三角函数与解三角形

1、三角函数与解三角形三角函数初步一、知识清单1.常见角三角函数值01010-101不存在-102.三角函数的概念1角的概念扩充定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了叫，角分为正角、零角、负角；按终边位置不同产生象限角和轴线角；终边与角相同的角，可写成。2弧度制换算公式：；弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为，圆心角大小为，半径为r，又，则扇形的面积为。3三角函数的定义及三角函数值的符号y定义：设是一个任意角，P(x,y)是角终边上任意一点，它与原点的距离，那么角的正弦，余弦，正切，余切分别是。如图三角函数的符号：OxP(x,y)各三角函数的值在各象限的符

2、号示意图如下 3.同角三角函数的基本关系式和诱导公式1同角三角函数的基本关系式平方关系： 其等价形式为： 商式关系： 其等价形式为： ，. 注意：应用同角关系式应注意两点在同一题目中最多用一次平方关系式；用平方关系式是注意正负号的选取。2诱导公式诱导公式是指角的三角函数与诸如：，等角的三角函数之间的关系，其内容相似，极易混淆。规律：奇变偶不变，符号看象限。其中奇偶说的是的奇数倍和偶数倍，变与不变说的是函数的名称。Ps：； 。【针对训练】例1.已知角的定点为坐标原点，始边为x轴的正半轴。假设P(4,y)是角终边上一点，且，则y= 。例2.已知角的终边上一点P(,m)，且，则的值为 。例3.，则=

3、 。例4.已知，则 。例5.已知角，假设角与角的终边相同，则的值为 A.1 B.-1 C.3 D.-3二、高考常见题型与解题方法 1.同角三角函数的基本关系应用1同角并不拘泥与角的形式，如都成立，但是就一般不成立。利用可以实现角的正弦与余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化。运用公式时注意方程思想的应用，对于这三个式子，利用可以知一求二。对于含有的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一其次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体带入。公式的逆用及变形应用：，。 对于含有根号的，即形如其中A是或者可以转化为形如的三角函数式的式子，常把根号下的式子化为完全平方式，根据二次根式的性质化

4、简或求值。 2.利用诱导公式化简时注意以下几点1由终边相同的角的关系可知，在计算含有的整数倍的三角函数式时可直接将的整数倍去掉后再进行运算，如。2诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角函数有关问题特别是化简、求值、证明中常使用。3使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负。3.三角函数定义、同角关系和诱导公式的综合应用及方法1在计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧“1”的代换。为了解题的需要，有时可以将“1”用“”代替；切化弦。利用商数关系式把正切化为正弦和余弦函数；整体代替。将计算式适当变

5、形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系。2方程思想的渗透对于这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可以求出。；3诱导公式在三角形中的应用在ABC中，,故利用诱导公式可得以下等式：； ; ； ；对于这些等式在计算题中发挥重要作用。 4角角之间的关系相关角的终边对称性关于 对称关于 对称关于 对称关于直线 对称5六组诱导公式组数一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限例6.已知是第二象限的角，则 。例7.假设，则 。例8.已知则 例9.的值为 例10.的值是 ( ) A. B C0 D.例11.已知，且为第二象限角，则m的允许值为( ) A.

6、 B. C. D. 例12.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于( ) A. B. C. D.例13.在ABC中，角A，B均为锐角，且，则ABC的形状是( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 例14.给定性质：最小正周期为；图象关于直线对称则以下四个函数中，同时具有性质的是( ) A B C D例15.已知函数f(x)的部分图象如下列图，则f(x)的解析式可能为 A B C D三、综合能力提升1.设，求与表示的角的终边相同的角的集合 .2.假设，且，试确定角的终边所在的象限 .3.假设角是第二象限角，确定的符号 .4.1假设，则= . 2已知是关于的方程

7、的两个根，则= .5.假设，且，求的大小？ 6.给出以下各函数值：；，其中符号为负的是 A. B. C. D.7.已知为锐角，且，求得值.8.已知关于的方程的两个根分别为和，求： 1m的值； 2方程的两根及此时的值。9.，且，求的大小。10.是否存在一个实数k，使方程的两根是一个直角三角形的两个锐角的正弦值？三角函数的图象、性质及三角形中的应用一、知识清单1.三角函数图象考点能画出的图象，了解三角函数的周期性；了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响；理解正弦函数、余弦函数在区间0，2的性质如单调性、最大值和最小值以及图象与x轴的交点等，理解正切函数在区间的单调性。 2.

8、三角函数图象及其变换1“五点法”描图的图象在0，2上的五个关键横坐标分别为的点，再用光滑的曲线把这五点对应函数y的值连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。用五点法画简图的步骤与方法x00A0-A0三角函数图象的变换当函数表示一个振动时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，叫做初相。参数的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；的变化引起左右平移变换。 3.正弦、余弦、正切函数的图象与性质下表中函数定义域RR值域-1,1-1,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性为增；为减为增；为减为增对称中心对称轴无

9、另外：的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是。【针对训练】例1.把函数的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 A. B. C. D. 例2.要得到函数的图象，只要将函数的图象 A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度例3.函数在的图象大致为 例4.函数的最小正周期为 。 例5.如图是函数的部分图象，则以下命题中，正确命题的序号为_ _ 函数的最小正周期为； 函数的振幅为； 函数的一条对称轴方程为； 函数的单调递增区间为； 函数的解析式为4.三角恒等变换：两角和与差的正弦、

