数列通项、数列前n项和的求法例题测验

1、通项公式和前n项和一、新课讲授:求数列前N项和的方法1.公式法(1) 等差数列前n项和：Sn(ai an) na n(n 1)dSnnad2 2特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k .(2k - l£ak d，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。(2) 等比数列前n项和：q=1 时，Sn 二 nqai 口 q )q -1，Sn，特别要注意对公比的讨论。1I I>1 -q(3 )其他公式较常见公式:1、nSn八kk 二1n(n 1)2nSn = ' k2kT1n(n 1)(2 n 1)63 123、Sn 八 k = n(n 1) 心2例1已知lo

2、g 3 x ，求x x2 x'xn 的前n项和. log 2 3例 2设 Sn= 1+2+3+ +n , n N ,求 f (n)n 的最大值.(n +32)亦2错位相减法an bn这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列23n 1例 3求和：Sn =1 3x 5x 7x 亠亠(2n -1)x 例4求数列2 42,22623,n ,前n项的和.2n练习：求：Sn=1+5x+9x + +(4n-3)x -答案：当 x=1 时，Sn=1+5+9+ + (4n-3) =2n 2-n当 x 工 1 时，

3、Sn=记+1-( 4n-3) xn 3. 倒序相加法求和，再把它这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)与原数列相加，就可以得到 n个(a1 an).2 0 2。 2© 2 2°例 5求 sin 1 sin 2 sin 3 亠 亠 sin 88 sin 89 的值4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等 比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1例6求数列的前n项和：11,4,弋 7,一口 3n -2，a aa111 1练习：求数列12,24 -38* *（n R&q

4、uot; 啲前n项和。5. 裂项法求和.通项分解（裂项）如:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的(1)an二 f (n 1)-f (n)(2)sin1tan(n 1) - tanncos n cos(n 1)(3)ann(n 1)(4)(2n)2an1 1J(2n-1)(2 n 1)2 2n -1 2n 1(5)ann(n -1)(n2)2 n(n 1) (n 1)(n2)an12(n1) - n 1n(n 1)nn2 n(n 1)2nnn 2 (n 1)21 1，则 Sn =1 -(n 1)2n

5、例9求数列一-1 +、2：23n “ / 的前 n 项和.12n2例 10在数列an中，an，又bn,求数列bn的前n项的和.coslsin21n +1 n 十1n +1an例11求证：-cosO cosl cosl cos 2cos88 cos891 1 1解：设S-cosO cos1 cos1 cos2cos88 cos89si n1cosn cos(n 1)-=tan(n 1)O<5-ta n n（裂项）1 1 1 S(裂项求和)cosO cos1 cos1 cos2cos88 cos891=(tan 1 -tanO ) (tan 2 - tan1 ) (tan3 - tan2 )

6、 tan 89 - tan88 sin 11<1cos1(tan 89 - tan 0 ) = cot1 =2:sin1sin1sin 1原等式成立丄练习：求3153563之和。6. 合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可 将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.例14在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 =9,求log3 ai log3 aTog3 a®的值.7.

7、 利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n项和，是一个重要的方法.例 15求 111111 T111 之和.n个1练习：求5, 55, 555,，的前n项和。使其能只以上一个7种方法虽然各有其特点， 但总的原则是要善于改变原数列的形式结构, 进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决, 要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。求数列通项公式的八种方法、公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项、累加、累乘法1、累加法适用于：an“.二a. f(n)若an

8、 4 an 二 f(n) (n 一2),则a2 -a = f (1) a3 a f (2)III IIIan 1 an 二 f(n)n两边分别相加得an d -a f(n)kz!例1已知数列an满足an .1二an 2n 1, a =1，求数列a.的通项公式。解：由 an an 2n 1 得 an 耳-an =2n - 1 则an - (an - a* 4) (a* 4 a* 2)丨 11 3 - a2) - aj 8二2( n1)1 2( n 2) 1 |l( (2 2 1) (2 1 1)1= 2(n -1) (n -2)丨1( 21 (n -1) 1= 2(1n (n-1) 12-(n

9、-1)(n 1) 1=n22 所以数列an的通项公式为an二n。例2已知数列an满足an d = an '2 3n 1，a3，求数列an的通项公式。解法一：由 anan 2 3n 1 得 an - an = 2 3n 1 则an =(an -an八(an-an£ III (a3 -a2) (a? -aj 印=(2 3nJ 1) (2 3n1)川(2 32 1) (2 31 1) 3 = 2(3n3n，川 32 31) (n _1) 33(1 _3n)=2(n -1) 3=3n=3n1-3_ 3 亠 n _ 1 3n1=3n n-1.解法二：an卅=3an +2外+1两边除以3

