2019江苏卷数学高考真题

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4 .作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5 .如需作图，须用 2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

2、参考公式：21 n _ 2_1 n样本数据x1, x2，xn的万差s xx,其中x x n i 1n i 1柱体的体积V Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.1 . 锥体的体积V - Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1,已知集合 A 1,0,1,6, B x|x 0,x R,则 AI B .2 .已知复数（a 2i）（1 i）的实部为0,其中i为虚数单位，则实数 a的值是 .3 .下图是一个算法流程图，则输出的S的值是 .4 .函数y .7 6x x2的定义域是 .5 .已知一组数据6,

3、7, 8, 8, 9, 10,则该组数据的方差是.6 .从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .2在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线x2 丫2 1(b 0)经过点(3, 4),则该双曲线的渐近线方程是 b27 ,贝U S8的值是 .一,、一，* . 一已知数列an(n N )是等差数列， &是其前n项和.若a2a5 a8 0,0如图，长方体 ABCD A1B1C1D1的体积是120, E为CC1的中点，则三棱锥 E- BCD勺体积是 .7.8.9.10111213144.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y x (x 0)上

4、的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最 x小值是 .在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点 A处的切线经过点(-e , -1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 . uur uur uuur uuur.如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA AD与CE交于点。.若AB AC 6AO EC,AB则CB的值是 .AC.已知 一tan2 ,则$小2-的值是 .tan -344.设f (x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4, g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数. k(x 2),0 x 1当 x (0,2时，f(x)，

5、(x 1)2 , g(x) 1，其中 k>0.若在区间(0 , 9上，关,1x22于x的方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则 k的取值范围是.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)在ABC3,角A, B, C的对边分别为 a, b, c.(1)若 a=3c, b= J2 , cos B= 2 ,求 c 的值； 3sin A cosB(2)若，求sin(B )的值. a 2b216 .(本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC-ABC中，D, E分别为 BC AC的中点，AB=B

6、C求证：(1) AB/平面DEC;(2) BEL GE.小 1cT J M ' c17.(本小题满分14分)22x y如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C:二一 1(a b 0)的焦点为曰(-1、0), a bF2 (1, 0).过F2作x轴的垂线l ,在x轴的上方，l与圆F2：(x1)2y24a2交于点A,与椭圆C交于点D连结AF并延长交圆F2于点B,连结BE交椭圆C于点E,连结DF.已知DF=5. 2(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标.18.(本小题满分16分)如图，一个湖的边界是圆心为 O的圆，湖的一侧有一条直线型公路1,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路

7、1上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路 PB QA规划要求：线段 PB QA上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O的半径.已知点 A、B到直线1的距离分别为 AC和BD (C D为垂足)，测得 AB=10, AC=6, BD=12 (单位：百米).(1)若道路PB桥AB垂直，求道路 PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路 PB和QA勺长度均为d (单位：百米).求当d最小时，P、Q两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R、f'(x)为 f (x)的导函数.(

8、1)若 a=b=c, f (4) =8,求 a 的值；(2)若ab, b=c,且f (x)和f'(x)的零点均在集合 3,1,3中，求f (x)的极小值；4(3)若a 0,0 h 1,c 1,且f(x)的极大值为 M求证：Me 一 .2720 .(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“W数列”.(1)已知等比数列an(nN )满足：a2a4a5,a34a24a40 ,求证：数列an为“Mk数列”；* 一 .122.一. .一 一(2)已知数列bn (n N )满足：bi 1 ，其中S为数列b的前n项和.Sn bn bn 1求数列bn的通项公式；设m为正整数，右存在 数列

9、 cn(n N ),对任意正整数 k,当k< m时，者B有ck蒯bk ck 1成立, 求m的最大值.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1. 1,62.28.169.10二、解答题3.54. 1,710.45.5311. (e, 1)6.1107. y.2x12. 3213.1214.*103 415 .本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力满分14分.2解：(1)因为 a 3Gb V2,cos B ,3由余弦定理 cos B a2 C

