(u)=fxdx在a,)上有界，g(x)在a,)上当aX一+oo时单调趋于0,则afxgxdx收敛。证明由条件设xdxwM,uCa,)。任给>0,由于|imgx=0,因此存在xx>G时，有gx何U2>ui>G,

11、存在U2U1fxgx4Meui,dx又因g为单调函数，利用积分第二中值定理（定理的推论）U2,使得UifxdxuigU2U2fxdx。于是有u2fu1dxgUiUi<4M根据柯西准则，证得fu1fxdx2M定理（阿贝尔（Abel）判别法）dx|g也uirfxdxa2M4Mdx收敛。u2fU2xdxu2fxdxaafxdx若fxdx收敛，g（x）在上单调有界,afxg(x)dx收敛。（留这定理同样可用积分第二中值定理来证明，但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明作习题10）。例3讨论snxdx与cosx（p>o）的收敛性。ixpixp解这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论

12、。下面分两种情形来讨论:sinx(i)当p>1时sUdx绝对收敛。这是因为1xpsinxxp1/x1,)，sinxxpdx收敛。dxdx当p>1时收敛，故由比较法则推知xp1(ii)当o<pw1时1吗xdx条件收敛。这是因为对任意心1,1xusinxdxcos1cos1u2,当p>0时单调趋于0(x-+8),故由狄利克雷判别法推知snxdx当xpp>0时总是收敛的。另一方面，由于sinxpx.2sinx1cos2x,x1,),其中2x2xcos2x,dx2x1cost-dt满足狄22t利克雷判别条件，是收敛的,dx一.一而dx是发散的，因此当12x0Vp<1时该无穷积分不是绝对收敛的。所以它是条件收敛的。例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:.2，2，.sinxdx,cosxdx,xsin1'11x4dx。证前两个无穷积分经换元t=