10、山，得黑=肆+2十点，3333所以an则影号1，故anan3n3n(i(33nd2(n-1)3nan 2an 23n，a232)(!323nJ321川評1= 131 -32n 1=r312 3n211则 anj n 3n - 3-?2、累乘法适用于：an .1 = f (n)anan 1若an=f(n)，则 a* 二a1a3f(1),二a2f (2)川 III,也an二 f(n)两边分别相乘得,也二 6 i【f(k)a1k例3已知数列an满足an厂2(n 1)5n an, q =3，求数列a.的通项公式。解：因为 an! =2(n 1)5n a.=3，所以an =0，则an 1=2( n 1)

11、5n，故anananJ iH a3 a2ana1an J an 2a2 3二2(n-1 1)5n-2(n-2 1)5n川2(2 1) 522(1 1) 51 32nJn(n -1)3 2 5(nJ) <n' 21 3n(n J)=3 2nl 5 2 n!n(n J.)所以数列an的通项公式为an =3 2nJ 5 n!.三、待定系数法适用于an1 =qan f (n)分析：通过凑配可转化为an1；5f(n) - 2an ：；'gf (n)；解题基本步骤:1、确定f(n)2、设等比数列a 1 f (n)?，公比为 23、列出关系式ani if(n) Y；2an1 f(n)4

12、、比较系数求5、解得数列 9n * '畀(n)1的通项公式6、解得数列 a i 的通项公式4已知数列an中，a1,a2anJ 1(2)，求数列 咕的通项公式。解法一：(an =2an 1(n 一2),.an 1 =2(叭 1)又:3 2, a. 1是首项为2,公比为2的等比数列an1 =2n，即 an =2n _1解法二：(an =2anj 1(n -2),an .1 = 2an 1两式相减得an 1 -an =2(an -an)(n _2),故数列:an .i-a是首项为2,公比为2的等比数列，再用累加法的例5已知数列an满足an2an43心，a1-1，求数列laj的通项公式。解法一

13、：设an 113n2® 3nJ)，比较系数得 二-4,匕=2,则数列an -4 3nC是首项为 印-4 31亠5，公比为2的等比数列，所以务-4 3n-5 2nJ，即 an =4 3nJ-5-2nJ解法二：两边同时除以3n 1得： 尘 =2 色；，下面解法略33 3n 32注意：例6已知数列an满足an 2an 3n2 4n 5, a1，求数列an的通项公式。解：设 an 1 - x(n 1)2 y(n 1) z = 2(an xn2 yn z)比较系数得x =3,y =10,z =18 ,所以 an 13(n 1)210(n1) 18 = 2(an 3n210n18)由 a1 31

14、2 10 118 = 131 =32 = 0，得 a3n210n18 = 02则歸 3(n110(n J 18= 2，故数列 & 3n210n 18为以a +3 n2+10n+182a13 110 111332为首项，以2为公比的等比数列，因此an 3n2 10n 18 = 32 2n4，则 an =2n 4 -3n2 -10n-18。注意：形如an 2 = pan 1 qan时将an作为f (n)求解分析：原递推式可化为an2 ' an 1 = (p )(an 1 an)的形式，比较系数可求得，数列玄1 'aj为等比数列。例7已知数列an满足an .2二5an-6%,

15、印=-1,a2 = 2，求数列an的通项公式。解：设 an 2 " an q = (5 ：二)(an .1 ：二 an)比较系数得-3或 - -2，不妨取，-2 ,则an 2 -2耳q = 3(an片-2an)，则:and -2a/?是首项为4，公比为3的等比数列 ani -2an =4 3：所以 a4 3nJ -5 2n J四、迭代法例8已知数列an满足an .1二a；(n 1)2",印二5,求数列a.的通项公式。132(n A) n 2(n-2) (n 11-an _2解：因为a. i =ajn 1)2"，所以3n2n 丄 3( nA) 2n ,3n2 an

16、二anan上3(n _2) 2n 3 32 (n)n 2(n(n 11= an J333(n N)(n)n2(n3 (n 2 心=an _3=IH3n 1-2 3|*|d(n _2) (.n A) n 21 #曲“如宜十2 十 J! 二 ain(n 1)3n -n!2 2 二 ain(n 1)又a5，所以数列an的通项公式为a53"n!2 2注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式例9已知数列an满足an.广2 3n a；，q =7，求数列an的通项公式。解：因为 a“ i = 2 3 a；，a - 7，所以 an

