数列基础知识归纳

1、必修5数列础知识归纳一、数列的有关概念：1 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项.记作an,在数列第一个位置的项叫第 1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为n的项叫第n项(也叫通项)，记作an. 数列的一般形式：ai，a2，a3，an，简记作an.2. 通项公式的定义：如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这 个公式就叫这个数列的通项公式.说明：an表示数列，an表示数列中的第n项，an = f(n)表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一.例如，an = (- 1)n1(kz)；(3)不是每个数列都有

2、通项公式.例如，1, 1.4, 1.41, 1.414,. 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数f(n),当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值 f(1),f(2), f(3),，f(n),通 常用an来代替f(n)，其图象是一群孤立的点.3. 数列的分类：(1) 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；(2) 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列 (递增数列、递减数列)、常数列和摆动 数列.4. 递推公式的定义：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an -1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就

3、叫做这个数列的递 推公式.n5. 数列an的前n项和的定义：Sn = a1 + a2 + a3 +an八ak称为数列an的前n项和.要k总理解Sn与an之间的关系.6. 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第.2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.2即：an为等比数列二 an + 1-an = d：二 2an + i = an + an + 2：二 an = kn + b：= Sn = An + Bn.7. 等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第.2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数.，那么 这个

4、数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母q表示(q - 0),即：an为等比数列an + i : an = q (q = 0) 、 an .i2注意条件 从第2项起” 常数”.由定义可知：等比数列的公比和项都不为零.二、等差、等比数列的性质：等差数列(AP)等比数列(GP)通项公式an = a1 + (n - 1)dan = a1q"1 (a 0，0)前n项和S _n(a1 +an)_na J(n -1)d2 28 ,q =1,S"=2a1(1_q") g1.1 1 -q性质an = am + (n - m)den _m an = amqm

5、+ n = s + t，贝U am + an = as +atm + n = s + t，贝U am -an = as at Sm， S2m - Sm， S3m - S2m，成APSm， S2m - Sm， S3m - S2m，成 GP (q -1或m不为偶数) ak，ak + m，ak + 2m，成 AP，d"=mdak， ak + m， ak+2m，成 GP， q" = q注：1.等差(等比)数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差(等比)数列.2.三个数成等差的设法：a-d，a，a + d;四个数成等差的设法：a - 3d，a-d，a + d，a + 3d;3. 三

6、个数成等比的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设法：a/q3，a/q，aq，aq3 (为 什么？)4. an为等差数列，则 A? (c > 0)是等比数列.5. bn (bn> 0)是等比数列，则log cbn (C > 0且C= 1)是等差数列.6. 公差为d的等差数列an中，若d > 0，则an是递增数列；若d = 0，则an是常数列； 若d < 0，则an是递减数列.7. 等比数列an中，若公比为q,则(1)当 a1 > 0，q > 1 或 a1 < 0，0 < q < 1 时为递增数列；(2)当 a1 < 0，q

7、 > 1 或 a1 > 0,0 < q < 1时为递减数列；(3) 当q < 0时为摆动数列；(4)当q = 1时为常数列.8. 等差数列前n项和最值的求法：(1) a1 > 0， d < 0时，Sn有最大值；a1 < 0， d > 0时，Sn有最小值.Sn最值的求法： 若已知S,可用二次函数最值的求法(n，N*)； 若已知an，则Sn取最值时n的值(n N*)可如下确定：Sn最大值羊“-?(或$最小©n十兰0值 aS0 )1 an.三、常见数列通项的求法：1 .定义法(利用AP，GP的定义).2.累加法(an + 1 一 an

8、= cn型)：an = a1 + (a2 - a” + (a3 - a2)+ + (an - an -1) = a1 + C1 + c + + cn -1( n - 2).3.公式法:aS (n =1)氏Sn 丄(n _2)4. 累乘法(匹*型)：an = ai皂更山”电=ai ”ci C2，g_i(n王2). aai &an 丄5. 待定系数法：an + i = qan + b (q - 0, q - 1, b = 0)型，转化为 an + i + x = q(an + x).可 以将其改写变形成如下形式：an + i +丄=q(an+亠)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式.q

9、 _i 八q _i6 .间接法(例如：an + i an = 4an + i an! - _4 ).an 卡 an四、数列的求和方法：除化归为等差数列或等比数列求和外，还有以下一些常用方法：i .拆项求和法(an = bn_cn)：将一个数列拆成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、 常数数列等等)，然后分别求和.如an = 2n + 3n.2. 并项求和法：将数列的相邻两项(或若干项)并成一项(或一组)先求和，然后再求Sn. 女口“Sn二i2_2232一42号_62(2n-i)2_(2n)2”的求和.an = f(n + i) - f(n)，使得正需要掌握一些常见的裂项，3. 裂项相消法：将

10、数列的每一项拆(裂开)成两项之差，即 负项能互相抵消，剩下首尾若干项.用裂项相消法求和,如:i(An B)(An C)i iiC-B(An B _An C)i = i1_n(n T) nn Ti_ia . b _a _b(.a Y，b)等.4. 错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.对一个由 等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错位相减法.即错位相减法一般只要求解决下述数列的求和：若 an = bncn，其中bn是等差数列， Cn 是等比数列，则数列an的求和运用错位相减法.记

11、Sn = biCi + b2C2 + b3C3 + + bnCn，贝U qSn = biC2 + b2C3 + + bn - iCn + bnCn + i， 如 an = (2n - i) -5. 倒序相加法：将一个数列的倒数第 k项(k = i, 2, 3,，n)变为顺数第k项，然后 将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.注意：(i) “数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需 要学习任何理论，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和 之中.(2) “错位”与“倒序”求和的方法是比较特殊的方法.(3) 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适的方法.(4) 重要公式： i + 2 + + n = n(n + i); i2 + 22 + + n2 =丄 n(n + i