综合除法与余数定理

1、第七节综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除 法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。 本节我们将作一些初步介绍。一、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式f(x)除以除式g(x),(g(x) 0)得商式q(x)及余式r(x)时，就有以下等式：f (x) g(x) q(x) r(x)。其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x) 0。当r(x) 0时，就是f (x)能被g(x)整除。下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算一一综合 除法。例1、用综合除法求2x4 14x

2、4 7x除以x 2所得的商和余式2701442解：46124236商的各项的系数28余式 I (2x4 14x 4 7x3) (x 2)的商是 2x3 3x2 6x 2，余式是 8。上述综合除法的步骤是：(1) 把被除式按降幕排好，缺项补零。(2) 把除式的第二项-2变成2,写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。(3) 把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。(4) 用2乘商的第一项的系数2,得4,写在被除式的第二项的系数-7的 下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。(5) 用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数 0 的下面，同0相加，得到商的第

3、三项的系数-6。(6) 用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14 的下面，同14相加，得到商的第三项系数 2。(7) 用2乘商的常数项2,得4,写在被除式的常数项4的下面，同4相 加，得到余式&前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1,能不能利用综合除法计算呢？例2、求(3x3 10x2 23x 16) (3x 2)的商式Q和余式R。解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用x -去3 除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。二 Q=x2 4x 5，R=6b下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或

4、者二次以上的多项 式时也能够利用综合除法来求商和余式。例3、用综合除法求(3x4 7x3 11x2 10x 4) (x2 3x 2)的商Q和余式R。3711109664解:32123 I Q=3x2 2x 5， R=3x 2。二、余数定理余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀(17301783)发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。余数定理：多项式f(x)除以x a所得的余数等于f(a)略证：设 f (x) Q(x) (x a) R将x=a代入得f (a) R。例4、确定m的值使多项式f(x) x5 3x4 8x3 1 1x m能够被x-1整除解：依题意f(x)含有因式x

5、-1，故f(1) 0。1 3+8 + 11 + m= 0。可得m = 17o求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1,且它 被x-1除和被x-2除所得的余数相同。解：设 f ( x) x2 ax b f (x)被 x 3 除余 1,二 f (3)9 3a b 1V f(x)被x 1除和x 2除所得的余数相同, f (1)f (2)即1a b 4 2a b 由得a 3，代入得b 1 f ( x) x 23x 1 。注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。即： x2ax b (x 1)(x m) R(x2)(x n)R ( x 3)( x p) 1由 (x 1)(x

6、m) R (x 2)(x n)R，可得 m2, n1再由 (x 2)(x 1) R (x 3)(x p) 1，解得 p0。 f ( x) x 23x 1 。练习：1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。1)(3x44x35x26x 7)(x2)；2)5(x6x49 x314x 8)(x4)；3)3(x(ab c) x 2(abbcca)xabc)(x4)(9x45x222 y 2 8y48xy 318x3 y)(3x2y)；5)(2x47x316x215x15)(X22x3)；6)(x65x12 x37x)(x33x2 5x2)?a)2、一个关于x的二次多项式f (x)，它被x-1除余2,被x-3除余28,它可以 被 x+1 整除，求 f(x)