17、 0, an i 0。两边取常用对数得lgan j =5lg an nlg3 lg2设 lgan x(n 1) y =5(lgan xn y)(同类型四)比较系数得，lg3, lg3 lg24164,lg3 Ig 3 Ig 2Ig 3 lg 3 lg 2 如Ig 3 Ig 3 Ig 2由 Ig a,1Ig710,得 Ig ann0,416441644164所以数列Ig an n 是以Ig 7 朋 为首项，以5为公比的等比数列，41644164则 Ig an聖 n (Ig 7 聖 聖 Jg2)5n'，因此41644164Igan讥7也也阳)5n-/nS_94164464111n 11=

18、lg(7 34 316 24)5n 1-lg(3z 316 2")111n 11n丄= lg(7 34 316 24)-lg(34 316 24)5n _4n5n 丄二= lg(75n，3 162 4 )5n _4n _15n 丄_1则 an =75"丄 3 162 。2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例10已知数列an满足an彳 n ,印=1，求数列an的通项公式。an +2解：求倒数得1 1 1 1=十二an 12anan -1111 1=-r 1为等差数列，首项an2an 1 an I-1，公差为-，a121 1an(n 1),an 23、换元法

19、适用于含根式的递推关系1i例11已知数列an满足an1（14a. 124务），6=1，求数列an的通项公式。16解：令 bn '124an，则 a.-1）代入歸计（1 4a、，厂24an）得丄（臨 -1）=丄1 4丄（b： -1） bn241624即 4b；厂（b 3）2因为 bn = J_24an _0,13则 2bn 1 二 0 * 3，即 * 1 =刁 bn ，1可化为爲_3计一3),1所以bn -3是以b -3= 1 24a,-1 24 1 -3 = 2为首项，以-为公比的等比数列，因此11 1 _ 1bn -3 =2()n=()心，则 bn =()2 3，即、.1一24an

20、=()2 3，得2 2 2 “ 2=|(4)n (2)n3 42六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式， 再用数学归纳法加以证明。例12已知数列an满足an 4 = an+8( n+1)(2n1)2(2 n 3)2a18，求数列an的通项公式。9解:由 an 1 = an8( n +1)2 2(2n 1) (2n 3)及 a1 = 89，得8 8 224-+=9 9 2525a4 = a38(3 + 1)(2 3 1)2(2 3 3)2488 480r =49 49 8181由此可猜测(2n 1)2 -1(2n 1)2F面用数学归纳法证明这个结论。(1)当 n

21、 =1 时,2(2 1 1)-1 8 ai厂(2 11)9所以等式成立。(2)假设当n = k时等式成立，即ak(2 k 1)2 -12(2 k 1)，则当n = k 1时,a?二 a8(1+1)2 2 (2 1 1)2(2 1 3)28(2+1)248汉 348比 _a2(2 2 1)2(2 2 3)2 一 25 25 49 一 49aa8(k 1)ak 1 = ak22(2k +1)2(2k+3)2(2k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1) (2k+1)2(2k+3)2(2k 1)2(2k 3)2 _(2k 1)22 2(2 k 1) (2 k 3)2(2k 3) -1-(2k 3)

22、22(k 1) 12 -1-2(k 1) 12由此可知，当n = k 1时等式也成立。根据(1), (2)可知，等式对任何 n N*都成立。七、阶差法1、递推公式中既有 Sn，又有an_LSj, n = 1“分析：把已知关系通过an二转化为数列：aj或Sn的递推关系，然后采用相应的Q - 5 4 , n 王 2方法求解。1例13已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn = (an+1)(an +2)，且&2,84,&成等6比数列，求数列an的通项公式。解：对任意 n N 有 S-(an 1)(an - 2)61当 n=1 时，S(ah 1)(a1 2)，解得 a1 =

23、1或日=261当 n>2 时，Sn(an4 1)(an4 2)6-整理得：(an an4)(aan4 -30T an各项均为正数，二an-an4=3当印=1时，a* =3n-2，此时 a4 -a2ag成立当耳=2时，an =3n T，此时 云二a2ag不成立，故 印=2舍去所以 =3n 22、对无穷递推数列例14已知数列an满足a1=1,a a!2a23aJ |(n -1)an(n _ 2)，求an的通项公式。解：因为 an = a 2a2 3a3 HI (n -1)an(n _ 2)所以 an a1 - 2a2 3比 川(n -1)annan用式一式得 a* 1二nan.则 an i =(n 1)an(n 一2)所以an二an Jan Jan -2a3n!川恳色十山-1)川4 3a2寸2.由 an =印 2a2 3a3 川(n - 1)an(n _ 2),取n 二 2得a2 二 a 2a2，则 a2 = a，又知 a = 1, n! 则 a2 = 1,代入得 an = 1 3 4 5 JI - n =2n !所以，an的通项公式为 a = 2八、不动点法不动点的定义：函数f (x)的定义域为D，若存在f (x) Xo D，使f(Xo) = Xo成立