10、余弦和正切公式 正弦： 余弦： 正切： 5.半角公式1半角的正弦、余弦、正切2半角正切的变形公式；。Ps.：1试证明两角和的余弦公式 2推导两角和的正弦公式【针对训练】例6.已知角的定点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则= 例7.已知，则的值等于( ) A. B. C. D. 例8.设，则以下各式中正确的选项是( ) A. B. C. D例9.已知 (1)求的值； (2)求的值.例10.已知(1)求的值；(2)求函数的单调递增区间例11.已知函数. (1)求函数的最小正周期和最值； (2)指出图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称 6.三角形中的有关定理重要1特别提醒：

11、求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：正弦定理的一些变式：；.已知三角形两边一对角，求解三角形时，假设运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：，等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.(4)面积公式：其中r为三角形内切圆半径.如中，假设，判断的形状答：直角三角形。【针对训练】例12.中，A、B的对边分别是a,b，且,，那么满足条件的 A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定例13.的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为( )

12、A. B. C. D. 例14.在中，则 例15.在中，AB是成立的 条件. 例16.已知函数. (1)求函数的最小正周期T； (2)假设的三边a，b，c满足，且边b所对角为B，试求的取值范围，并确定此时的最大值 7.反三角函数了解 1反三角函数的定义以反正弦函数为例：表示一个角，这个角的正弦值为a,且这个角在内。 2反正弦、反余弦、反正切的取值范围分别是.在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、到的角、与的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？，二、高考常见题型与解题方法 1.三角函数图象的基本变换1由到的变换：函数的图象纵坐标不变，横

13、坐标向左0或向右0或向下k0个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 例18.将函数的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为 2.根据三角函数图象或性质求解析式：1由图象或性质求三角函数解析式的方法：在一个周期内或含两个峰值点的半个周期，假设最大值为M，最小值为m，则，。特别地，当k=0时，。由周期T求出，即由求出。确实定通常利用特殊点法、或通过图象的变换特点。注意：灵活运用待定系数法解决问题。例19.函数的部分图象如图，则的值分别是 例20.假设函数(0)的部分图象如图,则= x0+x0-y0y0 A.5 B.4 C.3 D.2 3.三角函数的

14、定义域和值域 1题型1：一次型直接代入法例21.求的值域。2题型2：二次型二次函数法例22.求的值域。 3题型3：分式型反表示法例23.求的值域。4题型4：二合一型例24.求的值域。5其它题型一般一个式子中同时出现和，常令：，则。例25.求的值域。 4.三角函数的单调性函数的单调区间确实定：看A、是否为正，假设为负，则先应用诱导公式化为正；将看作一个整体，化为最简式；结合A的正负，在和两个区间内分别确定函数的单调增减区间。例26.求函数在区间-2，2的单调增区间。例27.求函数在区间-，的单调增区间。三、高考真题训练 1.08全国一6是 A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数 C最小正周

15、期为的偶函数 D最小正周期为的奇函数 2.08全国一9为得到函数的图象，只需将函数的图像 A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位 C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位 3.(08全国二1)假设且是，则是 A第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 4.08全国二10函数的最大值为 A1 B C D2 5.08安徽卷8函数图像的对称轴方程可能是 ABCD 6.08福建卷7函数y=cosx(xR)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为( ) A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx 7.08广东卷5已知函数，则是 A、最小正周期

16、为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数 C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数 8.08海南卷11函数的最小值和最大值分别为 A. 3，1B. 2，2C. 3，D. 2， 9.08湖北卷7将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象，假设的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 A. B. C. D. 10.08江西卷6函数是 A以为周期的偶函数 B以为周期的奇函数 C以为周期的偶函数 D以为周期的奇函数 11.假设动直线与函数和的图像分别交于M,N两点，则的最大值为 A1 B C D2 12.08山东卷10已知，则的值是 A B C D 13.08陕西卷1等于 A B C D 14.08四

17、川卷4=( ) A. B. C. D. 15.08天津卷6把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到的图象所表示的函数是 A B C D 16.08天津卷9设，则 AB C D 17.08浙江卷2函数的最小正周期是 A. B. C. D. 18.08浙江卷7在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 A.0 B.1 C.2 D.4 19.08北京卷9假设角的终边经过点，则的值为 20.08江苏卷1的最小正周期为，其中，则= 21.08辽宁卷16设，则函数的最小值为 22.08浙江卷12假设，则_。 23.08上海卷6函数的

18、最大值是 24.在中，分别是角A、B、C所对的边，假设，则 ； 25.在中，假设其面积，则=_ _； 26.在中，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_； 27.在ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为 ； 28.在ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 ；29.设O是锐角三角形ABC的外心，假设，且的面积满足关系式，求 30. 08四川卷17求函数的最大值与最小值。 31. 08北京卷15已知函数的最小正周期为求的值；求函数在区间上的取值范围 32. 08天津卷17已知函数的最小值正周期是 求的值；求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合 33. 08安徽卷17已知函数 求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 求函数在区间上的值域 34. 08陕西卷17已知函数 求函数的最小正周期及最值； 令，判断函数的奇偶性，并说明理由 35. 在ABC中，内角所对的边分别为，已知. ()求证：成等比数列； ()假设，求的面积S. 36. 函数()的最大值为3, 其图像相