线性代数期末考试试题(卷)+答案解析合集

1、WORD格式×××大学线性代数期末考试题一、填空题将正确答案填在题中横线上。每题2 分，共 10 分1311.假设05x0，那么。122x1x2x302 假设齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，那么应满足。x1x2x303矩阵A，B，C(cij ) s n，满足AC CB，那么A与B分别是阶矩阵。a11a124矩阵Aa21a22的行向量组线性。a31a325n阶方阵A满足A23A E0，那么A1。二、判断正误正确的在括号内填“，错误的在括号内填“×。每题2 分，共10分1.假设行列式 D 中每个元素都大于零，那么D 0。2.零向量一定可以表示成任意一

2、组向量的线性组合。3.向量组 a1， a2， am中，如果 a1与 am对应的分量成比例，那么向量组a1， a2， as线性相关。01004.1000A 。A00，那么A10100105.假设为可逆矩阵 A 的特征值，那么 A 1的特征值为。 ( )三、单项选择题(每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每题2 分，共 10分 )1.设 A 为 n 阶矩阵，且 A2，那么 A AT。 2n 2 n 1 2n 1 42.n 维向量组1，2，s 3 sn线性无关的充要条件是。 1，2，s中任意两个向量都线性无关 1，2，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 1，2，s中任一个向量都不能用

3、其余向量线性表示专业资料整理WORD格式 1，2，s中不含零向量3. 以下命题中正确的选项是()。任意 n 个 n1维向量线性相关任意 n 个 n1维向量线性无关专业资料整理WORD格式任意任意n 1个 nn 1个 n维向量线性相关维向量线性无关专业资料整理WORD格式4.设 A ， B 均为n阶方阵，下面结论正确的选项是()。假设 A， B均可逆，那么 AB 可逆假设 A， B 均可逆，那么AB 可逆假设 AB 可逆，那么AB 可逆假设 AB 可逆，那么A， B均可逆5.假设1，2，3，4是线性方程组 A0 的根底解系，那么1234是 A0 的 解向量根底解系 通解 A 的行向量四、计算题

4、( 每题9 分，共63 分)x abcd1. 计算行列式axbcd。abx cdabcxd解·x abcdx a b c dbcdax bcdx a b c d x bcdabx cdx a b c dbx cdabcx d x a b c dbcx d1bcd1bcd( x a b c d ) 1 x bccd( x a b c d ) 0 x 0 0(x a b c d ) x31bxd00x01bcxd000x3012. 设ABA 2B，且A 110, 求B。014211522解. (A 2E)B A(A 2E) 1221 ，B (A 2E)1A432111223专业资料整理W

5、ORD格式110021343. 设B0110,C0213且矩阵满足关系式 X (C B)'E,求。0011002100010002a11224. 问a取何值时，以下向量组线性相关？111,2a , 3。2121a22x1x2x335.为何值时，线性方程组x1x2x32有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多x1 x2x32解时求其通解。 当1且2 时，方程组有唯一解；当2 时方程组无解211当时，有无穷多组解，通解为0c1 1c2 01001121349, 30106.设1, 2,4. 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向11370317量用该极大无关组线性表示。1007.

6、设A010 ，求A的特征值及对应的特征向量。021五、证明题(7 分)假设 A 是 n 阶方阵，且AAI，A1，证明AI0 。其中 I 为单位矩阵。专业资料整理WORD格式×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1.52.13.ss，nn4. 相关5. A 3E二、判断正误1.×2.3.4.5.×三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题1.x abcdx a b c dbcdax bcdx a b c d x bcdabx cdxabcdbx cdabcx d xabcdbcx d1bcd1bcd1x bcd0x003( x a b c

7、d )bx cd( x a b c d )0x(x a b c d ) x1001bcx d000x2.211522(A 2E)B A(A 2E) 1221，B (A 2E) 1A4321112233.123410000123，B )'2100C B012(C3210000014321C B '1000100012 100，X EC B'12 1001210121001210121专业资料整理WORD格式4.a1122a1， a2，a31a11( 2a 1)2 (2a 2) 当a1或 a1时，向量组a1，a2，a3线性相212821a22关。5. 当1且2 时，方程组有

8、唯一解；当2时方程组无解211当时，有无穷多组解，通解为0c1 1c2010016.1213121312134901001420142( a1， a2， a3， a4 )137034100016161031703170013131002010200110000那么r a1， a2， a3， a43 ，其中 a1， a2， a3构成极大无关组，a42a12a2a37.100EA010( 1)3002100010特征值1231，对于 1 1，1EA 000，特征向量为k 0l 002001五、证明题AI AAAA I AI AI A专业资料整理WORD格式2IA0，IA0专业资料整理WORD格式一