10、2 b2 ,得 2 (3c)2 c2 (12)2 ,即 c2ac 32 3c c所以c .3(2)因为sin A由正弦定理asin AcosB2bb c cosB,得sin B 2bsnB ,所以 cosB 2sin B . b222从而 cos B (2sin B),即 cos B22 _4 1 cos B ,故 cos B因为 sin B 0,所以 cosB 2sin B0,从而cosB255因此sin B16 .本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：(1)因为D, E分别为BC AC的中点，所以ED/ AB

11、在直三棱柱 ABC-ABG中，AB/ AB,所以AB / ED又因为ED?平面DEC, A1B1 平面DEC,所以AB /平面DEC.(2)因为AB=BC E为AC的中点，所以 BEL AC因为三棱柱ABC-ABG是直棱柱，所以 CCL平面ABC又因为BE?平面ABC所以CCLBE因为 GC?平面 AACC，AC?平面 AACC, GCA AC=C,所以BEL平面AACC因为CE?平面AACC，所以BEL C1E.17 .本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1）设椭圆C的

12、焦距为2c.因为 Fi(-1 , 0) , Fz(1 , 0),所以 FiFz=2, c=1.(2)2 225. 又因为DF= , AFx轴，所以 2因止匕2a=DF+DE=4,从而a=2.由 b2=a2-c2,得 b2=3.22因此，椭圆C的标准方程为-y- 1.43x21 , a=2,由（1）知，椭圆C：4因为AFx轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆E的方程（x-1） 2 +y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A（1 , 4）.又 F(-1 , 0),所以直线 AF: y=2x+2.由y (x2x 2221) y,得 5x2 6x 11160,解得115y 2

13、x 2,12£11一代入511123因此 B(,).又 F2(1 , 0),所以直线 BE: y (x 1).554y 3(x 1)13由 22，得 7x2 6x 13 0，解得 x 1或 x -.二七1743又因为E是线段B桎与椭圆的交点，所以 x 1.333将 x 1 代入 y (x 1),得 y -.因此 E( 1,-).422解法22由（1）知，椭圆C: jx_ -y- 1.如图，连结EF.43因为 BF=2a, EF+EE=2a,所以 EF=EB从而/ BFE=Z B因为FAFzB,所以/ A=/B, 所以/ A=/BFE,从而 EF/ FA 因为AF，x轴，所以EF，x轴

14、.x 1 3 因为 Fi（-i , 0）,由 x2 V2，得 y .y- 1243一, 一 ,，_、，_3又因为E是线段BE与椭圆的交点，所以 y -.23因此 E（ 1,-）.218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法由已知条件得，四边形 ACDE矩形,DE BE AC 6, AE CD 8.'（1）过A乍AE BD ,垂足为E因为PBL AB所以 cos PBD sin ABE8 410 5所以PBcos PBD12T15.因此道路PB勺长为15 （百米）I第18题）（2）若

15、麻加，由（1）可得E在圆上，则线段BEh的点（除B, E）到点O勺距离均小于圆 O勺半径，所以 P选在皿不满足规划要求.10若M皿，连结AD由（1）知AD . AE2 ED2一 2 一 22AD AB BD从而 cos BAD 0 ,所以/ BAD/锐角.25所以线段AD:存在点到点O勺距离小于圆O勺半径.2AD AB因此，Q选在叫也不满足规划要求.综上，可口的匀不能选在 比.（3）先讨论点P勺位置.当/OBP90。时，线段PBE存在点到点 O勺距离小于圆 O勺半径，点P不符合规划要求;当/OB由90。时，对线段PBh任意一点F, OF>OB即线段PBh所有点到点 O勺距离均不小于圆 O

16、勺半径,点留合规划要求.设Pi为l上一点，且PB AB ,由（1）知，RB=15,3此时 PD PBsin PBD PB cos EBA 15 - 9;5当/ OBP90 时，在 PRB 中，PB RB 15.由上可知，d> 15.再讨论点Q 勺位置.由（2 ）知，要使得QAR 15 ,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ JQA2 AC2 由52 62 3伤.此时，线段QAk所有点到点O勺距离均不小于圆O勺半径.综上，当PBL AB点Q位于点C右侧，且C&3J21时，d最小，此时P, Q两点间白距离PaPDHCt+CQdT+Bj .因此，d最小时，P,

