求二面角方法1定义法

1、二面角一一1定义法二面角二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度S射影二角刑数为，则cos,多用于求无棱二面角）求出二面角的大小。S侧面三角形求二面角的大小的基本方法为先证后算，即先由有关立几结论找出二面角的平面角（大多数题是用三垂线法去找），然后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类分析如下：定

2、义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性1.如图，四面体ABCD纨程BD长为2,其余各棱的长均是72,求：二面角ABD-CBACD的大小解析：（1）取BD的中点ACOC在AABD中，AB=AD=22,BD=2, AABD是等腰直角三角形，ACLBD同理OCLBD /AOC是二面角A-BD-C的平面角。又AO=OC=1,AC=22, ./AOC=90°即二面角A-BD-C为直二面角。(2)取AC的中点E,连BE、DE .AB=BCAD=DCBDLACDELAC /B

3、ED就是二面角的平面角,、6在ABDE中，BE=DE=,2、一1由余弦7E理，得COS32.在四棱锥PABCD43,ABC皿正方形，PAL平面ABCDPA=AB=a,求二面角B-PCD的大小。解:BCPA ABPA ADAB=AD=aPB=PDPB PDBC DC PBD PDC 过 B作 BHL PC于 H,连结 DH DHL PCPC PC故/BHM二面角B-PC- D的平面角。因 PB= 2a,BC= a,PC= 3a,1i2_a2 PB- BO S PBC = 2 PC- BH 贝U BH= 3 =DH又BD= T2a,在 BHD中由余弦定理，得:cos/BHD=BH2 DH2 BD2

4、2bh|bd22也a 2a a33、6一a36一a3又 0v/ BHDc 兀,贝U/ BHD=3 ,二面角BPC- D的大小是 33.三棱锥A-BCD中，/BAC=ZBCD=90°,ZDBC=30°,AB=AC=遍,AD=4,求二面角ABCD的度数。解：由已知条件/BAC=90°,AB=AC,BC=2<3DCBCtan30°.AD2AO2OC2CD解之得：1cos一2150A2口32/K)22AOCDcosr/°：CBD设BC的中点设为O,则OAOG=用4.如图ACL面BCDBD1面ACD若AG=CD=1,/ABC=30°,求二

5、面角CABD的大小。解：cos即所求角的大小为'3arccos。3（此题也可用垂线法）练习:21.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB/DC1DAB90PA底面ABCD且PA=AD=DC=AB=1,M是PB，2的中点。(I)证明：面PADL面PCD(n)求AC与PB所成的角；(出)求面AMCW面BM的成二面角的大小。方案一：(I)证明：PA，面ABCDCD!AD由三垂线定理得：CDLPD.因而，CD与面PAD内两条相交直线ADPD都垂直，CDX面PAD.又CD面PCD面PADh面PCD.(n)解：过点B作BE连ZAE,可知AC=CB=BE=AE=2所以四边形ACBE为正方形.由

6、PA1面ABCD导/PEB=9(J在RtPEB中BE=V2,PB=/5,cosPBEBE.10PB510AC与PB所成的角为arccos.5(m)解：作ANI±CM垂足为N,连结BN.在RtPAB中,AM=MB又AC=CB.AMC2BMC,BNI±CM故/ANB为所求二面角的平面角CB±AC,由三垂线定理，得CB±PC,在RtPCB中,CM=MB所以CM=AM.ACo一一在等腰二角形AMC中,AN-MC=CM2()2AC2AB=22_2_2cos ANBANBNAB2ANBN故所求的二面角为arccos(2).3方法二：因为PAPD,PAAB,AD

7、77;AB,以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,)2(I)证明：因AP(0,0,1),DC(0,1,0)，故APDC0,所以APDC.由题设知AD±DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC!又DC面PCD上，故面 PADL面PCD.R,使 NC MC,面PAD.(n)解：因AC(1,1,0),PB(0,2,1),cos AC,PBAC PB10| AC | | PB| 5故|AC|<'2,|PB|5,ACPB2,所以(m)解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在NC(1x,1y,z),MC(1,0,-),x1,y1,z-22一一一一14要使ANMC,只需ANMC0即xz0,解得一.25412可知当4时,N点坐标为(1,1,4)，能使ANMC0.5551212一此时，AN(一,1,一)，BN(-