9、、选择题此题共4 小题，每题 4 分，总分值 16分。每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1、设 A ， B 为 n 阶方阵，满足等式 AB0 ，那么必有(A) A0或B 0;(B)AB0；CA 0或B0;(D)AB0 。2、 A和 B 均为n阶矩阵，且( AB)2A22 AB B2，那么必有(A)A E ；(B) BE ；C A B.(D) ABBA 。3、设 A 为m n矩阵，齐次方程组 Ax0 仅有零解的充要条件是(A)A 的列向量线性无关；(B)A 的列向量线性相关；C A 的行向量线性无关；(D)A 的行向量线性相关 .4、n阶矩阵 A 为奇异矩阵的充要条件是(A)A 的秩小于

10、n；(B)A 0 ；(C)A 的特征值都等于零；(D)A 的特征值都不等于零；二、填空题此题共4 小题，每题4 分，总分值 16分5、假设 4 阶矩阵 A 的行列式 A5， A 是 A 的伴随矩阵，那么A=。6、 A为n n阶矩阵，且A2A2E0，那么 (A 2E) 1。121x117、方程组23 a2 x23无解，那么 a。1a2x348 、二次型f ( x1, x2, x3) 2x123x22tx322x1x2 2x1x3是正定的，那么t的取值X围是。三、计算题此题共2 小题，每题8 分，总分值 16分1 x1119、计算行列式D11x11111y11111 y专业资料整理WORD格式10

11、、计算n阶行列式专业资料整理WORD格式x1 3x2xnx1x2 3xnDnx1x2xn 3四、证明题此题共2 小题，每题8 分，总分值 16 分。写出证明过程11、假设向量组1,2 ,3 线性相关，向量组2 , 3 , 4线性无关。证明：(1)1能有2,3 线性表出；(2)4 不能由1,2 ,3 线性表出。12、设 A 是 n 阶矩方阵，E是 n 阶单位矩阵， AE 可逆，且f (A) (E A)( E A)1。证明 1( E f ( A)( E A)2E ； 2f ( f ( A) A。五、解答题此题共3 小题，每题 12 分，总分值 32 分。解容许写出文字说明或演算步骤20013、设A

12、 032，求一个正交矩阵 P 使得 P 1 AP 为对角矩阵。023x1x2x3014、方程组x12 x2ax30 与方程组 x1 2x2 x3a 1有公共解。x14x2a2 x30求 a 的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，1 ，2 ，3是它的三个解向量，且专业资料整理WORD格式213，22134354求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空题5、 -125;6、；7、-1 ；8、t3 。25三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：xx0011 x11D0yy01111yx000第二列减第一列，第四列减第三列得：

13、1x104分D0y00101y按第一行展开得x10D x 0y001y按第三列展开得Dxyx 0x2 y 2。4 分1 y10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子nxi 3 ，再通过行列式的变换化i 1专业资料整理WORD格式为上三角形行列式专业资料整理WORD格式1x2xnn1x23xn 4分Dnxi3i 11x2xn31x2xnn030xi3i10033n1n4 分xi3i 1四、证明题11、证明：(1)、因为2，3 , 3线性无关，所以2 ，3线性无关。，又1，2，3线性相关，故1 能由2，3线性表出。(4 分)r (1， 2， 3)3 ， 2、反正法假设不，那么4 能由1，2

14、,3 线性表出，不妨设4k11k22k33 。由 1知，1 能由2，3线性表出，不妨设1t12t23 。所以4k1 (t1 2t23 )k2 2k33 ，这说明2，3,4 线性相关，矛盾。12、证明1(Ef (A)( EA) E(EA)( EA) 1( EA)( EA)( EA)( EA) 1(EA) (EA) (EA) 2E4 分 2f ( f ( A) Ef ( A) E f ( A)1专业资料整理WORD格式由 1得： Ef (A) 11 ( EA) ，代入上式得2f ( f ( A) E(E A)(EA) 1 1(EA)1 ( EA)( EA)( EA) 11(EA)2221 (EA)

15、1 (EA)A22五、解答题13、解： 1由EA0得 A 的特征值为11，22 ，35 。0211的特征向量为11 ，1122 的特征向量为20，0035 的特征向量为31。3 分1 3因为特征值不相等，那么1 ,2, 3正交。2 分101104将1,2 , 3单位化得 p11， p2012， p31021010101 5取P p1, p2, p322101221006P1AP02000514、解：该非齐次线性方程组Axb 对应的齐次方程组为Ax04 分4 分2 分1分专业资料整理WORD格式因 R( A)3 ，那么齐次线性方程组的根底解系有1 个非零解构成，即任何一个非零解都是它的根底解系。

16、5 分另一方面，记向量21( 23)，那么AA(2 123 ) 2A 1 A 2 A 3 2b b b 0直接计算得(3,4,5,6)T0，就是它的一个根底解系。根据非齐次线性方程组解的构造知，原方程组的通解为3 24 3x k1k， k R 。7 分546515、解：将与联立得非齐次线性方程组:x1x2x30,x12x2ax30,x14x2a2 x30,x12x2x3a 1.假设此非齐次线性方程组有解 , 那么 与有公共解 , 且的解即为所求全部公共解 .对的增广矩阵 A 作初等行变换得:1110111012a001a 104 分A000(a 2)( a 1).1 4 a 201 2 1a