17、 Q两点间的距离为17+3J21 （百米）.解法二：（1）如图，过COHL l ,垂足为H.以刖坐标原点，直线 OH; y轴，建立平面直角坐标系.口lir cy t因为BO12, AC=6,所以OH9,直线l的方程为y=9,点A,由勺纵坐标分别为3,-3.因为AB圆O勺直彳5, AB=10,所以圆O勺方程为x2+y2=25.3 从而A (4, 3) , B (-4, -3),直线AB勺斜率为3.4因为PBL AB所以直线PB勺斜率为 4,3,、，425直线PB勺方程为y4x 25.3 3所以 P (-13, 9) , PB ( 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB勺长为15(百米).

18、(2)若麻皿，取线段BDh一点E (-4, 0),则EG4<5,所以建在皿不满足规划要求 若中D处，连结AD由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3),所以线段AD y 3x 6( 4软Jx 4). 4在线段ADh取点M (3,竺)，因为OM 32 ，32 42 5,4 4所以线段ADk存在点到点O勺距离小于圆O勺半径.因此睦在叫也不满足规划要求.综上，片口 Q匀不能选在 比.(3)先讨论点P勺位置.当/OBP90。时，线段PBk存在点到点 O勺距离小于圆 O勺半径，点P不符合规划要求；当/ OB由90。时，对线段PBk任意一点F, OF> OB即线段PE±所有点到

19、点 O勺距离均不小于圆 O勺半径， 点留合规划要求.设 Pi为 l 上一点，且 PB AB ,由(1)知，FB=15,此时 Pi (-13, 9);当/OBP90 时，在 /XPEB 中，PB RB 15.由上可知，d> 15.再讨论点Q 勺位置.由(2)知，要使得 QA> 15,点Q只有位于点 C勺右侧，才能符合规划要求 .当QA=15时，设Q ( a, 9),由 AQJ(a4)2(93)215(a 4),得a=43后,所以 Q(43历,9),此时，线段 QAh所有点到点。勺距离均不小于圆O勺半径.综上，当P (-13, 9) , Q (4 3后，9)时，d最小，此时P, Q两点

20、间的距离PQ 4 3.21 ( 13) 17 3.21 .因此，d最小时，P, Q两点间的距离为17 3历(百米).19.本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理 能力.满分16分.解：(1)因为 a b c,所以 f(x) (x a)(x b)(x c) (x a)3.因为f (4) 8,所以(4 a)3 8 ,解得a 2 .(2)因为b c,所以 f(x) (x a)(x b)2 x3 (a 2b)x2 b(2a b)x ab2 ,从而 f'(x) 3(x b) x 刍b .令 f'(x) 0 ,得 x b或 x 2ab 33

21、2 a b 一 一 一 .一.因为a b旦上，都在集合 3,1,3中，且a b, ''32a b所以/b i,a 3,b3.3此时 f(x) (x 3)(x 3)2, f'(x) 3(x 3)(x 1).令f'(x) 0,得x 3或x 1.列表如下:x(,3)3(3,1)1(1,)f'(x)+0一0+f(x)Z极大值极小值Z所以f(x)的极小值为f(1) (1 3)(1 3)232 .(3)因为 a 0,c 1,所以 f(x) x(x b)(x 1) x3 (b 1)x2 bx, f'(x) 3x2 2(b 1)x b.因为 0 b 1 ,所以

22、4(b 1)2 12b (2b 1)2 3 0,则f'(x)有2个不同的零点，设为 x1,x2 x1 x2 .b 1 b2 b 1由 f'(x) 0,得*1 ,x23列表如下:x(,x1)x1x1，x2x2(x2 ,)f'(x)+0一0+f(x)Z极大值极小值Z所以f (x)的极大值M f x1解法一：32,M f x1x1 (b 1)x1 bx12 b2b 1Xib(b 1)92 b2 b 1 (b 1)b(b 1)27272(b 1)2(b27b(b 1)91)227227(, b(b1j-l)3b(b 1)27解法二：227427因此M4279x b 13x； 2

