用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

1、用“点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦冋题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一兀二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。假设设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(xi，yj、B(X2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到 一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法 为“点差法。下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。一、求以定点为中点的弦所在直线的方程2 2例1、过椭圆仝 I 1 一点M(2,1)引一条弦，使弦

2、被 M点平分，求这条弦所在直线的164方程。解：设直线与椭圆的交点为 A(x-!, y1)、B(x2, y2)M (2,1)为 AB 的中点x1 x2 4 y1 y2 22 2 2 2又A、B两点在椭圆上，那么x1 4y1 16，x2 4y2 16两式相减得(x2 2 21X2 ) 4(y12、y2 )0于是(X1X2)(X1 X2)4(%y2)(%y2) 0Y1Y2X-|x241x-ix24( y1y2)4 22即kAB1,故所求直线的方程为y11-(X 2)，即 X 2y 40 o222例2、双曲线x2 1，经过点M (1,1)能否作一条直线l，使丨与双曲线交于 A、B，2且点M是线段AB

3、的中点。假设存在这样的直线丨，求出它的方程，假设不存在，说明理由。解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x-!, y1)、B(x2, y2)贝V X1X22 y1y222X12y11 ,2X22 宜 122两式相减，得(X1X2)(X1X2)知y2)(y1 y2)0kABy1y2 22X1X2故直线 AB: y 12(x 1)y 12(x 1)由 2 y2消去y，得2x2 4x 30x12(4)24 2 38 0这说明直线 AB与双曲线不相交，故被点 M平分的弦不存在，即不存在这样的直线丨。策略：此题如果无视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点 弦问题中判断点的 M位置

4、非常重要。(1)假设中点M在圆锥曲线，那么被点 M平分的弦一般 存在；(2)假设中点M在圆锥曲线外，那么被点 M平分的弦可能不存在。二、 求弦的中点坐标和中点轨迹方程2例3、椭圆匚752x251的一条弦的斜率为13,它与直线x 的交点恰为这条弦的中点2解:设弦端点 P(x1, y1)、Q(X2,y2)，弦PQ的中点M(Xo,yo)，那么xx22xo1，%y2 2yo22 22又y1X11 ，y2X2175257525两式相减得25(Y1Y2)(Y1y2)75(x1 x2)(x1 x2)o即 2yo(%y2) 3(X1 X2) oy1 y23X1 X22yok y1y233-3，1即yoX2 2

5、y02点M的坐标为(-,-)。2 22 2例4、椭圆匚 1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。7525解:设弦端点 P(x1, y1)、Q(X2,y2)，弦PQ的中点M(x, y)，那么x1x22x，%y22y22 22又y1X11 ，y2X2175257525两式相减得25(y1 y2)(y1y2)75(x1 x2)(x1 x2)oM，求点M的坐标。Xo即 y(yiy2)3x(x1X2)3xXiX2k 3 x1 x23x3，即xx由y275125，得P( - 3252) q(畧2 25 3)在椭圆它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为 x y求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、中心在原点，一焦点为

6、F(0, 50)的椭圆被直线l : y1横坐标为一，求椭圆的方程。22解：设椭圆的方程为笃a2?1，那么八/ 50 设弦端点P(x1, y1)、Q(X2,y2)，弦PQ的中点M (xo,yo)，X。-, y°23x022X12 2 又y1X1乂2.2ab1,2y22 a2X2b21两式相减得b (y1y2)(y1y2)即 b2(y1y2)a2(x1X2)0y1y2X1x22 a b22 a b73 一 -联立解得2 a75 ,b225X2 2x。 i，yi y2a2(x., x2)(x., x2) 02所求椭圆的方程是752125四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题2X例6、椭圆

7、一2J 1，试确定的m取值围，使得对于直线5.3)23x 2截得的弦的中点的那么2y。1y 4x m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设, B(X2,y2)为椭圆上关于直线y 4x m的对称两点，P(x, y)为弦RF22 2 2 2的中点，贝V 3捲4y,12，3X24y?12两式相减得，3(为2 x22)4(y12 y22)0即 3(xi X2)(Xi X2)4(yi y2)(% y?)0Xi X2 2x , yi y2 2y, 土_泡1X1 X24l对称的y 3x这就是弦PP2中点P轨迹方程。它与直线y 4x m的交点必须在椭圆联立yy3x4x，得Xm3m那么必须满足y23 3x

8、2,4my3 22 i32、i3即(3m)23m，解得m4i3i33例7、抛物线C: y (x -)2和直线l : y kx(k 0)为使抛物线上存在关于4两点，求k的取值围。解：设抛物线C上存在不同的两点(x1, y1), P2(x2, y2)关于直线l对称，线段RP2的中点为 M(xo，y°)，那么 Xi X2 2xo , yi y? 2y°3 23 2yi (xi)，y (X2)4 4-可得：yi % -3X-|x2，即KRP22xo3Xix222由于PP2l，所以KPP2丄,故i32Xo -,即i2xo30n3 i即X。kk2k24 2k又因为M(xo,y°)在直线l:y kx(k0)上，所以yo4i2，因为M (x°, y°)在抛物3 2线y (x)开口，所以Yo(xo，故 yo3ki0 ,所以k i。即卩k的取4442值围是i,策略：此题需要根据弦中点 M(x0,y0)位置求k的取值围，如果不考虑 M(x0,y0)位置，可