17、1001 aa 11°当 a 1 时，有r ( A)r ( A) 2 3 ，方程组有解,即与有公共解,其全部公共解即为 的通解，此时10100100A00，0000001那么方程组 为齐次线性方程组，其根底解系为:0 ,1专业资料整理WORD格式1所以与 的全部公共解为 k0，k为任意常数.4分12°当 a2 时，有r ( A)r ( A)3 ，方程组有唯一解,此时10000101A01，01000000故方程组的解为 :1 ,即与有唯一公共解 x1. 4分11专业资料整理WORD格式线性代数习题和答案第一局部选择题(共 28 分)一、单项选择题本大题共14小题，每题2 分

18、，共 28 分在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式a11a12=m， a13a11=n，那么行列式 a11a12a13等于a21a 22a23a21a21a 22a23专业资料整理WORD格式A. m+nC. n-m1002.设矩阵 A= 020，那么 A- 1等于0031003A. 0 1 020011003C.01010023123.设矩阵 A = 101 ，A*是A的伴随矩阵，那么214B. -(m+n)D. m -n100B.0102100310021D.003010A *中位于 1，2 的元素是专业资料整理WORD

19、格式A.6B.6C.2D. 24.设 A 是方阵，如有矩阵关系式AB = AC，那么必有A.A=0B.BC时A=0C.A0时 B=CD.|A|0时B=C专业资料整理WORD格式5. 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，那么秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，那么A.有不全为0 的数1，2，s使11+ 22+ + ss =0 和11+ 22 +ss =0B. 有不全为0 的数 ，s使 + + 2+ + + +=01211122sssC.有不全为0 的数1，2，s使11- 1+2 2- 2+ s s- s=0D.有不全为0 的数

20、1，2，s和不全为 0的数 1， 2， s 使 1 1+ 2 2+ s s =0和 + + + s=01122s7.设矩阵 A 的秩为 r，那么 A 中A.所有 r-1 阶子式都不为 0B. 所有 r -1 阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08.设 Ax=b是一非齐次线性方程组， ， 2是其任意 2 个解，那么以下结论错误的选项是1A.1+2是 Ax=0 的一个解B. 11+ 12是 Ax=b的一个解22C. - 2是 Ax=0 的一个解D.2 - 是 Ax=b 的一个解1129.设 n 阶方阵 A 不可逆，那么必有A.秩 (A )<nB.

21、秩(A)=n - 1C.A=0D.方程组 Ax=0只有零解10.设 A 是一个 n( 3)阶方阵，以下陈述中正确的选项是A.如存在数和向量使 A = ，那么是 A 的属于特征值的特征向量B. 如存在数和非零向量，使 ( E -A ) =0 ，那么是 A 的特征值C.A的 2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如1，2，3是 A 的 3 个互不一样的特征值， 1， 2 ， 3 依次是A的属于 1， 2， 3 的特征向量，那么 1， 2， 3有可能线性相关11设.0是矩阵 A 的特征方程的3 重根， A 的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，那么必有A. k 3B. k<3C. k=3D

22、. k>312.设 A 是正交矩阵，那么以下结论错误的选项是A.|A|2必为 1B.|A |必为 1-1TD.A 的行列向量组是正交单位向量组C.A= A13.设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，TB = C AC.那么A.A 与B相似B.A与B不等价C. A 与 B 有一样的特征值D.A与B合同14.以下矩阵中是正定矩阵的为A. 23B.343426100111C. 023D. 120035102专业资料整理WORD格式第二局部非选择题共 72 分专业资料整理WORD格式二、填空题本大题共10小题，每题2 分，共 20 分不写解答过程，将正确的答案写在每题的空格内。错填或不填均无

23、分。11115.356.9253616.设 A =111， B =123.那么 A+2 B=.11112417.设A=(a ij)3×3， |A|=2， Aij表示|A|中元素aij的代数余子式 i,j=1,2,3 , 那么(a A +aA+a2A +aA+a2A+aA2.22A ) +(a21222223A ) +(a A +a3233) =112112132321233121222318.设向量 2 ，-3， 5与向量 -4 ， 6， a线性相关，那么a=.19.设 A 是 3×4矩阵，其秩为3，假设1，2为非齐次线性方程组Ax=b的 2 个不同的解，那么它的通解为.20.设 A是 m ×n矩阵， A的秩为r(<n) ，那么齐次线性方程组Ax=0 的一个根底解系中含有解的个数为.21.设向量、 的长度依次为2 和 3，那么向量 + 与 -的内积 + ， - =.22.设 3 阶矩阵 A 的行列式 |A|=8 ， A 有 2 个特征值 -1 和 4，那么另一特征值为.0106223.设矩阵 A=133， =1是