23、(b 1)xi b生39因为0 b 1 ,所以x (0,1).当 x (0,1)时，f(x) x(x b)(x 1) x(x 1)2.令 g(x) x(x 1)2,x (0,1),则 g'(x)1令g (x) 0,得x -.列表如下: 3x1 (0,3)13或)g'(x)+0一g(x)Z极大值1 ,/、一一一14-时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)maxg -3327所以当x44所以当 x (0,1)时，f (x) g(x) 一 ,因此 M 一 .272720.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及 综合运用数学知识

24、探究与解决问题的能力.满分 16分.解：(1)设等比数列an的公比为q,所以210, qw0.2 44,a2a4a5/曰 a1qa1q初/曰ai1由，得 r2 r,解得a3 4a2 4a1 0a1q 4a1q 4a1 0 q 2因此数列an为“MH数列”.，122 八(2)因为-,所以bn 0.Sn bn bn 11 2 21,S1b1，得彳彳 ，则 b22 .bJ2122bnb. i一 一 一，得 Sn Snbnbn 12(bm 0)当n 2时，由bnSnSn 1 ,得 bnbA 12 bn 1bnbnh2 bnbm整理得bm bm2bn .所以数列 bn是首项和公差均为1的等差数列 *因此

25、，数列bn的通项公式为bn=n n N由知，bk=k, k N .q>0.因为数列cn为“M-数列”，设公比为q,所以C1=1,其中 k=1, 2, 3,，m因为 CkW bkW Ck+1,所以 qk 1 k qk当k=1时,有q>1 ；当 k=2, 3,，MJ寸,有如lnqkln kk 11 ln x2- x一 ln x一设f (x)=(x 1),则 f (x) x令 f'(x)0,得*=3.列表如下:x(1.e)e(e , +°0)f'(x)+0一f (x)极大值4f(k)maxf(3)竽3因为ln-22ln86ln9 ln3一 一，所以63取 q 3

26、/3,当 k=1 , 2, 3, 4, 5时,经检验知qk 1 k也成立.因此所求mM勺最大值不小于5.若6,分别取 k=3, 6,得3wq3,且q5w6,从而 q15>243,且q15w216,所以 林存在.因此所求m勺最大值小于6.综上，所求mM勺最大值为5.数学n（附加题）.若多做，则按21 .【选做题】本题包括 A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)-一 3 1已知矩阵A2 2(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.B.选修4-4 :坐标系与参数方程(本

27、小题满分10分)在极坐标系中，已知两点A 3- , B 22,-,直线l的方程为sin 3.424(1)求A, B两点间的距离；(2)求点 度IJ直线l的距离.C.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)设x R ,解不等式X| + |2 X 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .(本小题满分10分)设(1 x)na0a1xa2x2Lanxn,n4,nN*.已知a；2a2a4.(1)求n的值；(2)设(1 a b点，其中a,b N*,求a2 3b2的值.23 .(本小题满分10分)在平

28、面直角坐标系xOy中，设点集An (0,0),(1,0),(2,0),(n,0)Bn(0,1),(n,1),Cn (0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2), n N .令Mn An U Bn UCn.从集合M中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离(1)当n=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n (n>3),求概率P (X< n)(用n表示).数学n (附加题)参考答案21 .【选做题】A.选修4-2:矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.3解：（1）因为A23 1 32 2 212 3 12 2 2

29、 112，所以A23 32 3121 211 5=2 210 6(2)矩阵刖特征多项式为f()4.令f( ) 0,解得A的特征值1 1, 2 4.B.选修4-4:坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.解：(1)设极点为O在4OA叽A (3, -) , B(a,-),由余弦定理，得 AB=.32 (；2)2 2 3 .2 cos( -).5.2 4(2)因为直线l的方程为 sin(-) 3 ,则直线l过点(3 J2,-),倾斜角为3-.又B(J2,-),所以点即直线l的距离为(372 72) sin(3- -) 2.C.选修4 - 5：不等式选讲本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分“, ,1解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2,解得x<-；3当0Wxw 1时，原不等式可化为 x+1 - 2x>2,即x<-1,无解； 210分.，1当x>-时，原不等式可化为 x+2x-1>2,解得x>1. 2八，一一一，1 一综上，原不等式的斛集为 x|x3或x 1.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分.解：(1)因为(1 x)n C0